《[理学]§12-2 习题解答与模拟试题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《[理学]§12-2 习题解答与模拟试题（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、习题解答1.求下列函数的极值： ； ；3zxy()(0zxya ； 。4245y22e做题方法：求出驻点 计算出二阶偏导数在驻点处的值 用判别法譬如解，先求驻点，即，解得驻点： ，2223()0xyzyxyx 0xy1其次， ，则在点 处，因为6,6xxyyz(,)2(,)09xyxyz所以函数 在点 没有取到极值；而在点 处，因为3z0(1,)且2(1,),(1,)367xyxyz60xz所以函数 在点 取到极大值3 (,)z再譬如解，先求驻点，即（驻点）22e()e0xxzyy 12y其次，求出二阶偏导数，即在驻点 处，2224e()4eexxxzyyz 1,222e0ezxyz最后，因为
2、且2e04e2e0zx所以函数 在点 取到极小值22e()xzy1,min请你做其他习题。答案： 在点 取到极大值 ； 在点 取到极小值(,)3a37a(2,1)1z2.求由方程 所确定的隐函数 的极22 0xyzxyzz(,)zxy值。分析：方程只有一个，总共有三个变量，根据题目要求，它确定二元隐函数 (,)zxy解 在方程两端分别关于 与 求偏导数，即xy（） 2()20xxxyyyzzz根据取到极值的必要条件 ，则 ，解出 ，并代入原方(0)xzz2程得到关于 的二次方程 ，解出 ，再代入 ，则得驻z28426zxy点 和(36)Axy(36)Bxy其次，隐函数 在驻点是否取到极值，还要
3、用充分条件再验证一下。为此，对方,程（）求偏导数，并注意 ，则0xyz（）220xxyyzz把驻点 的坐标和 代入式（） ，则得A426z11,0,6xxyyzz根据取到极值的充分条件 ，则 是极大值；再把2y【 】 max42z驻点 的坐标和 代入式（） ，用同样的方法可以验证， 是极B426z in6z小值。注：上面的解题方法总结在下一题的一般解法中。3.设函数 具有连续二阶偏导数。若方程 确定隐函数 ， (,)Fxyz (,)0Fxyz(,)zxy问：隐函数 在点 取到极值的必要条件是什么？充分条件又是什么？(,)ab解 记 .在 两端分别关于 与 求偏导数，即,c0xyz（） (,)(
4、,)(,0zxyyF根据 在点 取到极值的必要条件 ，并注意点 满足(,)zxy(,)ab,xab(,)abc方程 ，则隐函数 在点 取到极值的必要条件就是0F(,)z(),0(,)xyFcab再对方程组（）求偏导数，并注意 ，则xyz(,)(,)(,0,xzxyyzFabccab或 (,)(,)(,xxyzyabcabcF于是， 2(,)(,)(,)xyxyFabcabc2 2(,)(,),(,)zxyxycabzzab因为 ,0xyxyF,0xyxy所以隐函数 在点 取到极值的充分条件是()z()ab且 ,0(,)xycF 2(,)(,)(,)0xyxyabcFabc4.某车间需要用铁皮制
5、造一个容积为 的(有盖儿) 长方形水箱.问：如何选择它的长、宽、32m高，才能使用料最省？ 【提示：用料最省就是表面积最小】解 设长、宽、高依次为 、 、 ，根据约束条件，则 ，而目标函数为xyz2xyz3(m)。从约束条件 解出 ，并将 代入 ，2Sxyzxxy 2Sxyzx则得二元函数 4(,)2Sx从取到极值的必要条件 240Syx32xy（ 根 据 约 束 条 件 ） 32z因此，当 时，用料最省。3xyz(m)注：像教科书中所说的那样，根据应用问题的提法，不需要再用充分条件验证。5.欲围一个面积为 的矩形场地，正面一边所用材料每米长的造价为 10 元，其余三边260每米长的造价为 5
6、 元。问：如何选择它的长和宽，才能使费用最小？分析：设正面边长为 ，则另一边长就是 ，于是，目标函数为x()60(m)x（费用） （元）135C请你根据上面的分析写出解答。答案：正面边长 ，宽30m26.某工厂生产有两种产品 和 ，出售单价分别为 元和 元。若已知生产 个产品 和AB109xA生产 个产品 的总费用为yB（元）2243.(3)Cxyxy而且产品都能够销售出去，问：两种产品的产量各为多少时，才能获得最大利润？分析： ，于是，目标函数就是()()()LR利 润 收 益 成 本 221090.01()xyxyxy请你根据上面的分析写出解答。答案：生产 120 个产品 ，80 个产品A
7、B7.对两个有因果关系的变量 和 进行了 次测量后，得到 组数据为nn12(,),()xyxyL当把它们描绘在直角坐标平面上时，它们几乎分布在一条直线 上。试用最小二乘法，ab求出待定常数 和ab解 问题是求出 和 ，使偏差 为最小。为此，从必要条件221()niiyaxb21()0(niiiiiyaxbab11nniiii ixyab用消元法或克拉默法则，解右端这个方程组，则得， 1122nniiiiixyyax2112nniiiiiiyxxyb模拟试题求函数的极值是考研数学试题的考点之一。 选择题(1)已知函数 在点 连续，且 ，则必有【 】(,)fxy(0,)20(,)lim1xyfxy
8、点 不是 的极值点。(A)0,点 是 的极大值点。B()f点 是 的极小值点。C,xy根据所给条件，无法判断点 是否为 的极值点。(D) (0,)(,)fxy分析： ，于是，2220(,)lim110)xyffxyory222(,)()()(0)fxyxyoxyrxy另一方面，根据 在点 的连续性，则 。显然，0, 0,lim,yff(,)0f不是极值，即点 不是 的极值点，因为当取 且 时，(,)(,)fxyx22()1()(,)oxof所以当正数 足够小时， ， 。因此， 不是函数 的x0x,0f0,f(,)fxy极值。选 (A) 解答题(2)求二元函数 的极值。2(,)()lnfxyy解
9、 【驻点】10,0eln1xy xf 221(,e)()()0,xyfyf因为 2122(,e)(,)(0,e)(e)0(e)0xyxyf且 12f所以有极小值 1min0,(3)设 是由方程 确定的隐函数。求()zxy222618xyyz的极值点和极值。(,)解 解法同习题 的解法。第一步，在方程两端分别关于 求偏导数，即,xy（） 26200xyzz让 ，则得 。把 代入原方程，得 。于是，0xyz331xyz3y得到两组解，即点 与(9,)A(,)B第二步，再对方程组()求偏导数，并代入 ，即0xyz（）22()()16() 3000xx xxyyyyyzzzz 第三步，将点 代入式 （） ，得 ，因为(9,3)A15,62xxyyzz且251()08436xyxzxz所以 是极小值；同理，再将点 代入式（） ，得min(9,3)z (9,)B，因为15,623xxyyz且251()08436xyxzxz所以 是极大值。max(9,)z
