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1、空 间 向 量 在 立 体 几 何 中 的 应 用重 点 难 点重 点 ： 用 向 量 方 法 讨 论 空 间 中 的 平 行 、 垂 直 关 系 和 求 空 间 的 角 、 距 离难 点 ： 将 立 体 几 何 问 题 转 化 为 向 量 问 题 知 识 归 纳一 、 空 间 中 的 角空 间 中 的 角 包 括 两 条 异 面 直 线 所 成 的 角 、 直 线 与 平 面 所 成 的 角 、 二 面 角 这 些 角 都 是 通 过 两 条 射 线所 成 的 角 来 定 义 的 ， 因 而 这 些 角 的 计 算 方 法 ， 都 是 转 化 为 平 面 内 线 与 线 所 成 的 角 来
2、计 算 的 确 切 地 说 ，是 “化 归 ”到 一 个 三 角 形 中 ， 通 过 解 三 角 形 求 其 大 小 1 异 面 直 线 所 成 的 角 ： 异 面 直 线 的 夹 角 一 般 采 用 平 移 法 ， 把 它 们 化 归 到 一 个 三 角 形 中 再 通 过 解 三角 形 求 得 而 利 用 向 量 法 则 可 直 接 运 用 两 直 线 的 方 向 向 量 的 夹 角 公 式 来 求 得 其 取 值 范 围 是 (0,90.2 直 线 和 平 面 所 成 的 角 ： 平 面 的 斜 线 和 它 在 平 面 上 的 射 影 所 成 的 锐 角 ， 叫 做 这 条 直 线 和
3、这 个 平 面所 成 的 角 直 线 与 平 面 所 成 角 的 范 围 是 0,90 0时 ， 直 线 在 平 面 内 或 与 平 面 平 行 90时 ， 直 线 与 平 面 垂 直 3 二 面 角 的 平 面 角 ： 从 一 条 直 线 出 发 的 两 个 半 平 面 所 组 成 的 图 形 叫 做 二 面 角 ， 在 二 面 角 的 棱 上任 取 一 点 O， 在 两 个 半 平 面 内 以 O 为 垂 足 作 棱 的 垂 线 OA 与 OB， 则 AOB 叫 做 二 面 角 的 平 面 角 二 面角 的 取 值 范 围 是 0,180). 0时 两 个 半 平 面 共 面 ； 0= ，
4、 则 二 面角 为 或 . 设 二 面 角 的 大 小 为 ， 则 .l12|cos|四 、 用 向 量 法 求 空 间 距 离1、 求 点 到 平 面 的 距 离如 图 所 示 ， 已 知 点 ， 平 面 内 一 点 ， 平 面0(,)Bxyz1(,)Axyz的 一 个 法 向 量 n， 直 线 与 平 面 所 成 的 角 为 ， ，A,nBur则 . 由 数 量 积 的 定 义 知 ， n =|n|si|co,|cos|ur|， 所 以 点 到 平 面 的 距 离 .B|si|cosAdBArurr2、 求 异 面 直 线 间 的 距 离如 右 图 ， 若 CD 是 异 面 直 线 a，
5、b 上 的 公 垂 线 ， A、 B 分 别 是 a， b 上的 任 意 两 点 ， 令 向 量 na， nb， 则 n/CD. 则 由得 ， n= n+ n+ n， 所 以 n=ABBurruAruruurn， 所 以 | n|=| n|， 故 ， 所 以 ， 异 面 直 线|a、 b 间 的 距 离 为 .|dur3、 求 直 线 到 平 面 的 距 离设 直 线 a/平 面 ， ， ， n 是 平 面 的 法 向 量 ， 过 A 作AaB， 垂 足 为 C， 则 /n. 因 为 n= n= n，AAurBur()ACrur所 以 | n|=| |n|， 故 直 线 a 到 平 面 的 距
6、 离 为 Bur |Bd4、 求 两 平 行 平 面 间 的 距 离（ 1） 用 公 式 求 ， n 为 两 平 行 平 面 的 一 个 法 向 量 ， A、 B 分 别|ABdur为 两 平 面 上 的 任 意 点 .（ 2） 转 化 为 点 面 距 或 线 面 距 求 解 .课 堂 典 例 讲 练题 型 一 用 向 量 证 明 平 行例 1 在 正 方 体 ABCD A1B1C1D1 中 ， M、 N 分 别 是 C1C、 B1C1 的 中 点 求 证 ： MN平 面 A1BD.证 明 ： 方 法 1： 如 图 所 示 ， 以 D 为 原 点 ， DA、 DC、 DD1 所 在 直 线 分
7、 别为 x 轴 、 y 轴 、 z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 设 正 方 体 的 棱 长 为 1， 则 可 求 得M ， N ， A1(1,0,1)， B(1,1,0)， 于 是 ， 设 平 面(0，1，12) (12，1，1) MN (12，0，12)A1BD 的 法 向 量 是 n (x， y， z) 则 n 0， 且 n 0， Error!，DA1 DB 取 x 1， 得 y 1， z 1.n (1， 1， 1)又 n (1， 1， 1) 0，MN (12，0，12) n， 又 MN平 面 A1BD， MN平 面 A1BD.MN 方 法 2： ( )MN C1N C1M
8、 12C1B1 12C1C 12D1A1 D1D 12，DA1 ， 又 MN平 面 A1BD.MN DA1 MN平 面 A1BD.点 评 ： (1)证 明 直 线 l1l2 时 ， 分 别 取 l1、 l2 的 一 个 方 向 向 量 a、 b， 则 ab存 在 实 数 k， 使 a kb或 利 用 其 坐 标 (其 中 a (a1， a2， a3)， b (b1， b2， b3)a1b1 a2b2 a3b3(2)证 明 直 线 l平 面 时 ，可 取 直 线 l 的 方 向 向 量 a 与 平 面 的 法 向 量 n， 证 明 an 0；可 在 平 面 内 取 基 向 量 e1， e2， 证
9、 明 直 线 l 的 方 向 向 量 a 1e1 2e2， 然 后 说 明 l 不 在 平 面 内 即可 ；在 平 面 内 找 两 点 A、 B， 证 明 直 线 l 的 方 向 向 量 n .AB (3)证 明 平 面 平 面 时 ， 设 、 的 法 向 量 分 别 为 a、 b， 则 只 须 证 明 ab.题 型 二 用 向 量 证 明 线 面 垂 直例 2 在 棱 长 为 1 的 正 方 体 ABCD A1B1C1D1 中 ， E、 F 分 别 为 棱 AB 和 BC 的 中 点 ， 试 在 棱B1B 上 找 一 点 M， 使 得 D1M平 面 EFB1.证 明 ： 分 别 以 DA、
10、DC、 DD1 所 在 直 线 为 x 轴 、 y 轴 、 z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 D xyz，则 A(1,0,0)， B1(1,1,1)， C(0,1,0)， D1(0,0,1)， E ， M(1,1， m) ( 1,1,0)，(1，12，0) AC 又 E、 F 分 别 为 AB、 BC 的 中 点 ， .EF 12AC ( 12，12，0)又 ， (1,1， m 1)，B1E (0， 12， 1) D1M D1M平 面 FEB1， D1MEF 且 D1MB1E.即 0， 且 0.D1M EF D1M B1E Error!， m .12故 取 B1B 的 中 点 M 就
11、 能 满 足 D1M平 面 EFB1.点 评 ： 证 明 直 线 l1 与 l2 垂 直 时 ， 取 l1、 l2 的 方 向 向 量 a、 b， 证 明 ab 0.证 明 直 线 l 与 平 面 垂 直 时 ， 取 的 法 向 量 n， l 的 方 向 向 量 a， 证 明 an.或 取 平 面 内 的 两 相 交 直 线 的 方 向 向 量 a、 b 与 直 线 l 的 方 向 向 量 e， 证 明 ae 0， be 0.证 明 平 面 与 垂 直 时 ， 取 、 的 法 向 量 n1、 n2， 证 明 n1n2 0.或 取 一 个 平 面 的 法 向 量n， 在 另 一 个 平 面 内
12、取 基 向 量 e1， e2， 证 明 n e1 e2.题 型 三 用 向 量 法 证 明 面 面 垂 直 与 面 面 平 行例 3 已 知 正 方 体 ABCD A1B1C1D1 的 棱 长 为 2， E、 F、 G 分 别 是 BB1、 DD1、 DC 的 中 点 ， 求证 ：(1)平 面 ADE平 面 B1C1F；(2)平 面 ADE平 面 A1D1G；(3)在 AE 上 求 一 点 M， 使 得 A1M平 面 DAE.解 析 ： 以 D 为 原 点 ， 、 、 为 正 交 基 底 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 O xyz， 则 D(0,0,0)， D1(0,0,2)，DA DC
13、DD1 A(2,0,0)， A1(2,0,2)， E(2,2,1)， F(0,0,1)， G(0,1,0)， B1(2,2,2)， C1(0,2,2)(1)设 n1 (x1， y1， z1)， n2 (x2， y2， z2)分 别 是 平 面 ADE、 平 面B1C1F 的 法 向 量 ， 则 n1 ， n1 .DA AE Error!， Error!，取 y1 1， z1 2， n1 (0,1， 2)同 理 可 求 n2 (0,1， 2)n1n2， 平 面 ADE平 面 B1C1F.(2) (2,0,0)(0,1， 2) 0， .DA D1G DA D1G (0,2,1)(0,1， 2) 0
14、， .AE D1G AE D1G 、 不 共 线 ， D1G平 面 ADE.DA AE 又 D1G平 面 A1D1G， 平 面 ADE平 面 A1D1G.(3)由 于 点 M 在 AE 上 ， 所 以 可 设 (0,2,1) (0,2， )，AM AE M(2,2， )， (0,2， 2)A1M 要 使 A1M平 面 DAE， 只 需 A1MAE， (0,2， 2)(0,2,1) 5 2 0，A1M AE .故 当 AM AE 时 ， A1M平 面 DAE.25 25跟 踪 练 习 1已 知 四 棱 锥 P ABCD 的 底 面 是 直 角 梯 形 ， ABC BCD 90， AB BC PB PC 2CD， 侧 面PBC底 面 ABCD.(1)证 明 ： PABD；(2)证 明 ： 平 面 PAD平 面 PAB.证 明 ： (1)取 BC 的 中 点 O，侧 面 PBC底 面 ABCD， PBC 为 等 边 三 角 形 ，PO底 面 ABCD.以 O 为 坐 标 原 点 ， 以 BC 所 在 直 线 为 x 轴 ， 过 点 O 与 AB 平 行 的 直 线 为 y 轴 ， 建 立 如 图 所 示 空 间直 角 坐 标 系 不 妨 设 CD 1， 则 AB BC 2， PO .3A(1， 2,0)， B(1,0,0)， D( 1， 1,0)， P(0,0， )3 (
