用插值函数绘制离心泵叶片流线展开图

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1、 用插值函数绘制离心泵叶片流线展开图用插值函数绘制离心泵叶片流线展开图胡家顺 王 冕 杨 明 董 川 熊 勃(武汉工程大学机电工程学院）摘 要 本文提出了一种用 n 次插值函数绘制离心泵叶片流线展开图的方法。利用该方法由绘制叶片流线展开图，可通过选择不同的插值节点，从而方便地控制或改变叶片流线展开图形，以满足不同的设计要求。关键词 离心泵 叶片流线 n 次插值函数1 引 言在叶轮的绘型中，当完成流线的分点后需将流线在方格网图上展开。传统的绘制方法是用弹性较好的软尺，弯折其两端使与流线的入、出口安装角相等，按软尺自然形成的曲线绘出。若按此绘出的展开流线前后角度不平缓时，需修改叶片入口边在轴面投影

2、图上的位置，再绘制流线的展开图，直到符合要求为止。可见该方法误差大效率低。因此不少研究者对此提出了改进的方法，如文1给出的用样条函数和文2 给出的用贝赛尔曲线绘制流线的展开图的方法都十分方便有效，但均有数值计算量偏大之疵。为此本文给出了一种用 n 次插值函数绘制离心泵叶片流线展开图的方法。利用该方法绘制叶片流线展开图，可通过选择不同的插值节点，从而便捷地控制或改变叶片流线展开图形，以满足不同的设计要求。 2 一元 n 点插值函数的构成当已知 n 个点时，可以通过全部 n 个点，作一插值函数 （见式（1） ） ，可以用它求其任意节)(xP点间的函数插值。 nnnnnyxxyxx)()( )()(

3、)( 1101210021即 （1）iniijjyxxP0)(一元 n 点插值函数，虽然在应用时十分方便，但由于该插值函数为一高次方程，特别是当 n 值很大时（节点数很多时)，可能出现插值的不稳定性，为避其弊端，现取 n=4 构成插值函数用以绘制叶片流线展开图。插值函数的具体表达式如下： 431404 12140021)()( )()( )( yxxyxxxP即 iiijjP0)（2）其一阶导数为iiijjikkjjy-xxP404,0 )()(（3） 用插值函数绘制离心泵叶片流线展开图3 插值函数节点的确定3.1 节点 0、1、3、4 的确定节点 0(x0，y 0)和节点 4(x4，y 4)

4、可选在流线的进出口的两个端点上（见图 1） ，即，1m， /404式中， 为流线在入口边处的分点序号值； 为叶m片包角； 为任意轴面间夹角。为使流线两端点处满足图 1 n=4 插值函数节点确定的示意图10)(tgxP（4）24（5）可将节点 1(x1，y 1)和节点 3(x3，y 3)分别选在流线进出口安装夹角 和 的射线 和 上（见图 1） 。21l经作者经大量算例表明当取0.51（6）43)98(xx（7）时，流线能较好地满足式（4） 、 （5）所给出的条件和各流线在距出口端约 2030左右时趋于重合的特性。 、 确定后， 、 可按下式计算1x31y30tgx（8）2343)(y（9）3.

5、2 节点 2 的确定由式（4） 、 （5）给出的流线两个端点处的边界条件，可分别解得（10CEyDByAtgy /)(431012 ）（11）其中 分别为 时，EDCBA、 0xi0，1，2，3，4 的40, )(ijjikkjj-x（12）值； 分别为 时，EDCBA、 4xi0，1，2，3，4 的（13）值。 应等于 ，即21y2021y（14）这是一个以 为未知量的非线性方程，可用数2x值方法求解得 后代回到式（10 ）或式（11） ，便可求得 。由于用数值方法求解方程（14）过于繁2y复，为简化计算，在按式（6）（9）确定节点 1、3后可将节点 2 的 值取为 、 的中点，即x04x2

6、（15）而将 取为2y2y（16）经作者大量算例表明用上述简化方法确定的节点所构成的插值函数来绘制流线展开图均获得较为满意的结果。4 计算实例某电解液循环泵叶轮的绘型中已知叶片流线进口处的分点值及进出口安装角（见表 1） ，叶片包角及任意轴面间夹角为： ，o0o5表 1 叶片流线分点值及进出口安装角流线 流线分点值 进口安装角 出口安装角前盖板流线 a 9.34 21 30中间流线 b 11.43 25 30后盖板流线 c 13.10 29 30现确定绘制前盖板流线 a 插值函数的节点节点 0 取 ，x34.90y12),(0yx ),(4yx),(2yx31l2l3l)/(x 40,)(ij

7、jikkjj-x 用插值函数绘制离心泵叶片流线展开图节点 4 取 25/10/oxy节点 1 按式(6)取 .362.910349 1otg.节点 3 按式(7)取 54x7.0 )2(3oty节点 2 取 14x按式（ ）计算 CyEDyBAtgy /)(431022其中 由式(13)计算得C、759.470.36 218.E将它们及其 值一并代入上式得5940.2y后盖板流线 b 和中间流线 c 插值函数的节点确定方法同上。表 2 列出了各流线插值函数的节点以及由这些节点所构成的插值函数一阶导数在两个端点上的值。表 2 插值函数节点值流线 前盖板流线 a 中间流线 b 后盖板流线 c0x0

8、 0 00 y9.34 11.43 13.1010.01 0.01 0.0119.3362 11.4253 13.09192x11 11 112 y5.5940（5.5794）6.1142（6.1100）6.5008（6.5040）321（21.5）21（21.5）21（21.5）3 0.5774（0.2887）0.5774（0.2887）0.5774（0.2887）4x22 22 22插值函数节点4 y0 0 010)(tgP0.38388 0.46631 0.5543221.00 25.00 29.0024x0.57736 0.57735 0.5773430.00 30.00 30.00注

9、：括号内数据是改变节点 3 中 =21 为 21.5 后相应x节点的变化值。在确定了各流线的插值函数的节点后可按式(2)分别计算各不同 x 值时的 ，得到一系列点)(P（ ） ，连接这些点即得各流线的展开图，其)(,P结果见图 2。将表 2 中节点 3 的 值取为 21.5 而其他条件x均保持不变，据此绘出的各流线展开图如图 3 所示。比较图 2、图 3 可见在 90110处（即x=1822）有明显的差异，图 2 上各流线在此范围的重合度较图 2 Q25H58 电液循环叶片流线展开图之一之图 3 的要高，也更符合离心泵叶片流线在出口处的走向特性。由此可见用插值函数绘制叶片流线展开图，通过选择不

10、同的插值节点，即能方便地控制或改变叶片流线展开图形，以获得满意的结果。图 3 Q25H58 电液循环叶片流线展开图之二参 考 文 献1 陈世亮.叶片流线展开的计算方法 J. 流体工程，1992， （2）：44-45.0、 x( / )9521bcaabc30y02468102461824975316408024681024618204y21953x( / )bcabca975311648 用插值函数绘制离心泵叶片流线展开图2 谢 俊.贝赛尔曲线设计离心泵叶轮的叶片型线J.排 灌机械，2000，18（4）：1-3.Method of plotting centrifugal pump blade

11、 streamline expansion planby using the interpolating functionHu Jia-shun, Wang Mian , Yang Ming, Dong Chuan, Xion Bo (School of Mechanical&Electrical Engineering, Wuhan Institute of Technology )Abstract: This article proposes a method of plotting centrifugal pump blade stream expansion plan by using

12、 the interpolating function of nth order. By using this method, one can easily adjust or modify the blade expansion plan by choosing different nodal points of interpolating, thus meeting various designed needs.Keywords: Centrifugal Pump Blade Streamline Interpolating Function of nth Order用插值函数绘制离心泵叶片流线展开图胡家顺 王 冕 杨 明 董 川 熊 勃(武汉工程大学机电工程学院）摘 要 本文提出了一种用 n 次插值函数绘制离心泵叶片流线展开图的方法。利用该方法由绘制叶片流线展开图，可通过选择不同的插值节点，从而方便地控制或改变叶片流线展开图形，以满足不同的设计要求。关键词 离心泵 叶片流线 n 次插值函数