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1、7-1 计算图示各系统的动能：（1 ）偏心圆盘的质量为 m，偏心距 OC = e，对质心的回转半径为 ，绕轴 O 以角速度C转动（图 a） 。0（2 ）长为 l，质量为 m 的匀质杆，其端部固结半径为 r，质量为 m 的匀质圆盘。杆绕轴 O以角速度 转动（图 b） 。0（3 ）滑块 A 沿水平面以速度 移动，重块 B 沿滑块以相对速度 下滑，已知滑块 A 的质1v 2v量为 m1，重块 B 的质量为 m2（图 c） 。（4 ）汽车以速度 v0 沿平直道路行驶，已知汽车的总质量为 M，轮子的质量为 m，半径为R，轮子可近似视为匀质圆盘（共有 4 个轮子） （图 d） 。解：(1) 2222001
2、1()CCTmvJe(2) 2228336OJlrlmlr222001()Tl(3) 221ABmv222111222(cos50)3()vmv(4) 2000114()TMmvR2()7-2 一常力矩 M 作用在绞车的鼓轮上，轮的半径为 r，质量为 m1。缠在鼓轮上绳索的末端A 系一质量为 m2 的重物，沿着与水平倾斜角为 a 的斜面上升，如图所示。重物与斜面间的滑动摩擦系数为 。绳索的质量不计，鼓轮可看成为匀质圆柱体，开始时系统静止。求鼓轮转过 角时的角速度。 FNm2g XYMA解：为一自由度理想约束系统。取鼓轮、重物及绳索组成的系统为研究对象，受力图如图示。鼓轮转过 角时系统的动能为：
3、2221Trr重力、摩擦力和力矩 M 在此有限路程上的功为： 122sinWFrmgicos4mrMr212sincosgrr7-3 绞车提升一质量为 m 的重物 P，如图所示。绞车在主动轴上作用一不变的转动力矩M。已知主动轴和从动轴连同安装在这两轴上的齿轮以及其他附属零件的转动惯量分别为J1 和 J2，传速比 z1/z2 = i。吊索缠绕在鼓轮上，鼓轮的半径为 R。设轴承的摩擦以及吊索的质量均可略去不计。试求重物的加速度。解：为一自由度理想约束系统，取整体系统为研究对象。由运动学关系得：212,vviiRR系统的动能为： 222221 1()vTJmvJim122d()dJiR作用在系统上的
4、力系的元功为： 1()vWMtmgvtigt由动能定理的微分形式得： 221()MimgRaJ7-4 匀质圆盘 A 和 B 的质量均为 m，半径均为 R。重物 C 的质量为 mC，且知。三角块的质量为 M，绳的质量忽略不计。圆盘 A 在倾斜角为的斜面上作无滑动滚动，三角块 D 放在光滑平面上，不计铰 B 及重物 C 与三角块间的摩擦，求三角块 D 的加速度。解：为二自由度系统。取广义坐标 x 和 xr 如图示。可用动能定理和动量守恒定理求解。系统的动能为： 222222211+/ +cos11 cos2Cr rrr rCCrrTMmmRxxxx&ddddrrrTMmmmx&sinCWgxtxt
5、由 得：dW22cocsinCCrrrCrx gx系统在水平方向的动量守恒，即：ABCDmgmgMCgxr xcos2s0xrCCrPmxmMxM&联立求解得： 2cosin2cosCCCx gmm7-5 匀质细杆 OA 可绕水平轴 O 转动，另一端有一匀质圆盘，圆盘可绕 A 在铅直面内自由旋转，如图所示。已知杆 OA 长 l，质量为 m1；圆盘半径 R，质量为 m2。摩擦不计，初始时杆 OA 水平，杆和圆盘静止。求杆与水平线成 角的瞬时，杆的角速度和角加速度。解： 对初状态（ ）和末状态（ ） ，以杆与圆盘为系统，应用动能定理0（1）212TA而，22 21 12 1336mlmll10T1
6、2122gsinsisinlAlgl于是 12136sinml对（1）式求导： AT可得： lmg)62(cos3217-6 图示三棱柱体 ABC 的质量为 m1, 放在光滑的水平面上，可以无摩擦地滑动。质量为m2 的均质圆柱体 O 由静止沿斜面 AB 向下滚动而不滑动。如斜面的倾角为 ，求三棱柱体的加速度。 xy rx解：取三棱柱体 ABC 的位移 及均质圆柱体 O 距离 A 端的相对位移 为广义坐标，x r参考例 7-7 直接写出系统的运动微分方程为： 0cosin2321rrxmg&由此可以解得三棱柱体的加速度大小为： gxa221sin37-7 两根长为 l、质量为 m 的匀质杆 AC
7、 与 CB 用铰 C 相连接，A 端为铰支座，B 端用铰与一匀质圆盘连接，圆盘半径为 r，质量为 2m，它在水平面上作无滑动的滚动。当 q = 30时，此系统在重力作用下无初速开始运动，求此瞬时杆 AC 的角加速度。 解：系统具有一个自由度，取 q 为广义坐标。D 点为杆 BC 的瞬心，故有：3cos2ExlQ1sin2Eyl2cosBxl(8i1)4vl& DE2xyDExy mgmgG 2sinBvl&Bvr系统中各构件的动能分别为： 216ACTml&222214(8sin)3CBETvJl2226iBBl2217sin)3Tml&(22d(4sin)did3llcosGEWgyttgl
8、t由 dT = dW 得： 2cos7in(14)3l&初始时刻有： 0,o325gl7-8 系统如图所示。回转半径为 ，半径为 R，重 P1 的均质滚轮，沿水平轨道作纯滚动，在半径为 r 的轴颈上绕以刚度系数为 k 的弹簧。重物重 P，通过绕在滚轮上的绳子与滚轮相连。假设不计滑轮 O 的质量。列写系统运动微分方程。解：根据题意，先求系统平衡时弹簧的初始伸长 ，以滚轮为研究对象，ol()20oklRrP则有， ()olr以平衡位置为坐标原点，设重物 P 在竖直方向位移为 ,由质系动能定理，有x22111 1()22oxRrPx kxlgg & 化简上式得， 2211()()0288PkRrxx
9、g&对上式求导得， 221()()r&化简得， 2 21(/)4(1/)0PRPxkgrRx&此即运动微分方程。79 均质杆 AB 质量为 m，长度为 ，在半径为 R 的圆槽内运动，圆槽质量为 M，l2放置在光滑的水平面上。(1)写出系统在任意位置的动能与势能； (2)列写系统运动微分方程。xevrcy解：1)系统有两个自由度：圆槽中心的位置 和均质杆的摆角x系统的动能为：(1)22211CTMmvJ&其中，均质杆质心的速度(2)22()cossin2CerxRRxRviij&(2)代入(1)得到系统的动能为：(3)2211() cos3TMmxmx&以圆槽上表面为势能零点，系统势能为： (4
10、) 2cosVmgR2)系统只受保守力作用，总机械能守恒，从而有：(5)2 2()()(ssinsi)03dTVMmxRxxgt &系统水平方向受力为零，水平动量守恒， 为均质杆的水平速率，则有：v(6)0dmMvt其中：(7)2cosvRx&将(6) (7)代入(5)，化简得到： 22()cssin0,o3MmxmRgR&。7 10 如图所示，原长为 l0，刚度系数为 k 的弹簧一端固定，另一端与质量为 m 的质点相连。初始时弹簧被拉长 l0，并给质点一与弹簧轴线相垂直的速度 v0。求弹簧恢复原长时，质点速度的大小及与弹簧轴线的夹角。设 k=100N/m，l 0=50cm，m=5kg，v 0
11、1m/s 。质点在光滑的水平面内运动。解：由机械能守恒可得 12120 22mvklvmvr(sin)由于作用于质点上的力 F 对点 O 的力矩始终为 0，故质点对点 O 的动量矩守恒，即：Lvll0sin由此得： 20i代入能量守恒方程，可得：vkmlvr03Vr故： v msr22425sin./aco().vro77-11 一复摆绕 O 点转动如图示，O 点离开其质心 O的距离为 x，问当 x 为何值时，摆从水平位置无初速地转到铅垂位置时的角速度为最大？并求此最大角速度。解：假设复摆的转动惯量为 ，那么在铅垂位置它的动能为O221mxT在水平位置的势能为gV根据机械能守恒定理，有mgxx
12、O221所以 22所以，当 时， 可以取到最大值，此时OxOg7-12 长 l、重 W 的三根相同的均质杆用理想铰链连接，在铅垂平面内运动。一质量不计、刚度系数为 k 的弹簧，一端与 BC 杆的中点 E 连接，另一端可沿光滑铅垂直导槽滑动。杆AB 和 CD 与墙垂直时，弹簧不变形。求系统在此瞬时由静止释放时 AB 杆的角加速度。解：对本题所述的单自由度系统，以机构向下旋转的角度 为广义坐标。可看到，杆AB， CD 作同角度的转动，杆 BC 作平动，整个机构只有重力与弹簧力做功。对初态（ ）和末态（ ） ，应用质系动能定理有0212TA而，2221536WgWlTlglg&10T2212 cossini1cossin2kllAlkll g于是 22 cs5sin6klWllg&上式两边对 求导，约去 ，并令 ，得到065gl7-13 均质杆 AC、BC 各重 W，长 l，由理想铰链 C 铰接，在各杆中点连接一刚度系数为 k的弹簧，置于光滑水平面上，在铅垂平面内运动如图示。设开始时， ，速度为零，o60
