《【全程复习方略】（广西专用）2013版高中数学 4.6三角函数的性质配套课件 理 新人教A版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【全程复习方略】（广西专用）2013版高中数学 4.6三角函数的性质配套课件 理 新人教A版（64页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第六节 三角函数的性质,三年9考 高考指数:理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.,1.函数y=sinx、y=cosx、y=tanx的性质是本节的重点，函数y=Asin(x+)的图象和性质是高考的热点.2.题型既有选择、填空题,也有解答题，小题主要考查三角函数的图象与性质，解答题常结合三角恒等变换、平面向量、解三角形等知识综合考查.,1.函数y=sinx、y=cosx、y=tanx的性质,R,R,x|xk+ ,kZ,-1,1,-1,1,R,奇函数,偶函数,奇函数,T=2,T=2,T=,增区间：- +2k, +2k(kZ)减区间： +2k, +2k(kZ),增区间：+2k,2+2k(kZ)减区
2、间：2k,+2k(kZ),增区间：(- +k, +k)(kZ),对称轴x=k+(kZ)对称中心(k,0)(kZ),对称轴x=k(kZ)对称中心(k+ ,0)(kZ),对称中心( ,0)(kZ),【即时应用】(1)思考：如何根据正弦曲线上的特殊点确定正弦函数的最小正周期？,提示:两个相邻的最高(低)点之间的距离是一个周期，相邻的最高点与最低点之间的距离是半个周期；函数y=Asin(x+)的图象与x轴的两个相邻的交点之间的距离是半个周期；两条相邻的对称轴之间的距离是半个周期；一条对称轴与最近的平衡点之间的距离是四分之一周期.,(2)正弦函数y=sinx取得最小值、余弦函数y=cosx取得最大值时x
3、的取值集合分别是_.【解析】y=sinx取得最小值时x= ,kZ，y=cosx取得最大值时x=2k，kZ.答案：x|x= ,kZ,x|x=2k,kZ,(3)函数y=tanx， 的值域是_.【解析】y=tanx在 上为增函数， ，即-1tanx1.答案：-1,1,2.函数y=Asin(x+)(0)的性质(1)定义域：_;值域：当A0时_，当A0时_.(2)周期:_.(3)奇偶性:当_时，函数y=Asin(x+)为奇函数,当_时，函数y=Asin(x+)为偶函数.,xR,-A,A,A,-A,=k(kZ),(4)单调性:当A0时,函数y=Asin(x+)的增区间由不等式 求得,减区间由不等式 求得，
4、当A0时,正好反过来.(5)对称性:函数y=Asin(x+)的图象的对称轴由方程x+= +k(kZ)求得,对称中心的横坐标由方程x+=k(kZ)求得.,【即时应用】(1)函数f(x)= 的周期是_.(2)函数f(x)= 的增区间是_,对称轴是_.(3)函数f(x)=sin(2x+),(-,0)是偶函数,则=_.,【解析】(1)f(x)= T= (2)f(x)=由 得,函数f(x)的增区间是由得函数f(x)的对称轴是x=,(3)联想到y=sinx是奇函数,y=cosx是偶函数,又(-,0)，= .或由f(-x)=f(x)得sin(-2x+)=sin(2x+)即-sin2xcos+cos2xsin
5、=sin2xcos+cos2xsin,2sin2xcos=0对任意的x恒成立.cos=0,又(-,0),= .答案：,三角函数的值域或最值【方法点睛】三角函数值域(最值)的求法三角函数的值域问题,实质上是含有三角函数的复合函数的值域问题,主要有以下三条途径:,(1)将sinx或cosx用所求变量y来表示,如sinx=f(y),再由|sinx|1得到一个关于y的不等式|f(y)|1,从而求得y的取值范围; (2)将y用sinx或cosx来表示,即将原函数化为y=Asin(x+)+B,y=Acos(x+)+B型或化为关于sinx(或cosx)的二次函数式，利用函数的单调性或配方法、换元法来确定y的
6、取值范围;(3)利用数形结合或不等式法求解.,【提醒】在进行三角变换时，一定要注意恒等变换(即x的取值范围既不能扩大也不能缩小).,【例1】(1)已知函数f(x)= ，则函数f(x)的值域为_.(2)已知f(x)= ，求g(x)= 的最值及取得最值时x的取值集合.,【解题指南】(1)弦化切，转化为tanx的二次函数，换元求值域;(2)化简f(x)的分母时要注意角 +x与 -x及其正、余弦的关系，化简其分子时，要注意统一角.,【规范解答】(1)f(x)=tan2x+2tanx+2.令tanx=t, .y=t2+2t+2=(t+1)2+1, ,ymax=5,ymin=1.函数f(x)的值域为1,5
7、.答案：1,5,(2)f(x)=, , ,此时 ,即x的取值集合为 . ,此时 ,即x的取值集合为 .,【互动探究】将本例(1)中的“ ”去掉,试探究函数f(x)的定义域及最值.【解析】由cos2x0及tanx有意义，得xk+ (kZ).函数f(x)的定义域为x|xk+ ,kZ.由本例(1)的解析知，令tanx=t,则tR.y=t2+2t+2=(t+1)2+1.tR,ymin=1,函数f(x)无最大值.,【反思感悟】求三角函数值域(最值)的注意事项(1)求函数的值域(最值)一定要注意函数的定义域，同一个函数的定义域不同，值域(最值)也可能不同.(2)求三角函数值域(最值)的变形方向，一是把所给
8、函数解析式化成y=Asin(x+)(y=Acos(x+),y=Atan(x+)的形式；二是把所给函数解析式化成关于sinx、cosx、tanx(或Asin(x+)的二次函数的形式，利用换元法求解.,【变式备选】求函数y=sinx+cosx+sinxcosx+1的值域.【解析】令sinx+cosx=t,则 ，t ,(sinx+cosx)2=t2,即sinxcosx= . . .函数的值域是 .,简单的三角方程、三角不等式【方法点睛】常见的三角方程、三角不等式的解集(1)常见三角方程的解集,x|x=k,kZ,x|x=2k,kZ,x|x=2k+,kZ,x|x=k，kZ,x|x=2k+ ,kZ,x|x
9、=2k- ,kZ,x|x=k+ ,kZ,(2)常见的三角不等式的解集,x|2kx2k+,kZ,x|2k-x2k,kZ,x|2k- x2k+ ,kZ,x|2k+ x2k+ ,kZ,x|kxk+ ,kZ,x|k- xk,kZ,【例2】(1)(2011湖北高考)已知函数f(x)= sinx-cosx,xR，若f(x)1，则x的取值范围为( )(A)x|k+ xk+,kZ(B)x|2k+ x2k+,kZ(C)x|k+ xk+ ,kZ(D)x|2k+ x2k+ ,kZ(2)方程 的解集是_.,【解题指南】(1)先利用辅助角公式化简f(x),再利用正弦函数y=sinx的图象解答;(2)把2x- 看成一个整
10、体,结合正弦函数y=sinx的图象解答.,【规范解答】(1)选B.f(x)=2sin(x- ),由f(x)1,得sin(x- ) , ,即 .(2)由正弦函数y=sinx的图象易得 ,即 .答案：,【互动探究】对本例(2),试求方程在0,2上的解集.【解析】由本例(2)的解析知, ,x0,2, .方程 在0,2上的解集为 .,【反思感悟】解简单的三角方程、三角不等式的依据是三角函数的图象或三角函数的定义及单位圆，求解时要注意弦函数与切函数的周期的不同.,【变式备选】求下列函数的定义域:【解析】(1)由tanx-10，即tanx1得 ,函数y= 的定义域为 .,(2)要使函数有意义,必须使sin
11、x-cosx0.方法一:利用图象.在同一坐标系中画出0,2上y=sinx和y=cosx的图象,如图所示.在0,2内,满足sinx=cosx的x为 ,再结合正弦、余弦函数的周期是2,所以定义域为,方法二:利用三角函数线,如图, MN为正弦线,OM为余弦线,要使sinxcosx,即MNOM, 则 (在0,2内).定义域为 .,方法三:sinx-cosx= ,将 视为一个整体,由正弦函数y=sinx的图象和性质可知 ,解得 .所以定义域为 .,三角函数的周期性、单调性、对称性【方法点睛】1.求解三角函数的周期性、对称性及单调性的方法研究三角函数的周期性、对称性、单调性，通常将三角函数的解析式化为y=
12、Asin(x+)+B(或y=Acos(x+)+B,y=Atan(x+)+B)的形式.,2.几种具体求对称性的方法(1)函数y=Asin(x+)与x轴(即直线y=0)的交点为对称中心，其横坐标可由x+=k(kZ)求出；过最高点或最低点且垂直于x轴的直线是图象的对称轴;(2)函数y=Asin(x+)+B与直线y=B的交点为对称中心，其纵坐标为B，横坐标可由x+=k(kZ)求出；过最高点或最低点且垂直于x轴(或直线y=B)的直线是图象的对称轴；函数y=Acos(x+)+B可类似得出；,(3)函数y=Atan(x+)不是轴对称图形，是中心对称图形，其对称中心的横坐标可由x+= (kZ)求出；,3.奇偶性是对称性的特例当函数y=Asin(x+)、y=Acos(x+)的图象移动至过原点时，函数为奇函数；图象的最高点(或最低点)在y轴上时，函数为偶函数；函数y=Atan(x+)的图象过原点或图象的渐近线过原点时，函数为奇函数.,
