线面垂直的判定与性质

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1、 线面垂直知识点1.直线和平面垂直定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直.2.线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.判定定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面.性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.3.三垂线定理和它的逆定理.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直.逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条

2、斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面上的射影垂直.题型示例 【例 1】 如图所示，已知点 S 是平面 ABC 外一点，ABC=90，SA平面 ABC，点 A 在直线 SB 和 SC 上的射影分别为点 E、F，求证：EFSC .【解前点津】 用分析法寻找解决问题的途径，假设EFSC 成立，结合 AFSC 可推证 SC平面 AEF，这样SCAE，结合 AESB，可推证 AE平面 SBC，因此证明AE平面 SBC 是解决本题的关键环节.由题设 SA平面 ABC，ABC=90，可以推证 BCAE，结合 AESB 完成 AE平面 SBC 的证明.【规范解答】【解后归纳】 题设中条件多，图形复杂，结合题设

3、理清图形中基本元素之间的位置关系是解决问题的关键.例 1 题图【例 2】 已知：MN=AB,PQM 于 Q，PO N 于 O，ORM 于 R，求证：QRAB.【解前点津】 由求证想判定，欲证线线垂直，方法有（1）ab,ac bc;(2) a,b ab;(3)三垂线定理及其逆定理.由已知想性质，知线面垂直，可推出线线垂直或线线平行.【解后归纳】 处于非常规位置图形上的三垂线定理或逆定理的应用问题，要抓住“一个面” 、“四条线”.所谓“一个面”：就是要确定一个垂面，三条垂线共处于垂面之上.所谓“四条线”：就是垂线、斜线、射影以及平面内的第四条线，这四条线中垂线是关键的一条线，牵一发而动全身，应用时

4、一般可按下面程序进行操作：确定垂面、抓准斜线、作出垂线、连结射影，寻第四条线.【例 3】 已知如图(1) 所示，矩形纸片 AAA 1A1,B、C、B 1、C 1 分别为 AA,A 1A的三等分点，将矩形纸片沿 BB1,CC1 折成如图(2)形状（正三棱柱） ，若面对角线 AB1BC 1，求证:A1CAB 1.【解前点津】 题设主要条件是 AB1BC ，而结论是 AB1A 1C，题设，题断有对答性，可在ABB1A1 上作文章，只要取 A1B1 中点 D1，就把异面直线 AB1 与 BC1 垂直关系转换到 ABB1A1 同一平例 3 题图解 (1)面内 AB1 与 BD1 垂直关系，这里要感谢三垂

5、线逆定理.自然想到题断 AB1 与 A1C 垂直用同法（对称原理）转换到同一平面，取 AB 中点 D 即可，只要证得 A1D 垂直于 AB1，事实上 DBD1A1，为平行四边形，解题路子清楚了.【解后归纳】 证线线垂直主要途径是：（1）三垂线正逆定理， （2）线面，线线垂直互相转化.利用三垂线正逆定理完成线线归面工作，在平面内完成作解任务.证线线垂直，线面垂直，常常利用线面垂直，线线垂直作为桥梁过渡过来，这种转化思想有普遍意义，利用割补法把几何图形规范化便于应用定义定理和公式，也是不容忽视的常用方法.【例 4】 空间三条线段 AB,BC,CD,ABBC ,BCCD,已知 AB=3,BC=4,C

6、D=6,则 AD 的取值范围是 .【解前点津】 如图，在直角梯形 ABCD1 中,CD 1=6,AD1 的长是 AD 的最小值,其中 AHCD 1,AH=BC=4,HD1=3,AD 1=5;在直角AHD 2 中,CD 2=6,AD2 是 AD 的最大值为974)36(2AHD【解后归纳】 本题出题形式新颖、灵活性大，很多学生对此类题感到无从入手,其实冷静分析，找出隐藏的条件很容易得出结论.例 4 题图对应训练 分阶提升一、基础夯实1.设 M 表示平面，a、b 表示直线，给出下列四个命题： bM bM ./ baMb/a/其中正确的命题是 ( )A. B. C. D.2.下列命题中正确的是 (

7、)A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面3.如图所示，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、BC 的中点.现在沿 DE、DF 及 EF 把ADE、CDF 和BEF 折起，使 A、B、C 三点重合，重合后的点记为 P.那么，在四面体 PDEF中，必有 ( )A.DP平面 PEF B.DM平面 PEF C.PM平面 DEF D.PF平面 DEF4.设 a

8、、b 是异面直线，下列命题正确的是 ( )A.过不在 a、b 上的一点 P 一定可以作一条直线和 a、b 都相交B.过不在 a、b 上的一点 P 一定可以作一个平面和 a、b 都垂直C.过 a 一定可以作一个平面与 b 垂直D.过 a 一定可以作一个平面与 b 平行5.如果直线 l,m 与平面 , 满足:l =,l,m 和 m,那么必有 ( )A. 且 lm B. 且 m C.m 且 lm D. 且 6.AB 是圆的直径，C 是圆周上一点，PC 垂直于圆所在平面，若 BC=1,AC=2,PC=1，则 P 到 AB的距离为 ( )A.1 B.2 C. D.52537.有三个命题：垂直于同一个平面

9、的两条直线平行；过平面 的一条斜线 l 有且仅有一个平面与 垂直； 异面直线 a、b 不垂直，那么过 a 的任一个平面与 b 都不垂直其中正确命题的个数为 ( )A.0 B.1 C.2 D.38.d 是异面直线 a、b 的公垂线，平面 、 满足 a，b，则下面正确的结论是 ( )第 3 题图A. 与 必相交且交线 md 或 m 与 d 重合B. 与 必相交且交线 md 但 m 与 d 不重合C. 与 必相交且交线 m 与 d 一定不平行D. 与 不一定相交9.设 l、m 为直线， 为平面，且 l，给出下列命题 若 m，则 ml；若 ml ，则 m；若 m，则 ml；若 ml，则m，其中真命题的

10、序号是 ( )A. B. C. D.10.已知直线 l平面 ，直线 m 平面 ，给出下列四个命题：若 ，则 lm；若 ，则 lm；若 lm，则 ；若 lm，则 .其中正确的命题是 ( )A.与 B.与 C.与 D.与二、思维激活11.如图所示，ABC 是直角三角形，AB 是斜边，三个顶点在平面 的同侧，它们在 内的射影分别为 A，B，C，如果ABC是正三角形，且AA 3cm，BB 5cm，CC4cm，则ABC 的面积是 . 12.如图所示,在直四棱柱 A1B1C1D1ABCD 中,当底面四边形 ABCD 满足条件 时,有A1CB 1D1(注: 填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情

11、形)13.如图所示，在三棱锥 VABC 中，当三条侧棱 VA、VB、VC 之间满足条件 时，有VCAB .(注：填上你认为正确的一种条件即可)三、能力提高14.如图所示,三棱锥 V-ABC 中,AH侧面 VBC,且 H 是VBC 的垂心，BE 是 VC 边上的高.(1)求证:VCAB;(2)若二面角 EABC 的大小为 30,求 VC 与平面 ABC所成角的大小.第 11 题图第 12 题图第 13 题图第 14 题图15.如图所示，PA矩形 ABCD 所在平面，M、N 分别是 AB、PC 的中点.(1)求证：MN平面 PAD.(2)求证：MNCD .(3)若PDA45，求证：MN平面 PCD

12、.16.如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，BAD60，AB 4，AD 2 ，侧棱 PB ，PD .153(1)求证：BD 平面 PAD. (2)若 PD 与底面 ABCD 成 60的角，试求二面角 PBCA 的大小.17.已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，ACB =90,BAC=30,BC=1，AA 1= ，M 是 CC1 的中6点，求证：AB 1A 1M 18.如图所示，正方体 ABCDABC D的棱长为 a，M 是 AD 的中点，N 是 BD上一点，且 DN NB12，MC 与 BD 交于 P.第 15 题图第 16 题图(1)求证：NP平面 ABCD

13、. (2)求平面 PNC 与平面 CC DD 所成的角.(3)求点 C 到平面 DMB 的距离.第 4 课 线面垂直习题解答1.A 两平行中有一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平行.2.C 由线面垂直的性质定理可知.3.A 折后 DPPE ,DPPF，PEPF.4.D 过 a 上任一点作直线 bb,则 a，b确定的平面与直线 b 平行.5.A 依题意,m 且 m ,则必有 ,又因为 l= 则有 l ,而 m 则 lm,故选 A.6.D 过 P 作 PDAB 于 D，连 CD，则CDAB，AB= ， ，52BCA52ABCPD= .3412P7.D 由定理及性质知三个

14、命题均正确 .8.A 显然 与 不平行.9.D 垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直.10.B ，l，lm11. cm2 设正三角 ABC的边长为 a.3AC 2=a2+1,BC2=a2+1,AB =a2+4，又 AC2+BC2=AB2，a 2=2SA B C = cm23412.在直四棱柱 A1B1C1D1ABCD 中当底面四边形 ABCD 满足条件 ACBD(或任何能推导出这个条件的其它条件，例如 ABCD 是正方形，菱形等)时,有 A1CB 1D1(注: 填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形).第 18 题图点评：本题为探索性题目，由此 题开辟了填空题有探索性 题的新题型，此 题实质考查了三垂线定理但答案不惟一,要求思维应灵活.13.VCVA，VCAB . 由 VCVA，VC AB 知 VC平面 VAB.14.(1)证明:H 为VBC 的垂心,VCBE,又 AH平面 VBC,BE 为斜线 AB 在平面 VBC 上的射影,ABVC.(2)解:由(1)知 VCAB,VCBE,VC平面 ABE,在平