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1、流形球面(球的表面)为二维的流形，由于它能够由一群二维的图形来表示。流形（Manifold），是局部具有欧几里得空间性质的空间。 欧几里得空间就是最简单的流形的实例。地球表面这样的球面则是一个稍微复杂的例子。一般的流形可以通过把许多平直的片折弯并粘连而成。流形在数学中用于描述几何形体，它们提供了研究可微性的自然的舞台。物理上，经典力学的相空间和构造广义相对论的时空模型的四维伪黎曼流形都是流形的实例。他们也用于位形空间（configuration space）。环面（torus）就是双摆的位形空间。我们可以把几何形体的拓扑结构看作是完全“柔软”的，因为所有变形（同胚）会保持拓扑结构不变；而把解析
2、簇看作是“硬”的，因为整体的结构都是固定的。例如一个 1维多项式，如果你知道 (0,1) 区间的取值，则整个实数范围的值都是固定的，局部的扰动会导致全局的变化。我们还可以把光滑流形看作是介于两者之间的形体：其无穷小的结构是“硬”的，而整体结构则是“柔软”的。这也许是中文译名 流形 的原因（整体的形态可以流动）。该译名由著名数学家和数学教育学家江泽涵引入。这样，流形的硬度使它能够容纳微分结构，而它的软度使得它可以作为很多需要独立的局部扰动的数学和物理的模型。流形可以视为近看起来象欧几里得空间或其他相对简单的空间的物体。例如，人们曾经以为地球是平坦的，因为我们相对于地球很小，这是一个可以理解的假象
3、。所以，一个理想的数学上的球在足够小的区域也像一个平面，这使它成为一个流形。但是球和平面有很不相同的整体结构:如果你在球面上沿一个固定方向走，你最终回到起点，而在一个平面上，你可以一直走下去。一个曲面是二维的。但是，流形可以有任意维数。其他例子有：一根线的圈（一维的）以及三维空间中的所有旋转（三维的）。旋转所组成的空间的例子表明，流形可以是一个抽象空间。流形的技术使得我们能够独立考虑这些对象。从某种意义上来说，我们可以有一个不依赖于任何其他空间的球。局部的简单性是一个很强的要求。例如，我们不能在球上吊一个线，并把这个整体叫做一个流形；包含把线粘在球上的那一点的区域都不是简单的既不是线也不是面无
4、论这个区域有多小.我们用收集在地图集中的平的地图在地球上航行。类似的，我们可以用在数学图集 中的数学地图（称为 坐标图 ）来描述一个流形.通常不可能用一张图来描述整个流形，这是因为流形和建造它的模型所用的简单空间在全局结构上的差异。当使用多张图来覆盖流形的时候，我们必须注意它们重叠的区域，因为这些重叠包含了整体结构的信息。有很多不同种类的流形。最简单的是拓扑流形，它们局部看来像欧几里得空间。其他的变种包含了它们在使用中所需要的额外的结构。例如，一个微分流形不仅支持拓扑，而且要支持微积分。黎曼流形的思想导致了广义相对论的数学基础，使得人们能够用曲率来描述时空。定义流形的数学定义可以表述为 1：设
5、 M是豪斯多夫空间，若对任意一点 ，则有 x在 M中的一个邻域 U同胚于 m维欧几里得空间 Rm的一个开集，称 M是一个 m维流形。引例:圆圈四张图分别把圆的一部分映射到一个开区间，它们合在一起覆盖了整个圆。圆是除欧几里得空间外的拓扑流形的最简单的例子。让我们考虑，例如一个半径为 1，圆心在原点的圆。若 x 和 y是圆上的点的坐标，则我们有 x + y = 1.局部看来，圆像一条线，而线是一维的。换句话说，我们只要一个坐标就可以在局部描述一个圆。例如，圆的上半部， y-坐标在那里是正的（右图中黄色的部分）。那个部分任何一点都可以用 x-坐标确定。所以，存在双射 top，它通过简单的投影到第一个
6、坐标（x）将圆的黄色部分映射到开区间（1, 1）：这样的一个函数称为 图（ chart） 。类似的，下半部（红），左半部（蓝），右半部（绿）也有图。合起来，这些部分覆盖了整个圆，我们称这四个图组成一个该圆的 图集（ atlas） 。注意上部和右部的图的重叠部分。它们的交集位于圆上 x和 y坐标都是正的四分之一弧上。两个图 top和 right将这部分双射到区间（0, 1）。这样我们有个函数 T 从（0, 1）到它自己，首先取黄色图的逆到达圆上再通过绿图回到该区间:这样的函数称为 变换映射 （坐标变换）.圆圈流形基于斜率的坐标图集，每个图覆盖除了一点之外的所有点。上，下，左，右的坐标图表明圆圈是
7、一个流形，但它们不是唯一可能的图集。坐标图不必是几何射影，而图的数量也可以有某种选择。考虑坐标图和这里 s是穿过坐标为（ x,y）的可变点和固定的中心点（1,0）的线的斜率; t是 s的镜像对称，其中心点为（+1,0）。从 s到（ x,y）的逆映射为我们很容易确认 x+y = 1对于所有斜率值 s成立。这两个图提供了圆圈的又一个图集，其变换函数为注意每个图都缺了一点，对于 s是（1,0），对于 t是（+1,0），所以每个图不能独自覆盖整个圆圈。利用拓扑学的工具，我们可以证明没有单个的图可以覆盖整个圆圈；在这个简单的例子里，我们已经需要用到流形可以拥有多个坐标图的灵活性。从代数曲线来的四个流形:
8、 圆圈, 抛物线, 双曲线, 三次曲线.流形不必连通（整个只有 一片 ）;这样，一对分离的圆圈可以是一个拓扑流形。它们不必是闭的；所以不带两个端点的线段也是流形。它们也不必有限;这样抛物线也是一个拓扑流形。把这些自由选择加起来，两个另外的拓扑流形的例子有双曲线和三次曲线 y - x + x = 0上的点的轨迹。但是，我们排除了向两个相切的圆（它们共享一点并形成 8字形）的例子；在切点我们无法创建一个满意的到一维欧几里得空间的坐标图。(我们可以在代数几何中用另一种观点来看，在那里我们考虑四次曲线( x 1) + y 1)(x + 1) + y 1) = 0上的复数点，其实数点构成一对在原点相切的
9、一对圆。从微积分的观点来看，圆的变换函数 T只是开区间之间的函数，所以我们知道它意味着 T是可微的。事实上， T在（0, 1）可微而且对于其他变换函数也是一样。所以，这个图集把圆圈变成 可微流形 。坐标图，图集和变换映射坐标图（chart）一个流形的一个坐标映射,坐标图，或简称图是一个在流形的一个子集和一个简单空间之间的双射，使得该映射及其逆都保持所要的结构。对于拓扑流形，该简单空间是某个欧几里得空间 Rn而我们感兴趣的是其拓扑结构。这个结构被同胚保持，也就是可逆的在两个方向都连续的映射。图对于计算极其重要，因为它使得计算可以在简单空间进行，再把结果传回流形。例如极坐标，是一个 R2除了负 x
10、轴和原点之外的图。上节提到的映射 top是圆圈的一个图图集多数流形的表述需要多于一个的图（只有最简单的流形只用一个图）。覆盖流形的一个特定的图的集合称为一个图集。图集不是唯一的，因为所有流形可以被不同的图的组合用很多方式覆盖。包含所有和给定图集相一致的图的图集称为极大图集。不像普通的图集，极大图集是唯一的。虽然可能在定义中有用，这个对象非常抽象，通常不直接使用（例如，在计算中）。变换映射图集中的图通常会互相重叠，而流形中的一个点可能会被好几个图所表示。如果两个图重叠，它们的部分会表示流形的同一个区域。这些部分之间的关联代表流形上同一点的坐标点的映射，譬如上面圆圈例子中的映射 T，称为坐标变换,
11、变换函数，或者转换函数,转换映射。附加的结构图集也可用于定义流形上的附加结构。结构首先在每个图上分别定义。如果所有变换映射和这个结构相容，该结构就可以转到流形上。这是微分流形的标准定义方式。如果图集的变换映射对于一个拓扑流形保持 Rn自然的微分结构（也就是说，如果它们是微分同胚），该微分结构就传到了流形上并把它变成微分流形。通常，流形的结构依赖于图集，但有时不同的图集给出相同的结构。这样的图集称为相容的。构造一个流形可以以不同方式构造，每个方式强调了流形的一个方面，因而导致了不同的观点。图集该坐标图把球面有正 z坐标的部分映射到一个圆盘。可能最简单的构造一个流形的方法是在上面的例子中的圆圈的构
12、造方法。首先，确认 R2的一个子集，然后覆盖这个自己的图册被构造出来。 流形 的概念历史上就是从这样的构造发展出来的。这里有另一个例子，把这个方法应用在球面的构造上:带图册的球面球面的表面可以几乎和圆圈一样的方法来处理。我们把球面视作 R3的子集:球面是二维的，所以每个坐标图将映射球面的一部分到一个 R2的开子集。例如考虑北半球，它是带正 z坐标的部分。（在右图中它着红色）定义如下的函数( x,y,z) = (x,y),把北半球映射到开单位圆盘，通过把它投影到（ x, y）平面。类似的坐标图对南半球也存在。和投影到（ x, z）平面的两个坐标图以及投影到（ y, z）平面的两个坐标图一起，我们
13、得到了一个覆盖整个球面的含 6个坐标图的图册。这可以很容易地扩展到高维的球面。贴补流形可以通过把碎片以一种相容的方式粘合来构造，使得碎片成为互相覆盖的坐标图。这种构造对于任何流形都是可行的，所以经常作为流形的表述，特别是微分和黎曼流形。它集中于图册的构造，把流形作为坐标图所自然的提供的贴片，因为不涉及外部的空间，这导致了流形的内在的观点。这里，流形通过给定图册来构造，图册通过定义转换映射来得到。流形的一个点因而是指通过变换映射映到同一个点的坐标点的等价类。坐标图把等价类映射到一个贴片上的点。通常会对变换映射有很强的一致性要求。对于拓扑流形，它们被要求为同胚；如果它们也是微分同胚，最后得到的流形
14、就是微分流形。这可以通过变换映射圆圈例子的第二部分中的 t = 1s来解释。从直线的两个拷贝开始。第一个拷贝用坐标 s，第二个拷贝用 t。现在，通过把第二个拷贝上的点 t和第一个拷贝上的点 1s作为同一个点来粘合起来(点 t = 0不和任何第一个拷贝上的点认同)。这就给出了一个圆圈。内在和外在的观点第一种构造和这种构造非常相似，但是他们代表了相当不同的观点。在第一种构造中，流形被视为嵌入到某个欧几里得空间中。这是 外在的观点 。当一个流形用这种方式来看的时候，它很容易通过直觉从欧几里得空间得倒附加的结构。例如，在欧几里得空间，很明显某个点的一个向量是否和穿过该点的曲面 相切或者垂直。贴补构造不
15、用任何嵌入，只是简单把流形看作拓扑空间本身。这个抽象的观点称为 内在的观点 。这使得什么是切向量更难以想象。但是它表达了流形的本质，在计算上来讲，这使我们避免了使用更高的维数，例如我们只要二维而不是三维就可以作球面上的计算。 作为贴补的 n维球面n维球面 Sn可以通过粘合 Rn的两个拷贝来构造。他们之间的变换函数定义为这个函数是它自身的逆，因而可以在两个方向使用。因为变换映射是一个光滑函数，这个图册定义了一个光滑流形。如果我们取 n = 1，我们就得倒了上面圆圈的例子。函数的零点很多流形可以定义为某个函数的零点集。这个构造自然的把流形嵌入一个欧几里得空间，因而导向一个外在的观点。这很形象，但不
16、幸的是不是每个流形都可以这样表示。如果一个可微函数的雅可比矩阵在函数为 0的每一点是满秩的，则根据隐函数定理，每个这样的点周围存在一个为 0的领域微分同胚于一个欧几里得空间。因此零点集是一个流形。作为一个函数零点的 n维球面n维球面 Sn经常定义为这等价为如下函数的零点这个函数的雅可比矩阵是，它的秩对于除了原点的所有点为 1(对于 1n矩阵就是满秩的)。这证明n维球面是一个微分流形。认同一个流形上的不同点可以把流形上的不同点定义为相同。这可以视为把不同的点粘合为同一个点。结果经常不是流形，但在有些情况下是流形。这些情况下，认同过程是用群来完成的，这是作用在流形上的群。两个点被视为同一个如果一个能被该群的一个元素移动到另一个上面。如果 M是该流形而G是该群，结果空间称为商空间，并记为 M/G。可以通过认同点来构造的流形包括环面和实射影空间（分别从一个平面和一个球面开始）。直积流形的直积也是流形。但不是每个流形都是
