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1、立体几何中的折叠问题 第 1 页 共 5 页 立体几何中的折叠问题1.概念：将平面图形沿某直线翻折成立体图形，再 对折叠后的立体 图形的线面位置关系和某几何量进行论证和计算，就是折叠 问题.2.折叠问题分析求解原则：(1)折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系；(2)折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持不 变。（最值问题）1、把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，当以 A、B、C、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线 BD 和平面 ABC 所成角的大小为_.（两点间距离，全品 83 页）2、把长宽分别为 、2 的长方形 ABCD 沿对角线 AC 折成 60o3的二面角，求顶
2、点 B 和 D 的距离。3、 （全品 70 页）给出一边长为 2 的正三角形纸片，把它折成一个侧棱长与底面边长都相等的三棱锥，并使它的全面积与原三角形面积相等，设计一种折叠方法，并用虚线标在图中，并求该三棱锥的体积。4、 （2005 江西文）矩形 ABCD 中，AB=4，BC=3 ，沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 BACD，则四面体 ABCD 的外接球的体积为 （ ）A B C D125912561253125解决折叠问题的关键是弄清折叠前后哪些量没有变化，折叠后位置关系怎样变化，通 过空间想象折叠成的几何体的形状来分析已知和待求，是培养空间想象能力的很好的 题型。立体几何中的折
3、叠问题 第 2 页 共 5 页 ABCDEMN高考题中的折叠问题1、在正方形 SG1G2G3 中 E、F 分别是 G1G2 及 G2G3 的中点,D 是 EF 的中点,现在沿 SE、SF 及EF把这个正方形折成一个四面体,使 G1、G 2、G 3 三点重合,重合后的点记为 G.那么,在四面体 SEFG中必有(A)SGEFG 所在平面 (B)SDEFG 所在平面(C)GFSEF 所在平面 (D)GD SEF 所在平面2、如图，在正三角形 ABC 中，D，E，F 分别为各边的中点，G，H，I ，J 分别为 AF，AD，BE，DE 的中点.将ABC 沿 DE，EF，DF 折成三棱锥以后，GH 与 I
4、J 所成角的度数为（ ）A90 B 60C45 D 03、 （2005 浙江理科）12设 M、N 是直角梯形 ABCD 两腰的中点，DE AB 于 E(如下图)现将ADE 沿 DE 折起，使二面角 ADE B 为 45，此时点 A 在平面 BCDE 内的射影恰为点 B，则 M、N 的连线与 AE 所成角的大小等于_4、 （2006 山东）如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB=2DC=2,DAB=60,E 为 AB 的中点，将ADE 与BEC 分别沿 ED、 EC 向上折起，使 A、 B 重合于点 P，则 P DCE 三棱锥的外接球的体积为(A) (B) (C) (D) 27326862465、
5、 （2009 浙江）如图，在长方形 中， ， ， 为 的中点， 为线段ABCD1BCEDF（端点除外）上一动点现将 沿 折起，使平面 平面 在平面ECFABC内过点 作 ， 为垂足设 ，则 的取值范围是 ABDKKt立体几何中的折叠问题 第 3 页 共 5 页 6 （2010 上海）在边长为 4 的正方形纸片 ABCD 中，AC 与 BD 相交于 O,剪去 ,将剩余部AOBV分沿 OC、OD 折叠，使 OA、OB 重合，则以 A、 （B） 、C、D、O 为顶点的四面体的体积为 。7、 （2010 浙江）如图，在矩形 中，点 分别在线段 上，,EF,.沿直线 将 翻折成 ，使平面23AEBFDV
6、A. 平 面(I)求二面角 的余弦值； (II)点 分别在线段 上，若沿直线 将四C,MN,BCMN边形 向上翻折，使 与 重合，求线段 的长.MNAF8、(2009 浙江备) 如图, 在平面内直线 EF 与线段 AB 相交于 C 点, BCF , 且o30AC = CB = 4, 将此平面沿直线 EF 折成 的二面角 EF , BP平面 , 点 P 为垂足.o60() 求ACP 的面积;() 求异面直线 AB 与 EF 所成角的正切值. BAFC CBPAEE F立体几何中的折叠问题 第 4 页 共 5 页 9、 （2007 广东）如图所示，等腰 的底边 ，高 ，点 是线段 上ABC 63C
7、DEBD异于点 的动点，点 在 边上，且 ，现沿 将 折起到 的BD， FEF F PF位置，使 ，记 ， 表示四棱锥 的体积PEA x()VPA（1）求 的表达式；()Vx（2）当 为何值时， 取得最大值？()x（3）当 取得最大值时，求异面直线 与 所成角的余弦值()xACPF10、 （2006 辽宁）已知正方形 ， 分别是边 的中点，将 沿 折ABCDEFABCD，AE D起，如图所示，记二面角 的大小为 （ ） 0（1）证明 平面 ；BF（2）若 为正三角形，试判断点 在平面 内的射影 是否在直线 上，证明ACD GF你的结论，并求角 的余弦值图 6PEDFBCAAB CDE FE立体几何中的折叠问题 第 5 页 共 5 页
