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1、定义邻域 空间中点 的 邻域为 nR0P00()|UP平面上点 的 邻域为 (,)xy 2200(,)|)()xyxy开集 所有点都是内点的点集闭集 开集连同边界构成的点集连通集 任意两点都可用一条完全在点集中的折线连接的点集区域点集区域 连通的点集。开区域、闭区域；有界区域、无界区域定义D 为平面上非空点集，如果对 D 中任一点 ，按某种法则 ，都有唯一确定的实数 与(,)xyfz之对应，则称 为 D 上的二元函数，记 ， ，D 为定义域。fzf(,)xy几何意义： 为空间曲面，D 为曲面在 面上投影。(,)zxyo可定义三元及以上函数。二重极限当 时，恒有 ，则称0,2200()y|(,)
2、|fxyA。0lim()xyfA注：其中 为任意方式。从而若 以不同方式趋于 时，0,(,)xy(,)xy0(,)xy无限靠近不同的常数，则二重极限不存在。()fx多元函数函数连续若 ，则函数 在 连续。00li,(,)yfxy(,)zfxy0,)初等函数在其定义区域内连续。闭区域上连续函数必有最大、最下值；有界；满足介值定理。定义 性质几何意义： 的偏导数(,)zfxy表示空间曲线0(,)xf在点0zy0(,)xz处的切线 关于 轴的斜率xT偏导数 0000(,)(,)limxxyfxyfz也记为 0000(,)(,)(,)(,)xx xfyzff同理可定义 000(,)(,)limyxff
3、y0000(,)(,)(,)(,)yy yfxzff偏导函数的求法：（1）多元函数对某自变量求偏导时，只需将其余自变量看为常数，按一元函数求导法则计算导数。（2）多元分段函数在分段点处偏导数要用偏导数定义来求。偏导数高阶偏导数若函数 的偏导数(,)zfxy(,)xfy(,)f在区域 D 内偏导数也存在，称它们为二阶偏导数。二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数。如果 的二阶混合偏导数(,)zfxy在区域 D 内连续，则在2,D 内这两个偏导数相等。定义如果函数 在点 的全增量 可表示(,)zfxy(,)(,)(,)zfxyfxy为 ，其中 与 无关， ，则称函ABo,AB,y22(数在点 可微，
4、全微分 。(,)xydzx（1）若函数 在 可微，则 在 连续(,)zf,y(,)zfxy,（2）若函数 在 可微，则 ；从而若 ，,fx,0limd0li则函数 在 不可微。(,)zfy,（3）若函数 在 可微，则 在 偏导数存在，且x()y(,)zfxy,zddy性质（4）若函数 在 的某邻域存在偏导数且 ， 在 连续，则函数在(,)zfx,yzxy(,)可微，且(,)xyzdd全微分及其应用全微分应用若函数 在 的某邻域内偏导数 ， 在 连续，且 都比(,)zfxy,xfy(,)|,|xy较小时，有全增量近似公式 (,)zd函数值近似公式 (,),(,)xyfxyfyffx类型 求导法则
5、: 分段用乘、分叉用加、单路全导、叉路偏导复合函数的中间变量均为一元函数的情形如果函数 及 在点 处可导，函数 在对应点 出具()ut()vt (,)zfuv(,)v有连续偏导数，则复合函数 在对应点 处可导，且,()zfutvtdzdtutvt复合函数微复合函数中间变量为多元函数情形如果函数 及 在点 处可导，函数 在对应(,)xy(,)xy(,)(,)zfuv点 出具有连续偏导数，则复合函数 在对应点(,) ,(zfuxyv处可导，且 ，,xyzuvxz分法复合函数中间变量既有一元函数又有多元函数的情形如果函数 及在点 处可导函数 在 点可导，(,)uxy(,)()vy函数 在对应点 出具
6、有连续偏导数，则复合函数zfvuv在对应点 处可导， (,)xy(,)xy且 ，zuzzdvu注：若 ， ，则(,)fxy(,)xy(,)fxyu；zuzf其中 为 对中间变量 的偏导数，此时应将 中变量 看做常fxx(,)zfxyu,数；而 为 对自变量 的偏导数，此时将自变量 看为常数。z(,)fy y与 区别同上。fyz分类 法则若二元方程 确定一元隐函数 ，则(,)0Fxy()yfxxyFd隐函数微分一个方程情形若三元方程 确定二元隐函数 ，则,z,zf,yxzzF定义 性质1.（必要条件）函数 在点 处具有连续偏导(,)zfxy0(,)数，且在点 有极值，则必有0(,)xy。 （可推
7、广至多元函数）0,xyff多元函数极值多元函数极函数 在点(,)zfxy某领域内有定义，0(,对领域内任一异于的点 ，如0(,)xy(,)果 ，0ffy(,)(,)x则称函数在点 取0y得极大（小）值，2.（充分条件）函数 在点 处具有二阶连续(,)zx0(,)y偏导数，且，00(,),()xyff令 ，则A,xB0(,)yfxC值 为极值点。0(,)xy（1）当 时，函数在 处有极值，且20ACB0(,)xy时有极小值， 时有极大值。0（2）当 时，函数在 处没有极20(,)（3）当 时，不确定。AB条件极值求函数 在条件 下的极值的方法：(,)ufxyz(,)0xyz方法一：化为无条件极值
8、。即在方程 下解出 ，代入目标函数，按,(,)zxy无条件极值计算。方法二：拉格朗日乘子法。即作辅助函数 (,)(,)(,)Lxyfz由 解出可能极值点 ，而后判断是否为所(,)(,)0,()0xxyyz zLff 0(,)xyz求。注：若约束条件不止一个，可增加拉格朗日乘子。如：函数 在条件 ， 下的极值，(,)ufxyz(,)0xyz(,)0xyz则作辅助函数 (,)Lf z定义 Ddyxf),(niiif10),(lm性质 k,Ddyx,Ddyxgf),(Ddyxgf),(),( Dyxf)(1)(f2,21 d,yxgDyxf),()( Dyxff),(),( MfmD),( ,dD把
9、 D 写成 X 型区域 )(21,),(xbadyfyxf利用直角坐标计算把 D 写成 Y 型区域 )(21xdcD二重积分计算法利用极坐标计算 )(21sin,o),(rrfdyxfPage42 6-6 3求由方程 确定的函数 的极值。22410xyzxyz(,)zfxy知识点：多元函数极值、隐函数求导思路：先按隐函数求导法则求出函数偏导数，然后解方程组 得出函数的驻(,),()0xyff点，然后求出函数二阶偏导数，确定驻点处 A,B,C 的值，依据 符号判定是否为极值点。2ACB解： 方法一：在方程两边同时对 x 求偏导得12402zzxx在方程两边同时对 求偏导得:yzzyy解方程组 得
10、 驻点 ，且 时 或102xzy(1,)1,xy2z6又 22 22333()(1)()()(1);2x xyyz zyz 故 时 ，又 ，故函数在点21,0,0446ABCAB04A处取得极小值(1,)2时 ，又 ，故函数在点6z 211,1处取得极小值(,)6Page48 6-7 5.试用二重积分性质证明不等式，其中 ： ， .证明：2)cos(in122DdyxD10xyQ Ddxxddyy 210202102102 coscscoscscs DDD xdx )4in()(in)os(in 22222当 时， ，由重积分的性质即得Q101)4si(22x，证毕。)co(sinDdyx1.
11、 证明 不存在。20lim()xyy解： 若 沿 轴趋于 ，则(,)0,2200lili()x xy y若 沿 轴趋于 ，则(,),2400limlim1()x xy y故函数极限不存在。2. 讨论函数 在 处的连续性，偏导数和可微性。|z(,)解： （1） ， 又 ，且 (0,)f20|xy20limxy故 ，函数在 连续。0lim|(,)xyf(0,)（2） 0 0,(,)li lixx xfff x0 0(,)(,),li limyy yfyff（3） 若函数在 处可微，则(,)(,)(,)xydzffd|0|zxyy考虑 222000| 1limlilim0()yxxyz 故函数在 不
12、可微。(,)3. 设 ，其中 都具有一阶连续偏导数，且 ，2,)0,sinyufxyzezx,f0z求 。d解： fyfdzxx由 可知 为 的函数，两边关于 求导数得2(,)0,sinyezxx，1230dzx312(cos)ydze故 123cosyxexdz所以 123s(cos)yxyzuffex4. 设 ， ，确定函数 ，求zvco,sinvu(,)zy,zxy解： 由题意知方程组 确定两个函数,sixy(,)(,)uxv在方程组两边求微分，得coin,(1)sis2dxvudvy得 (1)(2)cosinxdy从而 s,iuvxy得 (2)cos(1)inv1(cosin)dvdx
13、从而 s,vuxy故 cosinzuzvvxiuyyy 16.计算以 面上的由圆周 所围成的闭区域为底，以曲面 为顶的曲xOax2 2yxz顶柱体的体积。解：将底 ： 用极坐标表示D22ya,利用积分区域和被积函数的对称性，所求体积2,cos0|),( r VDdyx2cos02ard204cosda2134a4aPage26(1) ，其中 是由 ， 及 所围成的区域。2Dxy21x解：（1）视 为 型区域， ， DX21x21xyDdy221xdy2132dx4arctn87P63 27 改变下列二次积分的积分次序（1） xyfsin02),(（2） （ ）axdd20a解：（1）积分区域
14、： ，D2xysin 其中 ： ，2U1xarcarcsin10y： ， 所以2 yxyarcsi1 +Iydfdin2arcs01),(ydxfarcsin10),(（2）积分区域 ： ， 将 分成 、 及 三部分，Dx2x22D123： ，1yaya0： ，2x2： ，3Daya2y0故 + +I220),(aydxfdaydxf2),(aydxf202),(Page28 （1）xysin0解：（1）因为 ， 与 的原函数都不是初等函数，所以不能先对 积分，必须交换积分顺yiye1si y序，积分区域如图， xdyin10 ydx210si102sind + 1- + - 1-1010sisinyd1co0co10cyyos
