《概率论与数理统计 答案 第七章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计 答案 第七章（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第七章 参数估计1一 随机地取 8 只活塞环，测得它们的直径为（以 mm 计）74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002求总体均值 及方差 2 的矩估计，并求样本方差 S2。解：， 2 的矩估计是 61210)(,0.74 niixXX。6108.S2二设 X1， X1，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。（1） 其中 c0 为已知，1， 为未知参数。其 它,0)()(cxcxf（2） 其中 0， 为未知参数。.,1)(1其 它f（5） 为未知参数。pmxpxXPmx ,10,2,
2、)()( L解：（1） ，XccdcdfE 1,令得 c（2） ,1)()(10 dxdxfX 2)1(,X得令（5）E ( X) = mp 令 mp = ， 解得Xmp3三求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。解：（1）似然函数 1211 )()()( nnnii xcxfLL0ll)(l,l)(ln)l()(ln 11 niinii xcdcL（解唯一故为极大似然估计量）niicx1ll（2） niinnnii xnLxfL 11211 l)()l2)(l,)()()(。(解唯一) 故为极大似然估iinii xd 11l(,0l2)(ln计量。（5） ，nini xmxnii pxm
3、XPpL 11)()(11L),ln(ll)(ln 111pininimxi 01)(l1pxndpLini解得 ， （解唯一）故为极大似然估计量。mXnxi24四(2) 设 X1，X 1，X n 是来自参数为 的泊松分布总体的一个样本，试求 的极大似然估计量及矩估计量。解：（1）矩估计 X ( )，E (X )= ，故 = 为矩估计量。X（2）极大似然估计 ，nxnii exPLni!);211Lxniini 11!ll)(l为极大似然估计量。XndLi ,0)(ln1解 得（其中 ),10,!);( Liixii eXPxpi5六 一地质学家研究密歇根湖湖地区的岩石成分，随机地自该地区取
4、100 个样品，每个样品有 10 块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数。假设这 100 次观察相互独立，并由过去经验知，它们都服从参数为 n=10，P 的二项分布。P 是该地区一块石子是石灰石的概率。求 p 的极大似然估计值，该地质学家所得的数据如下样品中属石灰石的石子数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10观察到石灰石的样品个数 0 1 6 7 23 26 21 12 3 1 0解： 的极大似然估计值为 = =0.499X四(1) 设总体 X 具有分布律X 1 2 3Pk 2 2(1) (1 ) 2其中 (0 D (T2)所以 T2 较为有效。14.十四 设某种清漆的 9 个样品
5、，其干燥时间（以小时计）分别为 6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0。设干燥时间总体服从正态分布 N （， 2） ，求 的置信度为 0.95 的置信区间。 （1）若由以往经验知 =0.6（小时） （2）若 为未知。解：（1） 的置信度为 0.95 的置信区间为（ ） ，znX计算得 )392.6,085()9.160.(,6.0,9.,0.6025. 即 为查 表 zX（2） 的置信度为 0.95 的置信区间为（ ） ，计算得 ，查2tnS.X表 t0.025(8)=2.3060. )42.6,58()30.0.6(.364.281)(8192 故 为iixS
6、16.十六 随机地取某种炮弹 9 发做试验，得炮弹口速度的样本标准差为 s=11(m/s)。设炮口速度服从正态分布。求这种炮弹的炮口速度的标准差 的置信度为 0.95 的置信区间。解： 的置信度为 0.95 的置信区间为 )1.2,47()18.2,53.78()1(,)1(22 nSnS其中 =0.05, n=9查表知 0.)8(,53.7)8(2975.0205. 19.十九 研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率。设两者都服从正态分布，并且已知燃烧率的标准差均近似地为 0.05cm/s，取样本容量为 n1=n2=20.得燃烧率的样本均值分别为 设两样本独立，求两燃烧率总体均值差 1 2 的置
7、信./24,/18scmxscx度为 0.99 的置信区间。解： 1 2 的置信度为 0.99 的置信区间为 ).965,04.()205.8241()(212 nzX其中 =0.01，z 0.005=2.58, n1=n2=20, ,18,.221X20.二十 设两位化验员 A，B 独立地对某中聚合物含氯两用同样的方法各做 10 次测定，其测定值的样本方差依次为 分别为 A，B 所测222 ,.605,5419.0BABSS设定的测定值总体的方差，设总体均为正态的。设两样本独立，求方差比 的置信度2为 0.95 的置信区间。解： 的置信度为 0.95 的置信区间2BA )1,(,)1,( 2
8、12212 nFSnFSBA= (0.222, 3.601).)605.349,3.4605. 其中 n1=n2=10，=0.05 ，F 0.025(9,9)=4.03, 。03.41)9,(),9(025.75.0F第八章 假设检验1.一某批矿砂的 5 个样品中的镍含量，经测定为（%）3.25 3.27 3.24 3.26 3.24。设测定值总体服从正态分布，问在 = 0.01 下能否接受假设：这批矿砂的含镍量的均值为 3.25.解：设测定值总体 X N（， 2） ， 2 均未知步骤：（1）提出假设检验 H ：=3.25; H1：3.250（2）选取检验统计量为 )(5.3ntSt（3）H
9、的拒绝域为| t |0 ).1(2（4）n=5, = 0.01，由计算知 0134.)(1,5.352iiXnSx查表 t0.005(4)=4.6041, )(4.05013.2.| 2tt （5）故在 = 0.01 下，接受假设 H02二 如果一个矩形的宽度 与长度 l 的比 ，这样的矩618.0)5(21l形称为黄金矩形。这种尺寸的矩形使人们看上去有良好的感觉。现代建筑构件（如窗架）、工艺品（如图片镜框） 、甚至司机的执照、商业的信用卡等常常都是采用黄金矩型。下面列出某工艺品工厂随机取的 20 个矩形的宽度与长度的比值。设这一工厂生产的矩形的宽度与长短的比值总体服从正态分布，其均值为 ，试
10、检验假设（取 = 0.05）H0： = 0.618 H1： 0.6180.693 0.749 0.654 0.670 0.662 0.672 0.615 0.606 0.690 0.628 0.6680.611 0.606 0.609 0.601 0.553 0.570 0.844 0.576 0.933.解：步骤：（1）H 0： = 0.618； H1： 0.618（2）选取检验统计量为 )(68.0ntSXt（3）H 0 的拒绝域为| t | ).1(2nt（4）n=20 = 0.05，计算知，0925.)(1,65.1 niini xSx )1(.2095.68.|,093.2)1( 2
11、2 nttnt （5）故在 = 0.05 下，接受 H0，认为这批矩形的宽度和长度的比值为 0.6183.三 要求一种元件使用寿命不得低于 1000 小时，今从一批这种元件中随机抽取25 件，测得其寿命的平均值为 950 小时，已知这种元件寿命服从标准差为 =100 小时的正态分布。试在显著水平 = 0.05 下确定这批元件是否合格？设总体均值为 。即需检验假设 H0： 1000，H 1：8（2）当 n 充分大时， 近似地服从 N（0，1）分布nsx（3）H 0 的拒绝域近似为 zs（4）n=100， = 0.05， ，S=2，由计算知5.6x4.1.710285.6| 05.zt（5）故在
12、= 0.05 下，拒绝 H0，即认为校长的看法是不对的。14.十三 某种导线，要求其电阻的标准差不得超过 0.005(欧姆)。今在生产的一批导线中取样品 9 根，测得 s=0.007(欧姆) ，设总体为正态分布。问在水平 = 0.05 能否认为这批导线的标准差显著地偏大？解：（1）提出 H0： 0.005；H 1： 0.005（2）H 0 的拒绝域为 )1(05.)(22nSn（3）n=9， = 0.05，S=0.007 ，由计算知 )(68.785.)1( 222查表 08205.（4）故在 = 0.05 下，拒绝 H0，认为这批导线的标准差显著地偏大。15.十四 在题 2 中记总体的标准差
13、为 。试检验假设（取 = 0.05）H0： 2 =0.112， H1： 2 0.112。解：步骤（1）H 0： 2 =0.112； H1： 2 0.112（2）选取检验统计量为 )1(.0)(2nSn（3）H 0 的拒绝域为 )1(212或（4）n=20， = 0.05，由计算知 S 2=0.0925 2， 437.1.0)(2Sn查表知 97.8)1(,85.3)19(975.0205. （5）故在 = 0.05，接受 H0，认为总体的标准差 为 0.11.16.十五 测定某种溶液中的水份，它的 10 个测定值给出 s=0.037%，设测定值总体为正态分布， 2 为总体方差。试在水平 = 0.05 下检验假设 H0： 0.04%；H 1： 3， 5jn将其合并得 023.873jj合并后，K=4，Y=1查表知 91.5)4(205.由计算知 4.1023.857.3607.222 （5）故在 = 0.05 下，接受 H0，认为一页的印刷错误个数服从泊松分布。
