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1、一、单项选择题 (本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分)1. (0)sinco)( xxf .（A） 02 （B ） (01f（C） )f （D） (fx不可导.2. 13)1)( .（A） (x与 是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B）()与是等价无穷小；（C） )是比 )高阶的无穷小； （D） ()x是比 ()高阶的无穷小. 3. 若 (02xFtftd，其中 ()fx在区间上 (1,)二阶可导且)f，则（ ）.（A）函数 )必在 处取得极大值；（B）函数 (x必在 处取得极小值；（C）函数 在 0处没有极值，但点 (0,)F为曲线 ()yFx的拐点；（D）函数 ()F在
2、 处没有极值，点 也不是曲线 的拐点。4. )() ,)(2)( 10xfdtfxfxf （A）2（B）2x（C） （D） .二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）5. xxsin20)31(lim.6. ,(cof xfdcos)(.7. li(scoscs2221Ln nn.8.2121ari dxx.三、解答题（本大题有 5 小题，每小题 8 分，共 40 分）9. 设函数 ()y由方程 sin()1xye确定，求 ()yx以及 (0)y.10.d17x11.1 32 )(0)( dxfxefx12. 设函数 )(xf连续，10()()gxftd，且 0()lim
3、xfA， 为常数. 求 g并讨论 在 处的连续性.13. 求微分方程 2lnyx满足1()9y的解.四、 解答题（本大题 10 分）14. 已知上半平面内一曲线 )0()y，过点 (,)1，且曲线上任一点Mxy(,)0处切线斜率数值上等于此曲线与 x轴、 y轴、直线 x0所围成面积的 2 倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题 10 分）15. 过坐标原点作曲线 xyln的切线，该切线与曲线 ln及 x 轴围成平面图形 D.(1) 求 D 的面积 A；(2) 求 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题（本大题有 2 小题，每小题 4 分，共 8 分）16.
4、 设函数 )(xf在 0,1上连续且单调递减，证明对任意的 ,01q，00()qdqfdx.17. 设函数 )(xf在 ,上连续，且0)(0xdf，cos0d.证明：在 ,内至少存在两个不同的点 21,，使 .0)()(21ff（提示：设 xdfF0)()(）一、单项选择题(本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分)1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）5. 6e . 6. cx2)os(1.7. . 8. 3.三、解答题（本大题有 5 小题，每小题 8 分，共 40 分）9. 解：方程两边求导(1)cos()0xyyxe0,，
5、 ()110. 解： 76uxdu1()12()dln|2l|)7c71|1|xxC11. 解：012330()fdexd010()x23cossin)e321412. 解：由 (0)f，知 (0)g。100()()xtufdgxfd(0)x02()()x020()()A()limli2xxxfudfg0200()li()lixxfu ， ()gx在 0处连续。13. 解： ndy2(l)xdexC21l39(),0yC，1ln39y四、 解答题（本大题 10 分）14. 解：由已知且 02dx， 将此方程关于 求导得 y特征方程： r解出特征根： .2,1r其通解为 xxeCy21代入初始条
6、件 y()01，得 31,21C故所求曲线方程为：xxe32五、解答题（本大题 10 分）15. 解：（1）根据题意，先设切点为 )ln,(0，切线方程：)(ln00xxy由于切线过原点，解出 e，从而切线方程为： xey1则平面图形面积 1012)(dyAy（2）三角形绕直线 x = e 一周所得圆锥体体积记为 V1，则23e曲线 yln与 x 轴及直线 x = e 所围成的图形绕直线 x = e 一周所得旋转体体积为 V2 1022)(dyD 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积 )3125(621eV六、证明题（本大题有 2 小题，每小题 4 分，共 12 分）16. 证明：10
7、0()()qfdxfdx 100()()()qqqfxfdxf10(1)qqff12 12,1 ()()12()()0q fffq 故有： 100()()qfxdfxd证毕。17.证：构造辅助函数：xtfFx0,)()(0。其满足在 ,0上连续，在),0(上可导。 ，且 )(F由题设，有 000 )(sincocoss)( |dxFdxf，有 0sin)(xdF，由积分中值定理，存在 ),(，使 i)(即综上可知 ),0(,)()0( F.在区间 ,0上分别应用罗尔定理，知存在 ,1和 ,2，使 1及 2F，即 0)(21f. 高等数学 I 解答一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个
8、正确答案，填在题末的括号中）(本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分)1. 当 0x时， ,x都是无穷小，则当 0x时（ D ）不一定是无穷小. (A) (B) 22(C) )(1lnx(D) )(x2. 极限aaxsim的值是（ C ）.（A） 1 （B） e （C） aecot （D ） aetn3. 01sin)(2xaxfa在 处连续，则 a =（ D ）.（A） 1 （B） 0 （C） e （D ） 14. 设 )(xf在点 处可导，那么 hffh)2()(lim0（ A ）.（A） 3a （B） 2a(C) )(f （D） )(31f二、填空题（本大题有 4 小题，每
9、小题 4 分，共 16 分）5. 极限 )0(ln)l(im0axx的值是 a1.6. 由 ye2cos确定函数 y(x)，则导函数 y xeyyln2si.7. 直线 过点 M(,)13且与两平面 xyzxyz20356,都平行，则直线 l的方程为 1321zyx.8. 求函数 2)4ln(y的单调递增区间为 （，0）和（1，+ ） .三、解答题（本大题有 4 小题，每小题 8 分，共 32 分）9. 计算极限10()limxxe.解：11ln() 2000() ln(1)liiimxxxxxee10.已知： |3av， |26b， 3abv，求 |abv。解： 13cossin,15cos
10、 2 r， 72ar11.设 )(xf在a，b上连续，且,)()( bxdtfxFa，试求出 )(xF。解：xaadtftfF)()()( xaxa tfffdtf )()(12.求 3cos.inx解：21sindx2 21si sincotxdxC 四、解答题（本大题有 4 小题，每小题 8 分，共 32 分）13. 求 231xd.令 t21322)(1dtt原 式dt2123arcsint123614. 求函数 21xy 的极值与拐点.解：函数的定义域（，+） 2)(32)1(4xy令 0y得 x 1 = 1, x 2 = -1)x 1 = 1 是极大值点， 0x 2 = -1 是极小
11、值点极大值 (，极小值 )(y令 得 x 3 = 0, x 4 = 3, x 5 = -x(-,- ) (- ,0) (0, 3) ( 3,+)y + +故拐点（- 3，- 2） ， （0， 0） （ 3， 2）15. 求由曲线 4xy与 2x所围成的平面图形的面积 .解 :, ,x32341x() . 6060223 Sxdxd)()320 34(4360202161652716. 设抛物线 24xy上有两点 (,3)A， (,5)B，在弧 A B 上，求一点(,)Px使 AB的面积最大 .解： xyxxABP连 线 方 程 ： 点 到 的 距 离 的 面 积 1042523513() Sx
12、() ()12422 当 xSx)10 当 时 取 得 极 大 值 也 是 最 大 值x()01此 时 所 求 点 为 ，y33()另 解 ： 由 于 的 底 一 定 故 只 要 高 最 大 而 过 点 的 抛 物 线的 切 线 与 平 行 时 高 可 达 到 最 大 值 问 题 转 为 求 ，使 解 得 所 求 点 为ABCCxfx,(),() ,00200 042531213六、证明题（本大题 4 分）17. 设 ，试证 xex)(2.证明：设 0),1()f1()(2exf， xef24，0,，因此 在（0，+）内递减。在（0，+）内， )(,)(fxf 在（0，+）内递减，在（0，+）
13、内， f即 )12xx亦即当 x0 时， ex1)(2 。高等数学 I A一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）(本大题有 4 小题, 每小题 4 分 , 共 16 分)18. 函数 0,sin12ta,)ln()(xxxf的全体连续点的集合是 （ ）(A) (-,+ ) (B) (-,1) U(1,+ )(C) (- ,0) U (0,+ ) (D) (- ,0) (0,1) (1,+ )19. 设01(lim2baxx，则常数 a,b 的值所组成的数组（a,b）为（ ）（A） （1，0） （B） （0，1） （C） （1，1） （D） （1，-1）20
14、. 设在0，1上 )(xf二阶可导且 0)(xf，则（ ）（A） )(f (B) )1(0)(fff (C) （D ）21.,1cosin224dxM243)cos(sindxxN243)cossin(dxxP则（ ）（A） M 0,故驻点为极小值点。5设 f (x) = x lnx 在 x0 处可导，且 f(x0)=2,则 f (x0)= 。 解： .),)(,l eef 1lim.620x则 f(x)在 x=0 取得（填极大值或极小值） 。解： 0,00 0,li 22 xfxx fxffQ二、 0,01)(xf是否连续？是否可导？并求 f(x)的导函数。解：当 x0 及 x0F(1)=f(1)-1=0
