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1、第三节 函数的单调性及最值,三年3考高考指数:1.了解函数单调性的概念.2.掌握判断一些函数的单调性的方法.3.了解函数最值的定义，掌握求函数最值的基本方法.,1.函数单调性是高考必考内容，在选择题、填空题与解答题中均有可能出现.2.应用单调性解不等式、求最值是解答题中的热点题型.3.函数的单调性常与导数相结合.,1.单调函数的定义,一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2.,当x1x2时，都有_，那么就说f(x)在这个区间上是增函数.,f(x1)f(x2),当x1f(x2),【即时应用】(1)若函数y=(2k+1)x+b在R上是减函数
2、，则实数k的取值范围是_.(2)设x1,x2为y=f(x)的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题：(x1-x2)f(x1)-f(x2)0;(x1-x2)f(x1)-f(x2)0;, ; .其中能推出函数y=f(x)为增函数的命题序号为_.,【解析】(1)要使函数y=(2k+1)x+b在R上为减函数，则2k+10，解得k- .(2)依据增函数的定义可知，对于，当自变量增大时，相对应的函数值也增大，所以可推出函数y=f(x)为增函数.答案：(1)k- (2),2.单调性与单调区间的定义如果函数y=f(x)在某个区间上是_或_，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，_叫做函数y=
3、f(x)的单调区间.,增函数,减函数,这一区间,【即时应用】(1)思考：单调区间与定义域有何关系？提示：单调区间是定义域的子区间.(2)已知函数f(x)=x2-2(1-a)x+2在(-,4上是减函数，则实数a的取值范围是_.,【解析】由题意可知，函数f(x)=x2-2(1-a)x+2图象的对称轴方程为x=1-a，且开口向上.又函数y=f(x)在(-,4上是单调递减的,1-a4,a-3.答案：(-,-3,3.函数的最值,【即时应用】(1)f(x)=x2-2x(x-2,4)的单调增区间为_；f(x)max=_.(2)函数 的最大值为_.,【解析】(1)函数f(x)的对称轴为x=1,又x-2,4,f
4、(x)的单调增区间为1，4，f(x)max=f(4)=f(-2)=8.(2)当x0时，y3;当0x1时，3y4;当x1时，y4;所以函数的最大值为4.答案：(1)1,4 8 (2)4,函数单调性的判断与证明【方法点睛】1.函数单调性的证明方法(1)取值定序：任取x1,x2I，且x1x2；(2)作差变形：作差f(x1)-f(x2)，然后变形，这里主要是配方或分解因式等；(3)判定符号：论证f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2);(4)得出结论：根据定义，判断是增函数还是减函数.,2.复合函数的单调性对于复合函数y=f(g(x),若t=g(x)在区间(a,b)上是单调函数，且y=f(t)在区间
5、(g(a),g(b)或者(g(b),g(a)上是单调函数，当t=g(x)与y=f(t)的单调性相同(同时为增或减)时，则y=f(g(x)为增函数；当t=g(x)与y=f(t)的单调性相反时，则y=f(g(x)为减函数.简称为：同增异减.,【提醒】函数的单调性只能在定义域内讨论，讨论单调性时一定要指明对应的区间，要注意x1,x2的任意性.,【例1】(1)设f(x)、g(x)都是单调函数，有如下四个命题：若f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)-g(x)单调递增；若f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)-g(x)单调递增；若f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)-g(x)单
6、调递减；若f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)-g(x)单调递减.其中正确的命题是( )(A) (B) (C) (D)(2)判断函数f(x)=x3+a(xR,a是常数)的单调性，并用定义加以证明.,【解题指南】(1)根据函数单调性的特点进行判断.(2)利用函数单调性的定义，按以下几个步骤解题：取值作差变形确定符号下结论.【规范解答】 (1)选C.对于命题，设x2x1,则f(x2)f(x1), (i)又g(x2)g(x1),-g(x2)-g(x1). (ii)由(i)+(ii)，得f(x2)-g(x2)f(x1)-g(x1),故f(x)-g(x)单调递增；对于命题，设x2x1,则f(x
7、2)f(x1),g(x2)g(x1).-g(x2)-g(x1),则f(x2)-g(x2)f(x1)-g(x1);故f(x)-g(x)单调递减.而命题和均无法确定，故正确的命题是和，应选C.,(2)f(x)=x3+a在R上是增函数.证明如下：设x1,x2是R上任意两个实数，且x1x2,则x1x2,x1-x20, ,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),f(x)=x3+a在R上是增函数.,【互动探究】在本例(2)中，若不采用定义法，而用导数法，则应如何证明？【证明】f(x)=3x20在R上恒成立且不恒为0,f(x)在R上是增函数.,【反思感悟】1.函数的单调性是函数非常重要的性质.判断
8、函数的单调性的常用方法：(1)定义法；(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；(3)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；(4)互为反函数的两个函数有相同的单调性；(5)如果f(x)在区间D上是增(减)函数，那么f(x)在D的任一子区间上也是增(减)函数；(6)复合函数的单调性的判断遵循同增异减的法则.,2.在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知函数的单调性.因此，掌握并熟记正、反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，将大大缩短我们的判断过程.3.利用函
9、数的单调性我们可以将函数值之间的大小关系转化为自变量间的关系.,【变式备选】已知函数 ，证明函数f(x)在(-1,+)上为增函数.【证明】方法一：任取x1,x2(-1,+)，不妨设x1x2,则x2-x10,a1, 1,且ax0，又x1+10,x2+10,= 于是f(x2)-f(x1)= 故函数f(x)在(-1，+)上为增函数.,方法二：f(x)= (a1),f(x)= .a1,当x-1时,axlna0, .f(x)0在(-1,+)上恒成立.则f(x)在(-1,+)上为增函数.,函数单调区间的求法【方法点睛】求函数单调区间的方法求函数单调区间一般采用数形结合法、复合函数法、定义探索法、导数法.(
10、1)数形结合法能够直观地反映出函数的单调区间，是常用的方法；(2)复合函数法一般由函数y=f(u)和u=g(x)的单调性来确定，这里应记住“同增异减”；,(3)定义探索法是根据单调函数的定义来确定函数的单调区间，这种方法比较复杂，同学们在解题时要根据函数的特征慎重选用；(4)导数法是最实用的方法，它可以使问题的解答更加简捷方便.,【提醒】求函数的单调区间注意“定义域优先”原则.如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“”联结，也不能用“或”联结.,【例2】求下列函数的单调区间：(1)y=-x2+2|x|+3;(2)y= ;(3) .【解题指南】(1)结合函数的图象进行分析；(2)是对数函数与二
11、次函数的复合，结合复合函数性质求解；(3)可采用单调性的定义求单调区间，也可用导数法求解.,【规范解答】(1)原函数等价于 ，作出如下函数图象：,由函数图象可知，函数y=-x2+2|x|+3在(-,-1,0，1上是增函数，在-1，0，1，+)上是减函数.(2)令u=x2-3x+2，则原函数可以看作 与u=x2-3x+2的复合函数.令u=x2-3x+20,则x1或x2.,函数y= 的定义域为(-,1)(2,+).又u=x2-3x+2的对称轴为x= ，且开口向上.u=x2-3x+2在(-，1)上是单调减函数，在(2,+)上是单调增函数，而y= 在(0，+)上是单调减函数,y= 的单调减区间为(2，
12、+)，单调增区间为(-,1).,(3)方法一：(定义法)任取x1,x2(0,+)，且x1x2，则x2-x10,f(x2)-f(x1)=(x2-x1) .当0x1x2 时，有0x1x2a,x1x2-a0.f(x2)-f(x1)0,即f(x)在(0， 上是减函数.当 x1x2时，有x1x2a,x1x2-a0.,f(x2)-f(x1)0,即f(x)在 ,+)上是增函数.函数f(x)是奇函数，函数f(x)在(-,- 上是增函数，在- ,0)上是减函数.综上所述，f(x)在区间(-,- , ,+)上为增函数，在- ,0),(0, 上为减函数.,方法二：(导数法)f(x)= ,令f(x)0，得x- ,或x
13、 ，函数f(x)在端点- 和 处有定义，且不间断，f(x)在(-,- , ,+)上为增函数.令f(x)0，得- x0或0x ,函数f(x)在端点- 和 处有定义，且不间断，f(x)在- ,0),(0, 上为减函数.,【互动探究】将本例(3)变为“f(x)= (a0,b0)”，单调区间如何？ 【解析】因为f(x)为奇函数，因此只需判断函数f(x)在(0，+)上的单调性即可.设x1x20,f(x1)-f(x2)=(x1-x2) ,由于x1-x20,故当x1,x2 ,+)时f(x1)-f(x2)0,此时函数f(x)在 ,+)上为增函数，同理可证函数f(x)在(0， 上为减函数.又由于函数为奇函数，故
14、函数在- ,0)上为减函数，在(-,- 上为增函数.综上所述：函数f(x)分别在(-,- 和 ,+)上为增函数，分别在(0， 和- ,0)上为减函数.,【反思感悟】求函数的单调区间与确定单调性的方法一致.(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间.(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义求解.(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间.,(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间.利用导数法求单调区间，关键是求导后解不等式，注意最后单调区间的写法.(5)求单调区间的易错点是忽视函数的定义域.(6)含绝对值的函数或分段函数求单调区间常结合其函数图象.,
