《椭圆中的焦点三角形》由会员分享，可在线阅读，更多相关《椭圆中的焦点三角形（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1椭圆中的焦点三角形定义：椭圆上一点和两个焦点构成的三角形,称之为椭圆焦点三角形。 其中，我们把椭圆的两个焦点和其短轴的一个端点构成的等腰三角形称为椭圆的一个特征焦点三角形考点 1 有关周长和距离问题：例 1.（08 浙江）已知 12F,为椭圆2159xy的两个焦点，过 1F的直线交椭圆于 ,AB两点，若 2FAB，则 A变式（06 年四川）如图把椭圆21xyab的长轴分成 8 等分，过每个点作 x轴 的垂线交椭圆的上半部分于 127,PL七个点。 F是椭圆的一个焦点，则 127PFL2变式 2 已知 12F,是椭圆2156xy的左，右焦点，点 P在椭圆上运动，则 12PFg的最大值是考点 2
2、 有关角的问题：例 2（2000 全国）椭圆2194xy的焦点为 12F,，点 P为其上的动点，当 12FP为钝角时，点 P横坐标的取值范围是变式：椭圆2194xy的焦点为 12F,，点 P为其上的动点，当 12FP为直角时，点 P横坐标的取值范围是3性质一：当点 P 从右至左运动时， 12FP由锐角变成直角，又变成钝角，过了 y轴之后，对称地由钝角变成直角再变成锐角，并且发现当点 与短轴端点重合时， 12FP达到最大变式: (2004 湖南卷) 12F,是椭圆 C：2184xy的焦点，在 C上满足 12PF的点 P的个数考点 3 有关离心率的问题：例 3 已知椭圆21xyab， (0)ab的
3、两焦点分别为 12F,，若椭圆上存在一点 P，使得 12FP0，求椭圆离心率 e的取值范围4性质二：已知椭圆方程为21xyab， (0)ab的两焦点分别为 12F,，设焦点三角形12FP中， 12，则 2cose（当且仅当动点为短轴端点时取等号）变式（09 江西）已知 12F,是椭圆的两个焦点，满足 12Murg0的点 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围考点 4 有关面积的问题：（ 12tanFPSb） （ 为焦点三角形顶角）例 4 P是椭圆254xy上的点， 12,是椭圆的焦点，若 12FP6，则 12FV的面积等于5变 式 ： P是椭圆214xy上的点， 12F,是椭圆的焦点，若 12F
4、P3，则 12FV的面积等于变式：（04 湖北）已知椭圆2169xy的左右焦点分别是 12F,，点 P在椭圆上，若12,PF是一个直角三角形的三个顶点，则点 P到 x轴的 距 离为（ ）A 95B 3 C 4 D 94或76性质 4 过椭圆焦点的所有弦中通径（垂直于焦矩的弦） ，最短，通径为2ba（2007 天津）设椭圆 的左、右焦点分别为 是椭圆上的一21(0)xyab12FA，点， ，原点 到直线 的距离为 21AFO1AF13O（）证明 ；ab（）设 为椭圆上的两个动点， ，过原点 作直线 的垂线 ，12Q， 12Q12QOD垂足为 ，求点 的轨迹方程D本小题主要考查椭圆的标准方程和几何
5、性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力满分 14 分（）证法一：由题设 及 ， ，不妨设点 ，其中21AF(0)c2()F()Acy，由于点 在椭圆上，有 ，即 0y2cyab21aby解得 ，从而得到 2baA，直线 的方程为 ，整理得 1AF2()byxca220bxacy由题设，原点 到直线 的距离为 ，即 ，O1AF13O24bc将 代入上式并化简得 ，即 22cab2ab证法二：同证法一，得到点 的坐标为 2c，过点 作 ，垂足为 ，易知 ，故 O1BAFB1FO 12A 21BOFA由椭圆定义得 ，又 ，12a13AO1
6、F2Bxy7所以 ，2213FAa解得 ，而 ，得 ，即 22b2a2b（）解法一：设点 的坐标为 D0()xy，当 时，由 知，直线 的斜率为 ，所以直线 的方程为0y12OQ120xy12Q，或 ，其中 ， 00()xyykxm0k20m点 的坐标满足方程组12()()Q， 22yxb，将式代入式，得 ，2xkb整理得 ，2(1)40km于是 ， 122x21xk由式得 22121211()()ykxmxk2224mbbkk由 知 将式和式代入得 ，12OQ120xy22301bk23()mbk将 代入上式，整理得 200xxy， 2203xyb当 时，直线 的方程为 ， 的坐标满足方程组0y12Q012()()Qxy，22xb，所以 ， 120x2012bxy8由 知 ，即 ，12OQ120xy20bx解得 03xb这时，点 的坐标仍满足 D2203xyb综上，点 的轨迹方程为 解法二：设点 的坐标为 ，直线 的方程为 ，由0()xy，OD0yx，垂足为 ，可知直线 的方程为 12ODQ12Q20记 （显然 ） ，点 的坐标满足方程组0mxy12()()xyxy，022b， 由式得 00yx由式得 222yb将式代入式得 22000()xmxyb整理得 ，220()4y于是 0122bx由式得 00my
