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1、凯特摆测量重力加速度1818 年凯特提出的倒摆，经雷普索里德作了改进后，成为当时测量重力加速度 g 最精确的方法。波斯坦大地测量研究所曾用五个凯特摆用了 8 年时间（1896-1904） ，测得当地的重力加速度 g=(981.2740.003)cm/s2，许多地区的 g 值都曾以此为根据。凯特摆测量重力加速度的方法不仅在科学史上有着重要的价值，而且在实验设计上亦有值得学习的技巧。教学目的：1. 学习凯特摆的实验设计思想和技巧。2. 掌握一种比较精确的测量重力加速度的方法。教学重点及难点：1. 复摆的原理2. 凯特摆的结构及原理3. 利用凯特摆测量重力加速度的方法教学内容：一实验原理图一是复摆的
2、示意图，设一质量为 m 的刚体，其重心 G 到转轴的距离为 h，绕O 轴的转动惯量为 I，当摆幅很小时，刚体绕 O 轴摆动的周期 T 为（1）ghIT2式中 g 为当地的重力加速度。设复摆绕通过重心 G 的轴的转动惯量为 IG，当 G 轴与 O 轴平行时，有（2）2m代入式（1）得（3）ghITG2对比单摆周期的公式 ，可得gl2 （4）mhIlG2l 称为复摆的等效摆长。因此只要测出周期和等效摆长便可求得重力加速度。复摆的周期我们能测得非常精确，但利用 来确定 l 是很困难的。因为IlG2重心 G 的位置不易测定，因而重心 G 到悬点 O 的距离 h 也是难以精确测定的。同时由于复摆不可能做
3、成理想的、规则的形状，其密度也难绝对均匀，想精确计算 IG 也是不可能的。我们利用复摆上两点的共轭性可以精确求得 l。在复摆重心 G 的两旁，总可找到两点 O 和 O，使得该摆以 O 悬点的摆动周期 T1 与以 O为悬点的摆动周期 T2 相同，那么可以证明 就是我们要求的等效摆长 l。图一 复摆示意图 图二 凯特摆摆杆示意图图二是凯特摆摆杆的示意图，对凯特摆而言，两刀口间的距离就是该摆的等效摆长l。在实验中当两刀口位置确定后，通过调节 A、B、C 、 D 四摆锤的位置可使正、倒悬挂时的摆动周期 T1 和 T2 基本相等，即 T1T 2。由公式（3）可得（5）12mghIG （6）22mghIT
4、G其中 T1 和 h1 为摆绕 O 轴的摆动周期和 O 轴倒重心 G 的距离。当 T1T 2 时，h 1+h2=l 即为等效摆长。由式（5）和（6）消去 IG，可得（7）balhlg122124式中，l、T 1、T 2 都是可以精确测定的量，而 h1 则不易测准。由此可知，a 项可以精确求得，而 b 项不易精确求得。但当 T1 T 2 以及 的值较大时，b 项的值相对 a 项是l非常小的，这样 b 项的不精确对测量结果产生的影响就微乎其微了。凯特摆由底座、压块、支架、V 形刀承和一根长一米的金属摆杆组成。金属摆杆上嵌有二个对称的刀口 E 和 F，作悬挂之用，一对大小形状相同、但质量不同的大摆锤
5、A、B 分别位于摆杆的两端，另一对小摆锤 D、C 位于刀口 E 和 F 的内侧，摆锤 A、D由金属制成，摆锤 C、B 由塑料制成。就摆杆的外形而言，摆杆各部分处于对称状态，其目的在于抵消实验时空气浮力的影响以及减小阻力的影响。调节刀口 E 和 F 可以改变等值单摆长 l。调节摆锤 A、B 、C 、D 的位置，可以改变摆杆系统的质量分布。h 1 和 h2分别为悬点 O 和 O到摆杆体系重心的距离。当四个摆锤调节到某一合适的位置时，以O 为悬点和以 O为悬点的摆动周期相等。当 l、 h1（或 h2）和四个摆锤的位置确定之后，只要测出摆动周期 T（TT 1T 2） ，便可求得重力加速度 g。选定两刀
6、口间的距离即该摆的等效摆长 l，固定刀口时要注意使两刀口相对摆杆基本对称，两刀口相互平行。用米尺测出 l 的值，取参考 g 值（g9.80m/s 2） ，利用粗略估算 T 值，作为调节 T1T 2 时的参考值。将摆杆悬挂到支架上水平的glT2V 形刀承上，调节底座上的螺丝，借助于铅垂线，使摆杆能在铅垂面内自由摆动，倒过来悬挂也是如此。二实验内容1 实验仪器本实验装置包括凯特摆、光电探头、米尺和 VAFN 多用数字测试仪。实验中将光电探头放在摆杆下方，调整它的位置和高度，让摆针在摆动时经过光电探测器。电信号由 B 插口输入到数字测试仪中，数字测试仪的功能选择旋钮放在“振动计数”档，时标旋钮放在“
7、0.1ms”档，计停开关置于“停止” ，然后接通电源。让摆杆作小角度的摆动，待其摆动若干次稳定后，按下数字测试仪的“复位”按钮。此时测试仪开始自动记录一个周期的时间。显示屏左边显示摆动的次数（即周期数） ，右边显示摆动数个周期的时间数值。2 测量摆动周期 T1 和 T2调节四个摆锤的位置，使 T1 与 T2 逐渐靠近，一般粗调用大摆锤，微调用小摆锤。当 T1 和 T2 比较接近估算值 T 时，最好移动小塑锤，使 T1 与 T2 的差值小于0.001s。当周期的调节达到要求后，将测试仪的计停开关拨到“计数”档，测量凯特摆正、倒摆动 10 个周期的时间，10T 1 和 10T2 各测量 5 次取平均值。3 计算重力加速度 g 及标准误差 g将摆杆从刀承上取下，平放在刀口上，使其平衡，平衡点即重心 G 的所在，测出 （h 1）或 （l-h 1）的值，代入公式（7）中计算 g 值。自己推导误差传递公GO式，计算 。g思考题：1 凯特摆测重力加速度，在实验设计上有什么特点？避免了什么量的测量？降低了哪个量的测量精度？实验上如何来实现？2 结合误差计算，你认为影响凯特摆测 g 精度的主要因素是什么？将所得的实验结果与当地的重力加速度的公认值相比较，你能得到什么结论？若有偏差，试分析之。3 摆的角振幅（即摆杆的偏转角）的大小，对实验结果有无影响？能否进行理论修正。
