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1、第一节 直线的方程,三年6考 高考指数:1.理解直线的倾斜角和斜率的概念；2.掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系；4.能根据条件熟练地求出直线方程.,1.直线的斜率公式和直线方程是考查重点；2.数形结合、分类讨论、方程思想、以及待定系数法求直线方程等问题是重点，也是难点；3.题型以选择题和填空题为主，与其他知识点交汇则以解答题为主.,1.直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按_方向旋转到和直线重合时所转的_记为,那么就叫做直线的倾斜角.范围：_.,
2、逆时针,最小正角,0180,(2)直线的斜率定义：若直线的倾斜角不是90,则斜率k=_;斜率公式：若由P1(x1,y1),P2(x2,y2)确定的直线不垂直于x轴，则k=_.,tan,【即时应用】(1)思考：直线的倾斜角越大，斜率k就越大，这种说法正确吗？提示:不正确.由k=tan( )知当0, )时，越大，斜率就越大且为正；当( ,)时，越大，斜率就越大且为负，但在0, )( ,)上不具有单调性.,(2)过点M(-2,m)，N(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为_.【解析】由斜率公式得： 解得m=1.答案：1(3)直线 x-y+1=0的倾斜角为_.【解析】 x-y+1=0的斜率k=即倾斜角
3、的正切值tan= 又0，=答案：,2.直线的方向向量经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的方向向量是_，其坐标是(x2-x1,y2-y1),若直线的斜率是k,则直线的方向向量的坐标是_.,(1,k),【即时应用】(1)思考：若直线l的斜率为k，能否用k表示出直线l的所有方向向量？提示:能.所有与向量(1,k)共线的向量均为直线l的方向向量，可以表示为向量 (1,k)，其中为不等于零的常数.(2)若直线l的方向向量a=(3,4)，则直线l的斜率为_.【解析】k=答案：,3.直线方程的几种形式,【即时应用】(1)思考：过A(x1,y1)、B(x2,y2)两点的直线方程能否写成(x2
4、-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)？提示：能写成(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1).当x1x2且y1y2时，直线方程为：可化为上式；当x1x2，y1=y2时，直线方程为：y=y1也适合上式；当y1y2，x1=x2时，直线方程为：x=x1也适合上式；,综上可知：过A(x1,y1)、B(x2,y2)两点的直线方程能写成(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1).(2)已知直线l经过点P(-2,5),且斜率为 ，则直线l的方程为_.【解析】由直线的点斜式方程得，直线l的方程为： 即3x+4y-14=0.答案：3x+4y-14=0,(3)经过两点M(1,-
5、2)，N(-3,4)的直线方程为_.【解析】经过两点M(1,-2)，N(-3,4)的直线方程为 即3x+2y+1=0.答案：3x+2y+1=0,直线的倾斜角与斜率【方法点睛】1.斜率的求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角或的某种三角函数值,一般根据k=tan求斜率；(2)公式法：若已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2)，一般根据斜率公式 求斜率.,2.直线的斜率k与倾斜角之间的关系 【提醒】对于直线的倾斜角，斜率k=tan(90)，若已知其一的范围可求另一个的范围.,【例1】(1)(2012福州模拟)直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是( )(A)0, (B) ,)(C
6、)0, ( ,)(D) , ) ,)(2)已知两点A(m,n)，B(n,m)(mn)，则直线AB的倾斜角为_.(3)已知点A(2,-3)，B(-3,-2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围为_.【解题指南】(1)直线倾斜角与直线的斜率有关，而已知直线的方程，因此可先求直线的斜率，由斜率的取值范围求直线倾,斜角的取值范围;(2)先由公式法求出斜率，再求倾斜角；(3)直线l的斜率的取值范围，可由直线PA、PB的斜率确定；也可先写出直线l的方程，再由点A、B在直线l的异侧(或一点在l上)求解.【规范解答】(1)选B.因为直线x+(a2+1)y+1=0的斜率 且-1
7、 0，所以直线的倾斜角的取值范围是 .,(2)因为A(m,n)，B(n,m)(mn)，所以直线AB的斜率 所以直线的倾斜角为答案： (3)方法一：因为A(2,-3)、B(-3,-2)、P(1,1)，所以如图所示：,因此，直线l斜率k的取值范围为k-4或k .方法二：依题设知，直线l的斜率存在，设其方程为：y-1=k(x-1)，即kx-y+1-k=0,若直线l与线段AB有交点，则A、B两点在直线l的异侧(或A、B之一在l上)故(2k+4-k)(-3k+3-k)0，即(k+4)(4k-3)0,解得：k-4或k答案：k-4或k,【互动探究】本例(1)中的直线方程改为“ (-a2+1)x+y+1=0”
8、结果如何？【解析】由直线方程(-a2+1)x+y+1=0可得该直线的斜率k=a2-1-1，所以直线的倾斜角的取值范围为0或 .,【反思感悟】1.直线的斜率与倾斜角之间的关系是重要的解题线索，如本例第(1)题由直线的方程，可求出直线的斜率，由斜率的取值范围可求出直线倾斜角的取值范围；2.已知倾斜角的取值范围，求斜率的取值范围，实质上是求k=tan的值域问题；已知斜率k的取值范围求倾斜角的取值范围，实质上是在0， )( ，)上解关于正切函数的三角不等式问题.由于函数k=tan在0， )( ，)上不单调，故一般借助函数图象来解决此类问题.,【变式备选】已知两点A(-1,2)，B(m,3)，且 m 求
9、直线AB的倾斜角的取值范围.【解析】当直线AB的斜率不存在时，m=-1，此时倾斜角为当直线AB的斜率存在时，m-1，由题意知直线AB的斜率又 m-1, 或0m+1 ,直线AB的倾斜角的取值范围为 或综上所述，直线AB的倾斜角的取值范围为,求直线的方程【方法点睛】求直线方程的思路及步骤求直线方程时，首先分析具备什么样的条件；然后恰当地选用直线方程的形式准确写出直线方程.用待定系数法求直线方程的步骤：(1)设所求直线方程的某种形式；,(2)由条件建立所求参数的方程(组)；(3)解这个方程(组)求参数；(4)把所得参数值代入所设直线方程.【提醒】要注意若不能断定直线具有斜率时，应对斜率存在与不存在加
10、以讨论.在用截距式时，应先判断截距是否为0.若不确定，则需分类讨论.,【例2】(1)已知ABC的三个顶点是A(3，-4)、B(0，3)、C(-6，0)，求它的三条边所在的直线方程.(2)若直线过点(-4，0)，倾斜角的正弦值为 ，求该直线方程.【解题指南】(1)由顶点B与C的坐标可知点B在y轴上，点C在x轴上，于是BC边所在的直线方程用截距式表示，AB边所在的直线方程用斜截式表示，AC边所在的直线方程利用两点式或点斜式表示均可，最后统一形式，均化为直线方程的一般式;,(2)求直线方程的关键是求斜率即求tan,由sin利用诱导公式即可求出tan.【规范解答】(1)因为ABC的顶点B与C的坐标分别
11、为(0,3)和(-6,0)，故B点在y轴上，C点在x轴上，即直线BC在x轴上的截距为-6，在y轴上的截距为3，利用截距式，直线BC的方程为 化为一般式为x-2y+6=0.由于B点的坐标为(0,3)，故直线AB在y轴上的截距为3，利用斜截式，得直线AB的方程为y=kx+3，又由顶点A(3，-4)在其上，所以-4=3k+3，故k= 于是直线AB的方程为,化为一般式为7x+3y-9=0.由A(3，-4)、C(-6，0)，得直线AC的斜率 利用点斜式得直线AC的方程为 化为一般式为4x+9y+24=0.(2)由题意知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式.设倾斜角为,则sin= (0)，从而cos= 则k
12、=tan=故所求的直线方程为y= (x+4),即x-3y+4=0或x+3y+4=0.,【反思感悟】求直线方程应先选择适当的直线方程形式并注意各种形式的适用条件.基本方法包括利用条件直接求直线的基本量和利用待定系数法求直线的基本量.,【变式训练】一条直线经过点P(3，2)，倾斜角是直线x-4y+3=0的倾斜角的2倍，求直线方程.【解析】设所求直线的倾斜角为,已知直线的倾斜角为，则=2,且tan = tan =tan2= 从而方程为8x-15y+6=0.,【变式备选】已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为P(2,3),求过两点Q1(a1,b1)、Q2(a2,b2)(a1a
13、2)的直线方程.【解析】P(2,3)在已知直线上，2a1+3b1+1=0,2a2+3b2+1=0，2(a1-a2)+3(b1-b2)=0,即所求直线方程为y-b1= (x-a1)，2x+3y-(2a1+3b1)=0，即2x+3y+1=0.,直线方程的综合应用【方法点睛】 直线方程综合问题的类型及解法(1) 与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中的x、y的关系，将问题转化为关于x(或y)的某函数，借助函数的性质解决；(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决.,【例3】已知直线l过点P(3,
14、2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,如图所示,求ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.,O,l,A,B,P,【解题指南】先设出AB所在的直线方程，再求A、B两点的坐标，写出表示ABO的面积的表达式，最后利用相关的数学知识求出最值.,【规范解答】方法一：由题可设A(a,0),B(0,b)(a0,b0),则直线l的方程为l过点P(3,2), 且a3,b2.从而故有当且仅当a-3= 即a=6时取等号,即a=6时,(SABO)min=12,此时b= =4,此时直线l的方程为即2x+3y-12=0.方法二：由题可设直线方程为 (a0,b0),代入P(3,2),得得ab24,从而SABO= ab12,当且仅当 时,等号成立,SABO取最小值12，此时k=此时直线l的方程为2x+3y-12=0.,方法三：依题意知,直线l的斜率存在.设直线l的方程为y-2=k(x-3)(k0),则有A( ,0),B(0,2-3k),当且仅当-9k= ,即k= 时,等号成立，SABO取最小值12.,
