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1、 JISHOUUNIVERSITY 固 体 物 理 期 末考 核 报 告什 么 是 费 米 球 ？ 有 什 么 样 的 应 用 ？摘 要金属中的自由电子满足泡 利 不 相 容 原 理 ，其在单粒子能 级 上分布几率遵循费米统计分布 1。 绝对零度下，电子在波矢空间（k 空间）中分布（填充）而形成的体积的表面。由于在绝对零度时电子都按照泡利不相容原理填满于费米面以下的量子化状态中，所以费米面也就是 k 空间中费米能量所构成的表面。它是一个以 kf 为半径的球面；成为“费米球” 。及其运用。关键词：费米球；费米面；能态密度；应用；自由电子一、能态密度函数：固体中电子的能量由一些准连续的能级形成的能
2、带 能量在 E E+E 之间能态数目 Z 能态密度函数 0()limEZN在 k 空间，根据 E(k)=Constant 构成的面为等能面由 E 和 E+E 围成的体积为V ，状态在 k 空间是均匀分布的状态密度 3(2)V 动量标度下的能态密度 EE+E 之间的能态数目 3(2)VZdSk两个等能面间垂直距离 kE3(2)VZdS3()kE能态密度3(2)kVdSN考虑到电子的自旋，能态密度 3()2kdSEE几种具体模型中的能态密度：1) 自由电子的能态密度电子的能量2()kEmvhk 空间, 等能面是半径2的球面()kEmvh在球面上kd2能态密度3()4kVSNE3/22()()mEh
3、2) 近自由电子的能态密度 晶体的周期性势场对能量的影响表现在布里渊区附近等能面的变化 二维正方格子第一布里渊区的等能面，第一布里渊区的等能面 接近布里渊区的 A 点，能量受到周期性势场的微扰能量下降，等能面向边界凸现。 在 A 点到 C 点之间等能面不再是完整的闭合面分割在各个顶点附近的曲面能态密度的变化k 接近 A 点，等能面向边界凸现两个等能面间的体积不断增大, 能态密度增大在 A 点到 C 点之间，等能面发生残缺达到 C 点时等能面缩成一个点, 能态密度减小为零二、第二布里渊区能态密度 能量 E 越过第一布里渊区边界 A 点从 B 点开始能态密度由零迅速增大紧束缚模型的电子能态密度简单
4、立方格子的 s 带：01()2(cosco)s xyzkJkaka在 k=0 附近2min*)xyzEh 等能面为球面 随着 E 的增大，等能面与近自由电子的情况类似 01()2(coscos)s xyzkJkaka22iniink za能态密度3()4kVdSNE32221()8(sinisin)xyzVdSNEaJkaka等 能 面2ikxyz带底 016EJ和2出现微商不连续的奇点 等能面与布里渊区相交X 点(,0)ka012EJ22(sinisin)kxyzkak出现微商不连续的奇点 等能面与布里渊区相交 012XEJ的等能面 0的等能面3、范霍夫奇点（van Hove singula
5、rity）在 En(k) 对 k 的梯度为零的地方，N(E) 应显示出某种特异性。称 ()kE 的点为范霍夫奇点，或临界点。如极大值、极小值、以及鞍点等。这些点都出现在布里渊区的高对称点上。比如简立方晶格，紧束缚近似下的 s 带。 (0,)k点 是极小，(,)Rka点是极大布里渊区侧面中心 X 点(,0)ka就是一个鞍点。三、费米面（Fermi surface）1、费米面：费米面是指绝对零度时， k 空间电子占据态与未占据态之间的分界面.电子填充量子态的形式：按泡利不相容原理由低到高填充能量尽可能低的N（电子数）个量子态。若把电子看成自由电子2()kEmh 电子填充 k空间半径为 kF 的球
6、球内的状态数342()FVN球内的状态数342()FVk球的半径1/3/()8Fkn电子密度1/32()8Fnk金属中的自由电子满足泡 利 不 相 容 原 理 ，其在单粒子能 级 上分布几率遵循费米统计分布 1。 绝对零度下，电子在波矢空间（k 空间）中分布（填充）而形成的体积的表面。由于在绝对零度时电子都按照泡利不相容原理填满于费米面以下的量子化状态中，所以费米面也就是 k 空间中费米能量所构成的表面。实际晶体的能带结构十分复杂，相应的费米面形状也很复杂，最简单的情况是理想费米球的费米面，它是一个以 kf 为半径的球面；成为“费米球” 。3、费米面的构造(formation of Fermi
7、 surface)费米面是能量为 EF 的等能面。对于自由电子，费米面是球面。当考虑了电子与晶格的相互作用后，即在周期场中运动的电子，其能带不再具有简单的自由电子的形式。特别是等能面在靠近布里渊区边界附近将偏离球星对称形状，因而费米面也发生相应的畸变。当电子浓度 n 较小时，费米面为球面；当电子浓度 n 增大时， “费米球体积”增大，费米面向外扩展并发生畸变，接近布里渊区边界时费米面畸变最厉害。以正方格子为例，以自由电子模型说明绝对零度时的费米面的构造法。正方格子的周期为 a ，倒格子的周期是 2/a ，简约布氏区的面积是 42a2。在简约布氏区中有 2N 个状态，N 是晶体的原胞数，所以，k
8、 空间单位面积中的状态数是 *2()NZkA是简约布里渊区的面积晶体电子的总数是 N ：20()*FkFdkA费米波矢(Fermi wave vector)的大小1/21/2*()FAka费米能量(Fermi energy)222*FkEmahh上表中列出了 1 到 6 的费米波矢和费米能量的值，其中费米波矢以a 为单位；费米能量以 214hma为单位，在广延布里渊区中画出费米圆周，圆周的半径为 kF ，在费米圆以内的区域是电子占有的态，费米圆以外是未占有的态。在第二、第三布里渊区中的片段分别用平移相当的倒格矢搬到第一布区种中从图中可以看出，当原胞中有一个电子时，整个费米面在第一布里渊区中，所
9、有占有态都在第一能带。第一能带也有没被占有的状态。当一个原胞中有二个或者三个电子时，第一、第二能带都有电子，但都没有全满。当原胞中的电子多于四个时，第一带是满的，其余带未填满。 考虑到弱周期场的影响，等能面与布里渊区边界必定垂直向割，费米面的形状有所不同。构造费米面的具体步骤如下：（1）利用 En(k)是倒格矢的周期函数，画出布里渊区的扩展图形。（2）用自由电子模型画出费米球。（3）落在各个布氏区的费米球片断平移到简约布里渊区的等价部位。（4）由自由电子模型过渡到准自由电子模型必须注意能带边有禁带出现。费米面同布里渊区边界垂直相割，自由电子的费米面尖角处要钝化。四、费米球的运用：1） 晶体中的
10、电子 满带 电子占据了一个能带中所有的状态 空带 没有任何电子占据(填充)的能带导带 一个能带中所有的状态没有被电子占满 即不满带，或说最下面的一个空带价带 导带以下的第一个满带禁带 两个能带之间不允许存在的能级宽度 周期性势场的影响使得电子的能级 形成一系列的准连续的能带 N 个电子填充这些能带中最低的 N 个状态2）半导体和绝缘体 电子刚好填满最低的一系列能带，形成满带 导带中没有电子 半导体带隙宽度较小 1 eV 绝缘体带隙宽度较宽 10 eV金属 电子除了填满一系列的能带形成满带 还有部分电子填充其它能带形成导带 电子填充的最高能级为费密能级 位于一个或几个能带范围内 在不同能带中 形成一个占有电子与不占有电子区域的分解面 面的集合称为费密面金属_半导体_绝缘体的能带
