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1、1湖南省 2015 年普通高等学校对口招生考试数学(对口)试题本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分.时量 120 分钟.满分 120 分一、选择题(每小题 4 分,共 40 分每小题只有一项是符合题目要求的)1.已知集合 , ,则 等于 【答案】B32,1A5BBAIA. B. C. D. 5,43212.“ ” 是“ ”的 【答案】Ax42xA 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件3.函数 的定义域为 【答案】Dxxf31log)(2A. B. C. D.031xx4.点 到直线 的距离为 【答案】C1,2P543yxA5 B C 1 D655.已
2、知 ,则 【答案】B,2,3sincosA B C D2398326. 的二项展开式中含 的系数为 ,则 【答案】C61axx25aA B C D 28417.下列函数中,既是奇函数又是增函数的是 【答案】AA B C D 3xy1xyxysin12xy8. 不等式 的解集为 【答案】D21A. B. C. D. xx42x2x29已知向量 ,则 【答案】B2,3,1baA B C Dbab420b10若过点(0,2)的直线与圆 有公共点,则直线 的倾斜角的取122yx l值范围是 【答案】CA B C D6,65,0),65,0U65,二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20
3、 分)11、甲、乙两人独立地解答同一个问题,若他们解答正确的概率分别为 0.8 和 0.6,则两人都解答正确的概率为_ 【答案】0.4812某公司现有员工 500 人,为了调查员工的健康状况,拟采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 100 的样本,若将所有员工分为 A,B,C 三个年龄组,各组人数依次为125,280,95,则在 B 组中抽取的人数应为 _ 【答案】56 人13若函数 在 上单调递增,则 的取值范围是 4)13(2xaxf ,5a【答案】-3,+) 提示:由 .32a14.已知点 ,且 ,则点 的坐标为 【答案】(1,-1),52,NMMNPP15 已知等比数列 的前 项和 ,
4、则 【答案】-3nakSnn三、解答题(本大题共 7 小题,其中第 21,22 题为选做题满分 60 分解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16. (本小题满分 10 分)已知函数 的图象过点 .1,0axf 4,2A(I)求 的解析式;(II)当 时,求 的取值范围f ,xxf解:(I)依题意,有: ,解得: ,24a2函数 的解析式为 ;xfxf(II) , 为增函数,又12a ,42)(,12)(ff当 时, 的取值范围为 ,xxf41,317. (本小题满分 10 分)从装有 5 个红球和 3 个白球的箱子中,随机取出 2 个球,用 表示取出的 2 个球中白球的个数(I)求随机变
5、量 的分布列;(II)求事件“取出的 2 个球中至少有一个白球”的概率解:(I)随机变量 的所有可能的取值为 0、1、2,且 ,283,85,145 )2(235)1(28)0( CPCPCP随机变量 的分布列为:(II)至少有 1 个白球的概率 149149)1( )0()2()( PPP或18. (本小题满分 10 分)如图 1,长方体 中,1DCBA3,41ADB(I)证明: 平面 ;(II)求三棱锥1的体积C1解:(I)证明: 是长方体,1DCBA 且且/1/故 , 为平行四边形,因此, ,1BA DACB1/又因为 为平面 外的一条直线,而 ,CD1 1且所以, 平面 ;1BA(II
6、) 834232311 ACVBCDA )(三 棱 锥19. (本小题满分 10 分)设等差数列 的中,若 ,求:na6,86a 0 1 2P 583B1A1C1D1DBCA 图 14(I)求数列 的通项公式;(II)求数列 的前 项和的最小值nana解:(I)设数列 的首项为 ,公差为 ,依题意,有:1ad数列 的通项公式为 ;,2852611dan 102na(II) 数列 为递增数列,由 ,,na 5n所以,数列 的前 4 项和与前 5 项和相等,并且为最小,n即 或 20)(84S 20)8(S20. (本小题满分 10 分)已知抛物线 的焦点为 (I)求 C 的方程;(II)设过点
7、F 的直线 与pxyC:2.,1Fl相交于 两点,试判断以 为直径的圆 M 与 轴的位置关系,并说明理由BA,ABy解:(I)抛物线 的焦点为 , ,解得 ,xy2:0,12p2故 抛物线 C 的方程为: ;4由抛物线的定义可知, 且且BFQAP在直角梯形 APQB 中, ,ABMN212121且故圆心 M 到准线的距离等于半径,所以,以 AB 为直径的圆与 轴必相交y此外:还可以设直线的斜率 、A 、B 及 AB 的中点 ,由弦长k),(1yx),(2y),(0xM公式求得弦长 ,求出 , ,从而得出圆与 轴必相交rB200r且注意:第 21 题,22 题为选做题,请考生选择其中一题作答21
8、 (本小题满分 10 分)在 中,内角 A,B,C 的对边分别为 ,已知 ,且cba, 3,1b43sinAB(I)求角 的大小;(II)求 的面积5解:(I)由正弦定理 ,又 ,abABbAasinisin 43sin,AB且 ,4a, ;21342)(2cos abcC由 余 弦 定 理 , 得 : 06C(II) 1inSABC22已知甲、乙、丙三种食品中维生素 A,B 含量及食品价格如下表所示:甲 乙 丙维生素 A(单位/千克) 500 200 300维生素 B(单位/千克) 200 500 300单价(元/千克) 6 7 5营养师拟购买这三种食品共 7 千克,要求其中维生素 A 的总含量与维生素 B 的总含量均不少于 2300 单位问:这三种食品各购买多少千克,才能使支付的总金额最少?解:设购买甲、乙分别为 x、y 千克,则购买丙的数量为 7-(x+y) 千克,依题意,有:即 .0,)(7,230)(7352yx .0,72,yx而目标函数为: ,作出可行域如下:35)(56yxyxz显然,当处于 A 点时,目标函数 有最小值,故352yxz由 ,即 A(2,2).02xy6当 时,有目标函数 有最小值,2yx 352yxz此时,丙的数量为 7-(2+2)=3(千克), )(41ma 元Z答:要在保证营养的前提下使支付的总金额最少,则甲、乙、丙各买 2、2、3 千克