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1、 名思教育-我的成功不是偶然！海到无边天作岸，山高绝顶我为峰名思教育个性化拓展练习学生姓名 年级： 科目： 数学 得分： 因动点产生的平行四边形问题 例 1 如图 1，已知抛物线 yx 2bx c 经过 A(0, 1)、B(4, 3)两点 （1）求抛物线的解析式；（2）求 tanABO 的值；（3）过点 B 作 BCx 轴，垂足为 C，在对称轴的左侧且平行于 y 轴的直线交线段 AB 于点 N，交抛物线于点M，若四边形 MNCB 为平行四边形，求点 M 的坐标图 1 名思教育-我的成功不是偶然！海到无边天作岸，山高绝顶我为峰思路点拨1第（2）题求ABO 的正切值，要构造包含锐角ABO 的角直角
2、三角形2第（3）题解方程 MNy My NBC，并且检验 x 的值是否在对称轴左侧满分解答（1）将 A(0, 1)、B(4, 3)分别代入 yx 2bxc ，得解得 ，c1,643.cb92b所以抛物线的解析式是 yx（2）在 RtBOC 中，OC 4，BC 3，所以 OB5如图 2，过点 A 作 AHOB ，垂足为 H在 Rt AOH 中，OA1， ，4sinsiAOBC所以 图 24sin5HO所以 ， 32BH在 Rt ABH 中， ta51A（3）直线 AB 的解析式为 12yx设点 M 的坐标为 ，点 N 的坐标为 ，9(,)x(,)2x那么 2 2(1)4Nx当四边形 MNCB 是
3、平行四边形时， MNBC 3解方程x 24x 3，得 x1 或 x3因为 x3 在对称轴的右侧（如图 4） ，所以符合题意的点 M 的坐标为 （如图 3） 9(1,)2图 3 图 4 名思教育-我的成功不是偶然！海到无边天作岸，山高绝顶我为峰考点伸展第（3）题如果改为：点 M 是抛物线上的一个点，直线 MN 平行于 y 轴交直线 AB 于 N，如果 M、N 、B、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点 M 的坐标那么求点 M 的坐标要考虑两种情况： MNy My N或 MNy Ny M由 yN yM4x x2，解方程 x24x3，得 （如图 5） 27所以符合题意的点 M 有 4 个： ， ，
4、， 9(1,),(,)57(2,)图 5例 2 如图 1，在 Rt ABC 中，C90，AC6，BC 8，动点 P 从点 A 开始沿边 AC 向点 C 以每秒 1 个单位长度的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿边 CB 向点 B 以每秒 2 个单位长度的速度运动，过点 P 作 PD/BC，交 AB 于点D，联结 PQ点 P、Q 分别从点 A、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为 t 秒（t0） （1）直接用含 t 的代数式分别表示： QB_，PD_；（2）是否存在 t 的值，使四边形 PDBQ 为菱形？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由，并探究如何
5、改变点 Q 的速度（匀速运动） ，使四边形 PDBQ 在某一时刻为菱形，求点 Q 的速度；（3）如图 2，在整个运动过程中，求出线段 PQ 的中点 M 所经过的路径长图 1 图 2 名思教育-我的成功不是偶然！海到无边天作岸，山高绝顶我为峰思路点拨1菱形 PDBQ 必须符合两个条件，点 P 在ABC 的平分线上，PQ /AB先求出点 P 运动的时间 t，再根据PQ/AB，对应线段成比例求 CQ 的长，从而求出点 Q 的速度2探究点 M 的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点 M 的路径满分解答（1）QB82t，PD 43t（2）如图 3，作ABC 的平分线交 CA 于 P，过
6、点 P 作 PQ/AB 交 BC 于 Q，那么四边 形 PDBQ 是菱形过点 P 作 PE AB，垂足为 E，那么 BEBC8在 Rt ABC 中，AC6，BC8，所以 AB10 图 3在 Rt APE 中， ，所以 23cos5At10t当 PQ/AB 时， ，即 解得 CQPB68329CQ所以点 Q 的运动速度为 321095（3）以 C 为原点建立直角坐标系如图 4，当 t0 时，PQ 的中点就是 AC 的中点 E(3，0)如图 5，当 t4 时，PQ 的中点就是 PB 的中点 F(1，4)直线 EF 的解析式是 y2x6如图 6，PQ 的中点 M 的坐标可以表示为（ ，t） 经验证，
7、点 M（ ，t）在直线 EF 上6262所以 PQ 的中点 M 的运动路径长就是线段 EF 的长，EF 5图 4 图 5 图 6 名思教育-我的成功不是偶然！海到无边天作岸，山高绝顶我为峰考点伸展第（3）题求点 M 的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数：当 t2 时，PQ 的中点为(2， 2)设点 M 的运动路径的解析式为 yax 2bxc ，代入 E(3，0)、F(1 ，4)和(2，2) ，得 解得 a 0，b2，c 69,42.abc所以点 M 的运动路径的解析式为 y2x6例 3 如图 1，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 B(1, 0)、C(3, 0)、D (3,
8、 4)以 A 为顶点的抛物线yax 2bxc 过点 C动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 向点 B 运动，同时动点 Q 从点 C 出发，沿线段 CD 向点 D运动点 P、Q 的运动速度均为每秒 1 个单位，运动时间为 t 秒过点 P 作 PEAB 交 AC 于点 E（1）直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点 E 作 EFAD 于 F，交抛物线于点 G，当 t 为何值时，ACG 的面积最大？最大值为多少？（3）在动点 P、Q 运动的过程中，当 t 为何值时，在矩形 ABCD 内（包括边界）存在点 H，使以C、Q、 E、H 为顶点的四边形为菱形？请直接写出 t 的值图 1
9、名思教育-我的成功不是偶然！海到无边天作岸，山高绝顶我为峰思路点拨1把ACG 分割成以 GE 为公共底边的两个三角形，高的和等于 AD2用含有 t 的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来3构造以 C、Q、E、H 为顶点的平行四边形，再用邻边相等列方程验证菱形是否存在满分解答（1）A(1, 4)因为抛物线的顶点为 A，设抛物线的解析式为 ya(x1) 24，代入点 C(3, 0)，可得 a1 所以抛物线的解析式为 y(x1) 24x 22x3（2）因为 PE/BC，所以 因此 PBEC1PEAt所以点 E 的横坐标为 12t将 代入抛物线的解析式，y(x1) 24 12t 2t所以点
10、G 的纵坐标为 于是得到 24t211()(4GEt因此 21()4ACECGSSAFDtt所以当 t1 时，ACG 面积的最大值为 1（3） 或 2085考点伸展第（3）题的解题思路是这样的：因为 FE/QC，FE QC ，所以四边形 FECQ 是平行四边形再构造点 F 关于 PE 轴对称的点 H，那么四边形EHCQ 也是平行四边形再根据 FQCQ 列关于 t 的方程，检验四边形 FECQ 是否为菱形，根据 EQCQ 列关于 t 的方程，检验四边形 EHCQ 是否为菱形， ， ， 1(,4)2Et1(,4)2Ft(3,Qt,0)C如图 2，当 FQCQ 时，FQ 2CQ 2，因此 221(4
11、)tt整理，得 解得 ， （舍去） 08t185t285如图 3，当 EQCQ 时，EQ 2CQ 2，因此 2()()tt整理，得 所以 ， （舍去） 217t(30)4t10324t 名思教育-我的成功不是偶然！海到无边天作岸，山高绝顶我为峰图 2 图 3例 4 已知平面直角坐标系 xOy（如图 1） ，一次函数 的图象与 y 轴交于点 A，点 M 在正比例函数 的图34yx 32yx象上，且 MO MA二次函数yx 2bxc 的图象经过点 A、M（1）求线段 AM 的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点 B 在 y 轴上，且位于点 A 下方，点 C 在上述二次函数的图象上，点 D
12、 在一次函数 的图34yx象上，且四边形 ABCD 是菱形，求点 C 的坐标图 1 名思教育-我的成功不是偶然！海到无边天作岸，山高绝顶我为峰思路点拨1本题最大的障碍是没有图形，准确画出两条直线是基本要求，抛物线可以不画出来，但是对抛物线的位置要心中有数2根据 MO MA 确定点 M 在 OA 的垂直平分线上，并且求得点 M 的坐标，是整个题目成败的一个决定性步骤3第（3）题求点 C 的坐标，先根据菱形的边长、直线的斜率，用待定字母 m 表示点 C 的坐标，再代入抛物线的解析式求待定的字母 m满分解答（1）当 x0 时， ，所以点 A 的坐标为(0 ，3)，OA 334yx如图 2，因为 MOMA，所以点 M 在 OA 的垂直平分线上，点 M 的纵坐标为 将 代入 ，得23y2xx1所以点 M 的坐标为 因此 (1,)2132（2）因为抛物线 yx 2bx c 经过 A(0，3) 、M ，所以 解得 ， 所以二次函数(,)3,1.2cb5b3c的解析式为 253（3）如图 3，设四边形 ABCD 为菱形，过点 A 作 AECD，垂足为 E在 Rt ADE 中，设 AE4m，DE3m ，那么 AD5m 因此点 C 的坐标可以表示为(4m ，32m )将点 C(4m，32m) 代入 ，253yx得 解得 或者 m0（舍去） 231601因此点 C 的坐标为（2，2）
