杆件的内力 截面法

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1、杆件的内力 截面法一、基本要求1了解轴向拉伸与压缩、扭转、弯曲的概念；2掌握用截面法计算基本变形杆件截面上的内力；3熟练掌握基本变形杆件内力图的绘制方法。二、内容提要1轴向拉伸和压缩1）轴向拉伸或压缩的概念受力特点：外力或合外力与轴线重合；变形特点：杆件产生沿轴线方向的伸长或缩短。图 2-1 计 算 简 图 为 ： 2）轴力轴向拉压时，杆件截面上分布内力系的合力的作用线与杆件轴线重合，称为轴力。一般用 表示，单位为牛顿（N） 。F轴力的正负号规定：拉为正，压为负。3）轴力图表示轴力沿杆件轴线变化规律的图线。该图一般以平行于杆件轴线的横坐标 x 轴表示横截面位置，纵轴表示对应横截面上轴力的大小。

2、正的轴力画在 x轴上方，负的轴力画在 x 轴下方。2扭转1）扭转的概念受力特点：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反的外力偶。变形特点：横截面形状大小未变，只是绕轴线发生相对转动。轴：以扭转为主要变形的杆件称为轴。计 算 简 图 为 ： 轴图 2-2 2）外力偶矩传动轴所受的外力偶矩通常不是直接给出，而是根据轴的转速 n 与传递的功率 P 来计算。当功率 P 单位为千瓦（kW） ，转速为 n（r/min）时，外力偶矩为 m).(N954ePM当功率 P 单位为马力（PS ） ，转速为 n（r/min）时，外力偶矩为m).(N7024enPM3）扭矩、扭矩图当外力偶矩已知，利

3、用截面法可求任一横截面上的内力偶矩扭矩，用表示。T扭矩的正负号规定：按右手螺旋法则，T 矢量背离截面为正，指向截面为负（或矢量与截面外法线方向一致为正，反之为负） 。表示扭矩随杆件轴线变化规律的图线称为扭矩图。扭矩图作法与轴力图相似。正的扭矩画在 x 轴上方，负的扭矩画在 x 轴下方。3弯曲内力1）基本概念弯曲变形：杆件在垂直于其轴线的载荷作用下，使原为直线的轴线变为曲线的变形称为弯曲变形。以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁。对称弯曲：工程中最常见的梁，其横截面一般至少有一根对称轴，因而整个杆件有一个包含轴线的纵向对称面。若所有外力都作用在该纵向对称面内时，梁弯曲变形后的轴线将是位于该平面内的一

4、条曲线，这种弯曲形式称为对称弯曲。其力学模型如图 2-3 所示。2）梁的计算简图 静定梁：所有支座反力均可由静力平衡方程确定的梁。静定梁的基本形式有简支梁、悬臂梁、外伸梁。计算简图分别如图 2-4（a） 、 （b） 、 （c ）所示。3）剪力和弯矩剪力：受弯构件任意横截面上与横截面相切的分布内力系的合力，称为剪力，用 FS 表示。弯矩：受弯构件任意横截面上与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩，称为弯矩，用 M 表示。剪力和弯矩的正负号规定：从梁中取出长为 dx 的微段，若横截面上的剪力使 dx 微段有左端向上而右端向下的相对错动趋势时，此剪力 FS 规定为正，反之为负（或使梁产生顺时针转动的剪力

5、规定为正，反之为负） ，如图 2-5（a ） 、（b）所示；若弯矩使 dx 微段的弯曲变形凸向下时，截面上的弯矩 M 规定为正，反之为负（或使梁下部受拉而上部受压的弯矩为正，反之为负） ，如图 2-5（c ） 、（d）所示 。 图 2-5 图 2-4 纵 向 对 称 面 轴 线 图 2-3 根据内力与外力的平衡关系，若外力对截面形心取矩为顺时针力矩，则该力在截面上产生正的剪力，反之为负的剪力（顺为正，逆为负） ；固定截面，若外力或外力偶使梁产生上挑的变形，则该力或力偶在截面上产生正的弯矩，反之为负的弯矩（上挑为正，下压为负） 。4）剪力方程和弯矩方程一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置

6、不同而变化。若以坐标x 表示横截面在梁轴线上的位置，则横截面上的剪力和弯矩可以表示为 x 的函数，即 )(SxMF上述函数表达式称为梁的剪力方程和弯矩方程。5）剪力图和弯矩图为了直观地表达剪力 FS 和弯矩 M 沿梁轴线的变化规律，以平行于梁轴线的横坐标 x 表示横截面的位置，以纵坐标按适当的比例表示响应横截面上的剪力和弯矩，所绘出的图形分别称为剪力图和弯矩图。剪力图和弯矩图的绘制方法有以下两种：（1）剪力、弯矩方程法：即根据剪力方程和弯矩方程作图。其步骤为：第一，求支座反力。第二，根据截荷情况分段列出 FS(x)和 M(x)。在集中力（包括支座反力） 、集中力偶和分布载荷的起止点处，剪力方程

7、和弯矩方程可能发生变化，所以这些点均为剪力方程和弯矩方程的分段点。第三，求控制截面内力，作 FS、M 图。一般每段的两个端点截面为控制截面。在有均布载荷的段内，F S=0 的截面处弯矩为极值，也作为控制截面求出其弯矩值。将控制截面的内力值标在的相应位置处。分段点之间的图形可根据剪力方程和弯矩方程绘出。并注明 的数值。maxaS、（2）微分关系法：即利用载荷集度、剪力与弯矩之间的关系绘制剪力图和弯矩图。载荷集度 q（x ） 、剪力 FS（x）与弯矩 M（x）之间的关系为:)(qdSx)()(2qdFx根据上述微分关系，由梁上载荷的变化即可推知剪力图和弯矩图的形状。(a)若某段梁上无分布载荷，即

8、，则该段梁的剪力 FS（x）为常量，0)(q剪力图为平行于 轴的直线；而弯矩 为 的一次函数，弯矩图为斜直线。xxM(b)若某段梁上的分布载荷 （常量） ，则该段梁的剪力 FS（x）为 的一次函数，剪力图为斜直线；而 为 的二次函数，弯矩图为抛物线。当)(（ 向上）时，弯矩图为向下凸的曲线；当 （ 向下）时，弯矩图为0q 0q向上凸的曲线。(c)若某截面的剪力 FS（x） =0，根据 ，该截面的弯矩为极值。0)(dxM利用以上各点，除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外，还可以利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程，其步骤如下：第一，求支座反力（对悬臂梁，若从自

9、由端画起，可省去求支反力） ；第二，分段确定剪力图和弯矩图的形状；第三，求控制截面内力，根据微分关系绘剪力图和弯矩图；第四，确定 和 。maxSFaxM可能出现的地方：集中力 F 作用处；支座处。 可能出现的maxS maxM地方：剪力 FS=0 的截面；集中力 F 作用处；集中力偶 M 作用处。6）平面刚架和平面曲杆的弯曲内力刚架：杆系结构若在节点处为刚性连接，则这种结构称为刚架。平面刚架：由在同一平面内、不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连接而组成的结构。各杆连接处称为刚节点。刚架变形时，刚节点处各杆轴线之间的夹角保持不变。静定刚架：凡未知反力和内力能由静力学平衡条件确定的刚架。平面刚架各杆

10、的内力，除了剪力和弯矩外，一般还有轴力。作刚架内力图的方法和步骤与梁相同，但因刚架是由不同取向的杆件组成，习惯上按下列约定：弯矩图画在各杆的受压一侧，且不注明正、负号。剪力图及轴力图可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架外侧） ，且必须注明正负号；剪力正负号的规定与梁相同，轴力仍以拉伸为正，压缩为负。平面曲杆：轴线为一平面曲线的杆。平面曲杆横截面上的内力情况及其内力图的绘制方法，与刚架相类似。 三、典型例题分析例 2-1 在图 2-6（a ）中，沿杆件轴线作用 F1、F 2、F 3、F 4。已知：F1=6kN，F 2=18kN，F 3=8kN，F 4=4kN。试求各段横截面上的轴力，并作轴力

11、图。解：1计算各段轴力AC 段：以截面 1-1 将杆分为两段，取左段部分（图（b） ） 。由 得0xFkN 61NF（拉力）CD 段：以截面 2-2 将杆分为两段，取左段部分（图(c)） 。221D3312kN6k4图 -由 得0xFkN（压力）1212NF的方向与图中所示方向相反。2NDB 段：以截面 3-3 将杆分为两段，取右段部分（图(d)） 。由 得0xFkN（压力）43NF的方向与图中所示方向相反。3N2绘轴力图以横坐标 x 表示横截面位置，纵轴表示对应横截面上的轴力 ，选取适当NF比例，绘出轴力图（图（e） ） 。在轴力图中正的轴力（拉力）画在 x 轴上侧，负的轴力（压力）画在 x

12、 轴下侧。例 2-2 传动轴 在图 2-7（a ）所示。主动轮 A 输入功率为 PA36kW ，从动轮 B、 C、 D 输出功率分别为 PBP C11kW，P D14kW，轴的转速为n300r/min。试作轴的扭矩图。解：1计算各轮上的外力偶矩 mN14695nMAA 3509nPBCBmN4695nMD2计算各段扭矩BC 段：以截面 II 将轴分为两段，取左段部分（图(b)） 。由平衡方程 01BMT得 mN35B负号说明 所假定的方向与实际扭矩相反1T同理，在 CA 段内， . 46N m70N m35图 2-02BCMTmN7在 AD 段内， 03DT46M3以横坐标 x 表示横截面位置

13、，纵轴表示对应横截面上的扭矩大小，选取适当比例，绘出扭矩图。正的扭矩画在 x 轴上侧，负的扭矩画在 x 轴下侧。例 2-3 图示简支梁受集中力 F 作用，试利用剪力方程和弯矩方程绘出该梁的剪力图和弯矩图。解：1.求支反力。由 ，得0)(,0MFAyvlaFlbB,2.列剪力、弯矩方程在 段内， xlxA0,)(SalbFxMA0,)(在 BC 段内 lxlFxB,)(S3.求控制截面内力，作剪la,力图、弯矩图。图：在 AC、CB 段内，剪力方程均为常数，因此两段剪力图均为平行于SFx 轴的直线。在 集中力 F 作用处， ，左、右两侧截面lFblaCC右左 ， SS的剪力值发生突变，突变量 ；

14、 图：在 AC、CB 段内，弯矩lb)(M方程 均是 的一次函数，因此两段弯矩图均为斜直线。求出控制截面弯矩)(xM，标在 坐标系中，并分别连成直线，即得该梁lFaCBA，0x的弯矩图。显然在集中力 F 作用处左、右两侧截面上弯矩值不变，但在该截面处弯矩图斜率发生突变，因此在集中力 F 作用处弯矩图上为折角点。图 2-8例 2-4 受均布载荷作用的简支梁，如图 2-9所示，试作梁的剪力图和弯矩图。解：1.求支反力 2qlFByA2.列剪力、弯矩方程 lxlxAy 0,)(S lqlqFMAy ,2)(3.求控制截面内力，作剪力图、弯矩图。2,0SSqllF8,0, 2lMl,22maxaxSq

15、llF在某一段上作用分布载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。且在 FS=0 处弯矩 M 取得极值。例 2-5 如图 2-10 所示简支梁，在 C 点处受矩为 Me的集中力偶作用，试作梁的剪力图和弯矩图。解：1.求支反力由平衡方程 和 得0)(FBv0)(FAvlMeA2.列剪力、弯矩方程在 AC 段内 axlmFxAy0,)(1SalFxMAy0,)(1在 BC 段内l图 -9/2ql/28/2l图 2-10lxalmFxBy,)(02SllxMBy)(023.求控制截面内力，作剪力图、弯矩图。 lMlFeS lbMlal ee， ， 右左0在集中力偶作用处，弯矩图上发生突变，突变值为 ，eeela而剪力图无改变。例 2-6 如图 2-11 所示简支梁。试写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。解：1.求支反力。由平衡方程 和0)(FMBv求得0)(FAv，qlA83lB12.列剪力、弯矩方程AC 段：xlFxA)(S20(l 221831)( qxlqxxMA(lCB 段：qlFxB81)(S)2(lxl)lM)(l3求控制截面内力，绘 、 图QM图：AC 段内，剪力方程 是 的一次函数，剪力图为斜直线，求出SF)(SxF两个端截面的剪力值， ， ，标在 坐标系中，连接两qlA83SqlC81xFS2llql8183l图 -q2196l