《高考数学指点迷津系列讲座——集中与发散的思想方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学指点迷津系列讲座——集中与发散的思想方法（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高考数学指点迷津系列讲座代数推理题的解法数学是“教会年轻人思考”的科学, 针对代数推理型问题, 我们不但要寻求它的解法是什么, 还要思考有没有其它的解法, 更要反思为什么要这样解, 不这样解行吗?我们通过典型的问题, 解析代数推理题的解题思路, 方法和技巧. 在解题思维的过程中, 既重视通性通法的演练, 又注意特殊技巧的作用, 同时将函数与方程, 数形结合, 分类与讨论, 等价与化归等数学思想方法贯穿于整个的解题训练过程当中.【试题在线】1.数列 na满足 11,nnar（ *,rNR且 0） ，则“ 1r”是“数列 na成等差数列”的【 】A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充分必
2、要条件 D. 既不充分也不必要条件2.为了了解学生遵守中华人民共和国交通安全法的情况，调查部门在某学校进行了如下的随机调查：向被调查者提出两个问题：（1）你的学号是奇数吗？（2）在过路口的时候你是否闯过红灯？要求被调查者背对调查人抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第（1）个问题；否则就回答第（2）个问题。被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需要回答“是”或“不是” ，因为只有被调查本人知道回答了哪个问题，所以都如实做了回答。如果被调查的 600 人（学号从 1到 600）中有 180 人回答了“是” ，由此可以估计在这 600 人中闯过红灯的人数是 3.设集合 ，集合 .若 中恰
3、含有一个整数，2A=30x2B=10,xaABI则实数 的取值范围是【 】aA B C D 30,44,3,41,4.已知函数 ，其中 为常数那么“ ”是“ 为奇函数”的【 】()cosfxbxb0b()fx（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件5已知 、 为两个非零向量，集合 ，集合1(,)ar2(,)ar 10Axab， 则 是 的【 】20xb/brAB（A）充分非必要条件 （ B）必要非充分条件（C）充要条件 （D）非充分非必要条件6对于给定的自然数 ，如果数列 满足： 的任意一个排列都可n12,()manL,23,n以在原数列中删去
4、若干项后按数列原来顺序排列而得到，则称 是“ 的1()maLn覆盖数列”. 如 1, 2, 1 是“2 的覆盖数列” ；1, 2, 2 则不是“2 的覆盖数列” ，因为删去任何数都无法得到排列 2, 1，则以下四组数列中是“3 的覆盖数列”为【 】（A）1, 2, 3, 3, 1, 2, 3 （B）1, 2, 3, 2, 1, 3, 1（C ）1, 2, 3, 1, 2, 1, 3 （D）1, 2, 3, 2, 2, 1, 37.观察下列等式： 1 ， 1 ， 312 12 122 312 12 423 122 1322 312 12 423 122 1 ，由以上等式推测到一个一般的结论：对于
5、 nN *，534 123 1423 312 12 423 122 n 2nn 1 12n8.已知函数 的定义域为 若 常数 ，对 ，有 ，则称函数()fxR0cxR()()fxcf具有性质 给定下列三个函数： ； ； P()2fsin 其中，具有性质 的函数的序号是_3()fP【典型例题】例 1.已知nxf)2, 其中 *N(1)若展开式中含 3项的系数为 14, 求 的值；(2)当 x时, 求证： (f必可表示成*1()s的形式.例 2.阅读下面题目的解法，再根据要求解决后面的问题.阅读题目：对于任意实数 21,ba，证明不等式： )()(212121 baba.证明：构造函数： 2)()
6、()() 2221 xxxbxaf .注意到 0，所以 0)(4 1121 ，即2121 ba.（其中等号成立当且仅当 120x，即 121ab.）问题：（1）请用这个不等式证明：对任意正实数 yx,，不等式22()baxy成立.（2）用（1）中的不等式求函数 )(219xy的最小值，并指出此时 x的值.（3）根据阅读题目的证明，将不等式 )( 2121baba进行推广，得到一个更一般的不等式，并用构造函数的方法对你的推广进行证明.例 3.若集合 具有以下性质：A ， ；若 ，则 ，且 时， .则称集合 是“好集”.01Ayx,yx0xA1（）分别判断集合 ，有理数集 是否是“好集” ，并说明
7、理由；10B=-Q（）设集合 是“好集” ，求证：若 ，则 ；,y（）对任意的一个“好集” ，分别判断下面命题的真假，并说明理由.命题 ：若 ，则必有 ；命题 ：若 ，且 ，则必有 ；pAyx,xyqAx,0xAxy例 4.已知函数 其中集合 是非空数集.设 ，(),xPfM=- ,()(),fPyfxP=.()(),fMyfx（）若 ， ，求 ；1,3P=,2-()fPfU（）若 ，且函数 是定义在 上的单调递增函数，求集合 ；I()fxR,PM（）判断命题“若 ，则 ”的真假，并说明理由.UfM例 5.已知函数 （ 为实数， ， ） ，2()1fxab, a0axR() 0,.fxF（）若
8、 ， 且函数 的值域为 ，求 的表达式；10f()fx, )()（）在（）的条件下，当 时， 是单调函数，求实数 的取值范围；, 2(gfkk（）设 ， ， ，且函数 为偶函数，判断 是否大于 ？mn0a)fx()Fmn0例 6.已知数列 的前 项和为 ，点 在直线 上数列 满足nanS, n4xynb，且 ，前 11 项和为 154.210nb*()N84b（1）求数列 、 的通项公式；n（2）设 ，数列 的前 n 项和为 ，求使不等式 对一切)52(3nnaccnT75kTn都成立的最大正整数 的值；*nNk（3）设 是否存在 ，使得 成立？若存在，).,2(,1)(*Nlnbf *mN)
9、(3)9(mff求出 的值；若不存在，请说明理由m例 7.对数列 ，规定 为数列 的一阶差分数列，其中 N*)对正整nanna1(nna数 k，规定 为 的 k 阶差分数列，其中 k 1kkkkn a（）若数列 的首项 ，且满足 ，求数列 的通项公式；n122nn（）对（）中的数列 ，若数列 是等差数列，使得nb对一切正整数 N*都成立，求 ；1231nnnbCCanb（） 在（）的条件下，令 设 若 成立，求,c312,nncTaTm最小正整数 的值m例 8.函数 1)(xf 求证： 的图像关于直线 y=x 对称； 函数 2ya=-+的图像与函数 ()fx的图像有且只有一个交点，求实数 a的
10、值； 是否存在圆心在原点的圆与函数 的图象有且只有三个交点，如果存在，则求出此圆的半径；如果不存在，请说明理由。例 9.对定义在 0,1上，并且同时满足以下两个条件的函数 ()fx称为 G函数。 对任意的 x，总有 ()0fx； 当 1212,时，总有 1212(fff成立。已知函数 ()g与 ()ha是定义在 ,上的函数。（1）试问函数 是否为 G函数？并说明理由；（2）若函数 x是 函数，求实数 的值；（3）在（2）的条件下，讨论方程 (21)(xghm)R解的个数情况。例 10.已知函数 ()fx的定义域为 (0,)，若 ()fxy在 0,)上为增函数，则称 ()fx为“一阶比增函数”
11、；若 2y在 ,上为增函数，则称 f为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为 1，所有“二阶比增函数”组成的集合记为 2. ()已知函数 32()fxhx，若 (),f且 2()fx，求实数 h的取值范围；()已知 0abc， 1()f且 的部分函数值由下表给出，abcabcfxdt4求证： (24)0dt；()定义集合 2|(,(0,)(,f kxfxk且 存 在 常 数 使 得 任 取 ,请问：是否存在常数 M，使得任意 ，任意 ，有 M成立？若存)(xf在，求出 的最小值；若不存在，说明理由. 【训练反馈】1.在 ABC中，角 ,的对边分别为 ,abc，则“ 2cos
12、bC”是“ AB是等腰三角形”的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 【答案】 （ ）（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件2.已知函数 若 ，使得 成立，则实数 的取2,1()xaf1212,xxR12()fxfa值范围是【答案】 （ ） （A） （B） （C ） （D） 或2a2a-3.设定义在 R上的函数 )(xf的反函数为 )(1xf，且对于任意的 Rx，都有 3)(xff，则4)1(xf等于【答案】 （ ）A0 B-2 C2 D 44.已知 ， 或 ， ，对于123(,)n nSaL 01ia31,2inL()， 表示 U 和 V 中相对应的元素不同的个数令,UV)d，
13、存在 m 个 ，使得 ，则 m= .；(23,05VS(,)dUV5给出下列命题： 若 ,abR，则 32aba. 若 ,abR，则 ab来 若 ,c则 cc. 若 31,xy则 423xy；其中正确命题的个数为 个. 6.对于定义域为0,1的函数 ，如果同时满足以下三个条件： 对任意的 ，总有()fx 1,0； ； 若 ， ，都有 成0)(xf1)(f 0,2112x )()(221xffxf立；则称函数 为理想函数. 下面有三个命题：x（1）若函数 为理想函数，则 ；（2）函数 是理想函数；f )(f ,)(fx（3） 若函数 是理想函数，假定存在 ，使得 ，且 ，)( ,0x00)(xf
14、则 ；其中正确的命题个数有 个.0xf7.已知各项为正数的等比数列 na（ *N）的公比为 q（ 1） ，有如下真命题：若pn21，则 pna21)(1（其中 pn、 21为正整数） （1）若 2，试探究 21)(1na与 p、 q之间有何等量关系，并给予证明；（2）对（1）中探究得出的结论进行推广，写出一个真命题，并给予证明8.已知动直线与椭圆 C: 23xy交于 P1,xy、Q 2,两不同点，且OPQ 的面积 OPQS=62,其中 O 为坐标原点 .（）证明21x和21y均为定值;（）设线段 PQ 的中点为 M，求 |OPQ的最大值；（）椭圆 C 上是否存在点 D,E,G，使得62DEOGESS?若存在，判断DEG 的形状；若不存在，请说明理由.【训练反馈】参考答案1. A 2. A 3. A 4. ； 5 2 6. 325107.解（1）因为 1pn，所以 11pn， 212112)(21221 )()
