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1、1高等代数练习题一、选择题1、每个次数1 的复系数多项式在复数域上都可以唯一的分解成（ ）A、一次因式的乘积 B、一次与二次因式的乘积 C、只能是二次因式的乘积 D、以上结论均不对2、多项式 在有理数域上（ ）21834xxA、可约 B、不可约 C、不一定可约 D、不能确定3、齐次线性方程组有非零解的充要条件是（ ）A、系数行列式不为 0 B、系数行列式为 0 C、系数矩阵可逆 D、系数矩阵不可逆4、若存在 u（x） ，v（x）使 u（x）f（x）+v（x）g（x）=1，则（ ）A、f（x）g（x） B、g（x）f（x） C、f（x）g（x）=1 D、以上均错5、下列说法正确的是（ ）A、设
2、A、B 是两个 n 级矩阵，则秩（A+B）秩 A+秩 BB、设 是两向量空间，则 dim（ ）=dimV +dimV21V、 21V12C、以上均对 D、以上均错6、模 m 的完全剩余系有（ ）A、唯一一个 B、无穷多个 C、有有限个 D、不一定有7、设 p 是素数，a 是整数，且(p,a)=1，则（ ）A、 B、 C、 D、以上均错)(od)(mod0pap)(mod01pap8、多项式 f(x)除以 x-a 所得的余数为（ ）A、f(0) B、f(x-a) C、f(a) D、以上均错9、在 xy 平面上，顶点的坐标(x,y)满足 ，且 x,y 是整数的三角形个数有（ ）41,yxA、560
3、 B、32 C、516 D、4410、零多项式的次数是（ ）A、0 次 B、1 次 C、2 次 D、不定义次数二、填空题1、方程 的有理根为_。03234x2、排列 657893 的逆序数是_。5 3 -1 2 01 7 2 5 23、行列式 0 -2 3 1 0 的值为_0 -4 -1 4 00 2 3 5 04、 _时，方程组 有非零解21x25、计算 =_41032106、m 是大于 1 的正整数，a、b ，若 mab，则称 a、b 关于模 m_。z7、模 m 的非负最小完全剩余系为_。8、2003 被 17 除的余数为_。2059、若 f(x)=a x +a x +a x+a x 的根
4、是 x ，x ，则 x x x =_。n1n101n12n10、用艾森斯坦判别法判断 f(x)=x 3x +6x 3x +9x6 在有理数域上不可约所找到的素数为5432_。三、计算及综合题1、设 求 f（x）除以 g（x）所得的商式 q（x）和 164322 xgxxf余式 r（x） 。2、设 ， 。3234xf 3203xx求（f（x） ，g （x） ） ，并求 u（x） ，v（x）使（f（x） ，g（x） ）=u（x）f（x）+v（x）g（x）3、求行列式 d= 的值ab4、解方程组 06745293824321431xx5、求矩阵的秩 103062426、求不定方程 25x+13y+7
5、z=4 的整数解7、求方程 的实数解05142x3n-3, )10(n8、定义域为正整数的函数 f(n)满足 )(nff(f(n+7), ( )p试求 f(90)9、设 F(x)是对除 x=0 及 x=1 以外的一切实数有定义的实值函数，并且 xFx1)()，求 F(x).10. 确定以下各小题的集合关于给定运算是否封闭。如果是，说明相关运算所具有的性质( 指交换律，结合律，幂等律，分配律，吸收律和特异元素(单位元，零元，逆元)（1）A=Z，xy=x+y-2xy ，任意 x，yA（2）. A=R，x y=|x-y| ，任意 x，yA（3）. A=P(a，b)，两个运算分别为集合的交和对称差（4
6、）. A 为 n 阶实可逆矩阵的集合，两个运算分别为矩阵加法和乘法。11、用 m 种颜色涂色正六边形的顶点，如果允许这个六边形在空间任意运动，求不同的涂色方案数。 （20分）12、设 n 为给定自然数，求平面上由直线 x2yn 与两个坐标轴所围成的执教三角形内(包括边上) 的整点个数，其中整点表示横、纵坐标都是整数的点。 （20 分）四、推导题已知厄密算符 BA,，满足 12，且 0AB，求1、在 A 表象中算符 、 的矩阵表示；2、在 A 表象中算符 的本征值和本征函数；3、从 A 表象到 B 表象的幺正变换矩阵 S。五、计算题线性谐振子在 0t时处于状态线性谐振子在 时处于状态)21exp
7、(31),(x，其中 h，求1、在 0t时体系能量的取值几率和平均值。2、 时体系波函数和体系能量的取值几率及平均值六、问答题，一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个?练习题答案4一、选择题（3 分5=15 分）1、A2、B3、B4、C5 、A 6、B 7、A 8、C 9、C 10、D二、填空题（3 分5 分=15 分）1、1 2、5 3、-1080 4、 5、1107266、同余 7、0，1，2，m-1 8、14 9、 10、3na)(三、计算1、解： -3x+1 3 +4 -5x+ 6 3x+132xx23 -9 +3
8、x 13 - 8x+ 62x13 -39x+1331x- 7 （4 分）所以 q(x)=3x+13, （3 分）r(x)=31x-7 （3 分）2、解： g(x) f(x)x+9= (x) 3 +10 + 2x-3 + 3 - -4x-3 x- = (x)572qx24x2x191q3 +15 +18x + + - x 10-5 -16x-3 - - - 3x - 32x352-5 -25x-30 - - - x+x91(x)=9x+27 (x)=- - x- x- = (x)2r1r2308503q- - x5- x-91- x- （5 分）030即 f(x)=（ x- ）g(x)+（- -
9、 x- ） 31952x91g(x)=（ x+9） （- - x- ）+（9x+27）527305- - x- =（ x- ） （9x+27）952x3108510故（f(x) ，g(x)）=x+3 （1 分）9x+27=g(x)-( x+9)( - - x- )792x3=g(x)-( x+9)( f(x)-( x- )g(x)52=( x-9) f(x)+(1-( x-9)( x- )g(x)1=( x-9) f(x)+( - + x) g(x) （2 分）792x58于是 u（x）= ，v（x）= （2 分）153x23、解： ababbdLL= （3 分）abnabnaLL)1()(1
10、=（ ） （3 分）)( abbL1=（ bna)(） （2 分）baabLL0=（ )1(） （2 分）1)(nba4、解：系数行列式 =27 0 （2 分）674120352d6= =81 （1 分）1d6740215398= =-108 （1 分）2d67012598= =-27 （1 分）3d604125918= =27 （1 分）4d07152938所以方程组有唯一解为 =3， （1 分）1x=-4， （1 分）2=-1， （1 分）3x=1 （1 分） 45、解： 103062421（2 分）10341（2 分）040217（2 分）004312（2 分）004321故矩阵的秩为
11、3 （2 分）6、解：设 ，考虑方程组 25x+13y=u 的整数解， (2 分)ZuU+7z=4 把看作关于 x,y 的二元一次不定方程得与的特解为 ux0 30u（1 分） （1 分）y2z则与通解为 x=-u+13 u=-3+7t 2tY=2u-25 , （1 分） z=1- , Z （1 分）1Z将 u=-3+7 代入的通解 ,得原方程通解 x=3-7 +132t 2t1Y=-6+14 -25 , Z （4 分）t2Z=1- 2t7、解：由已知有 40x514x2于是 0(1 分).8.当 1.5 x 2 时， =1，原方程变为 =-11（不合适） (1 分)p24x当 2 x 3 时， =2，原方程变为 =29,x= （合适） (1 分)29当 3 x 4 时， =3，原方程变为 =69,x= （不合适） (1 分)p24x6当 4 x 5 时， =4，原方程变
