[工学]现代控制工程基础-课件-2

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1、2、线性系统理论,线性系统理论是现代控制理论的基础。线性系统的定义：若一个系统L，对一个输入ui产生的对应输出为L(ui)，且对n个任意输入ui(i=1,2,n)，系统L的输出满足： (1) 均匀性：L(cu)=cL(u)，即输入信号倍增引起输出信 号的相同倍增； (2) 迭加型：L(c1u1+cnun)=c1L(u1)+cnL(un)其中的c、ci(i=1,2,n)为常数。则系统L是线性系统。,现 代 控 制 工 程 基 础,2.1 状态空间分析法,线性系统的运动在时域内一般是用微分方程描述。 经典控制理论采用拉普拉斯变换将其表示为反映外部信息（输入、输出）关系的传递函数，并以这个传递函数为

2、基础建立了系统的图解分析设计法。 现代控制理论将微分方程表示成反映系统内部状态和外部信息关系的状态空间表达式，并以这表达式为基础建立了一套解析的分析设计方法。这种基于系统内部状态量的系统描述及其分析设计的方法，就是状态空间分析法，也称为状态变量法。,现 代 控 制 工 程 基 础,2.1.1 基本概念和问题状态变量：描述系统运动特征所需独立变量的最少组合。每一变量都表示系统运动状态的一种特征，这单个变量往往也称为状态变量。 系统运动状态是由一组独立（或数目最少）状态变量确定的。这一组独立状态变量的个数就表示系统的维数。一个由n阶微分方程描述的系统，就有n个独立的状态变量。或者说这n个状态变量是

3、完全能描述系统运动状态必需的。若变量数目多于n，则必有变量不独立；若变量少于n，则不能完全描述系统的运动状态。 状态变量的选取对一个系统来说不是唯一的，一般选取易于测量的变量。,现 代 控 制 工 程 基 础,现 代 控 制 工 程 基 础,状态向量和状态空间：由反映系统运动状态的最少一组状态变量构成的向量称为状态向量，以状态变量为坐标轴所构成的空间称为状态空间输出量：系统在输入作用下的响应输出称为输出量状态方程：由系统状态变量和输入量构成的一阶微分方程组,一般表示为,输出方程：表示系统输出量与状态变量和输入变量的函数关系式,一般表示为,状态空间表达式：系统的状态方程与输出方程的组合。也称为系

4、统的动态方程,对于线性系统，其状态方程和输出方程一般可以表示为,式中： ARnn由系统自身结构确定的参数矩阵，称为系统矩阵或状态矩阵 BRnr称为输入矩阵或控制矩阵 CRmn称为输出矩阵 DRmr称为直接转移矩阵,现 代 控 制 工 程 基 础,例题1：下图所示是R-L-C线性网络电路，试建立其状态空间表达式,+,_,u,R,C,L,i,uc,根据电路原理，很容易建立这个电路系统的微分方程,或,(1)取状态变量x1=uc, x2=i, 输出为uc,现 代 控 制 工 程 基 础,模拟结构图,(2)取状态变量x1=uc, x2=duc/dt, 输出为uc,现 代 控 制 工 程 基 础,模拟结构

5、图,现 代 控 制 工 程 基 础,2.1.2 状态空间表达式的实现 将描述系统输入/输出关系的微分方程或传递函数转换成状态空间表达式，这样的问题称为状态空间表达式的实现问题。 对于系统的高阶微分方程,（mn）,或/和传递函数,若存在定常矩阵A、B、C、D，满足G(s)=C(sI-A)-1B+D，则由定常矩阵A、B、C、D决定的线性定常系统(A,B,C,D)就称为一个状态空间实现，简称实现。,现 代 控 制 工 程 基 础,对于状态空间实现，首先的问题是实现的条件是什么？直接的结论是：,定理：传递函数矩阵G(s)能状态空间实现的充分必要条件是矩阵 G(s)中的分子多项式阶数不高于分母多项式阶数

6、。 推论： 传递函数G(s)使得D=0的状态空间实现的充分必要条件是G(s) 为真有理分式。,注意：系统的微分方程和传递函数主要是由系统本质特性确定的，与状态变量的选取无关。选取不同的状态变量会得出不同的状态空间表达式，这就是说状态空间实现的结果不是唯一的。但是，若系统的传递函数中分子与分母没有公因子，则系统所有实现的状态变量个数是一致的。这种没有分子分母公因子对消的传递函数的实现称为最小实现。,状态空间实现的主要方法有：,现 代 控 制 工 程 基 础,（1）将微分方程转换成状态空间表达式,和,其中的i(i=1,2,n)是待定系数。将此式中的各个y(i)(i=0,1,2,n)代入原微分方程，

7、有,（mn）,令系统的状态变量为,显然，m=n时，D0 mn时，D=0,现 代 控 制 工 程 基 础,例2-1：已知系统的微分方程为求此系统的状态空间表达式。解：对照一般高阶常微分方程，有 n=3, a0=1, a1=3, a2=5 b0=2, b1=4, b2=0, b3=0则有 0=b3=0, 1=b2-a20=0, 2=b1-a21-a10=4, 3=b0-a22-a11-a0 0=-18所以，系统的状态空间表达式为,现 代 控 制 工 程 基 础,现 代 控 制 工 程 基 础,（2）将传递函数转换成状态空间表达式,直接实现方法： 基本思路是令,现 代 控 制 工 程 基 础,串联实

8、现方法：,各子系统（u=y0，y=yn）的一般形式有两种：,取状态变量为,由此就可获得系统的状态空间表达式,例2-2：已知系统的传递函数为求此系统的状态空间表达式。解： 令,现 代 控 制 工 程 基 础,现 代 控 制 工 程 基 础,并联实现方法：,取状态变量为,状态方程,输出方程,应当指出：（1）对于单输入单输出系统，m=n时的D0，mn时的D=0（2）传递函数无重极点时，状态方程的系统矩阵是对角矩阵；当传递函数有 重极点或复数极点时，其系统矩阵是约当矩阵或约当分块矩阵,例2-3：已知系统的传递函数为求此系统的状态空间表达式。解：,令,现 代 控 制 工 程 基 础,现 代 控 制 工

9、程 基 础,2.1.3 系统的传递矩阵与解耦控制（一） 传递函数矩阵 对于多输入多输出线性系统的状态空间表达式,当系统的初始条件为零时，拉普拉斯变换可得传递矩阵,传递矩阵G(s)表示输出向量Y(s)与输入向量u(s)之间的关系，它的每一个元素gij(s)表示第j个输入uj(s)对第i个输出yi(s)的影响关系。在一般情况下，多输入多输出系统的每一个输出yi(s)是对所有（或多个）输入的响应的综合，即系统的每一个输出均受到多个（或全部）输入量的控制。这种系统常称为耦合控制系统或耦合系统。,现 代 控 制 工 程 基 础,应当指出：同一个系统的状态空间表达式可因状态变量的选取不同而不同，但是其传递

10、矩阵是唯一的。实际上，系统的不同状态变量之间存在非奇异变换关系，选取不同的状态变量在数学上就是对状态变量的一种非奇异变换。,这说明：满秩变换不改变系统的传递函数矩阵,传递函数矩阵G(s)=C(sI-A)-1B+D中，(sI-A)-1称为系统矩阵A的预解矩阵，且有：,定义1：det(sI-A)=0称为线性系统的特征方程，其根称为矩阵A的 特征根，也称为系统的极点。 传递函数矩阵G(s)中各元素的最小公分母的零点称为传递 函数矩阵的极点。,现 代 控 制 工 程 基 础,定义2：对于定常线性系统(A,B,C,D)，满足,的s为系统的输入解耦零点；满足,的s为系统的输出解耦零点；满足,的s为系统的传

11、输零点。,现 代 控 制 工 程 基 础,（二）子系统在各种联结下的传递函数矩阵 实际系统往往可以看成是由多个子系统组合而成的，这些子系统或并联，或串联或成反馈联结。设某一系统由两个子系统组成，这两个子系统分别为 子系统I： 子系统II：并联联结,U=uI=uII, Y=YIYII,现 代 控 制 工 程 基 础,串联联结,现 代 控 制 工 程 基 础,反馈联结,DI=DII=0,注：,现 代 控 制 工 程 基 础,实际上，由于,就有若(I+G1(s)G2(s)非奇异,若(I+G1(s)G2(s)恒为非奇异，就有,矩阵(I+G1(s)G2(s)恒为非奇异是反馈联结系统物理能实现的条件。,现

12、 代 控 制 工 程 基 础,耦合系统的基本特征就是其传递函数矩阵是非对角线矩阵，从而使得系统对某一输出量的控制就必然会影响到其它的输出量，此时只有寻求一组恰当的输入量才能实现对某一输出量的控制。显然，这是很复杂的控制问题。 对于多输入多输出系统，如果系统的每个输出是受不同的单个输入控制，这样就易于实现对系统各个输出的有效控制。这种一个输入只影响一个输出的控制系统，称为解耦控制系统或解耦系统。显然，解耦系统的主要特征是传递函数矩阵为对角线矩阵，其必要条件是系统的输入数目与输出数目一致。,（三） 解耦控制,实际上，解耦系统可以看成是由多个独立的单输入单输出系统组成。一般的多输入多输出控制系统是耦

13、合系统，为了实现解耦，常常是在系统中引入适当的补偿器，使其传递函数矩阵对角线化。,现 代 控 制 工 程 基 础,现 代 控 制 工 程 基 础,（1）采用串联补偿器 对于耦合系统，设在引入串联补偿器D(s)后成为解耦系统，其解耦系统的传递函数矩阵已知为GD(s)=diag(gii(s)，则有,（2）采用前馈补偿器 对于耦合系统，设在引入前馈补偿器D(s)后成为解耦系统，其解耦系统的传递函数矩阵已知为GD(s)=diag(gii(s)，则有,常用的解耦控制方法有：,可见，只要原系统的传递矩阵G(s)满秩，采用前馈补偿器都能使系统获得解耦。,（3）采用状态反馈解耦 对于耦合系统G(s)，设KRm

14、n为实常数状态反馈矩阵， FRmm为实常数非奇异变换矩阵，VRm1为输入向量。现在的问题是如何确定矩阵K和F，使系统从V到Y是解耦的。,B,C,A,1/s,U,X,Y,K,F,G(s),V,对此，先定义如下：特征量di(i=1,2,m)：是介于0到m-1之间的一个使不等式ciAjB0(j=0,1,m-1)成立的 最小整数。其中的ci是系统输出矩阵C中的第i行向量。由特征量di确定的矩阵：,ARnnBRnmCRmn,现 代 控 制 工 程 基 础,定理：耦合系统G(s)采用状态反馈解耦的充要条件是mm矩阵N为非奇异矩阵，即detN0。 此时解耦系统GKF(s)的矩阵K和F分别为： K=-N-1L F=N-1 解耦系统的传递函数矩阵GKF(s)为,例2-4 已知耦合系统为,试设计其解耦系统。解：首先，计算di。因为c1=1 0 0 0，c2=0 0 1 0，则有 c1A0B=0 0=0，c1A1B=1 00，即d1=1 c2A0B=0 0=0，c2A1B=0 10，即d2=1,