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1、全等证明题练习1、 （1）如图，在ABC 和ADE 中，AB=AC，AD=AE，BAC= DAE=90当点 D 在 AC 上时，如图 1，线段 BD、CE 有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；将图 1 中的ADE 绕点 A 顺时针旋转 角（090） ，如图 2，线段 BD、CE 有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由（2）当ABC 和ADE 满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段 BD、CE 在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由甲：AB：AC=AD：AE=1，BAC=DAE90；乙：AB：AC=AD：AE1 ，BAC=DAE=90；丙：AB：AC=AD：AE1 ，BAC=
2、DAE90解：（1）结论：BD=CE，BDCE ；结论：BD=CE，BDCE1 分理由如下：BAC=DAE=90BACDAC=DAE DAC，即BAD=CAE1 分在ABD 与ACE 中，ABDACE（SAS）BD=CE1 分延长 BD 交 AC 于 F，交 CE 于 H在ABF 与 HCF 中，ABF=HCF，AFB=HFCCHF=BAF=90BDCE3 分（2）结论：乙AB：AC=AD：AE，BAC=DAE=902 分2、如图所示，在ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点，DEBC，如图，然后将ADE 绕 A 点顺时针旋转一定角度，得到图，然后将 BD、CE 分别延长至 M、N，使
3、 DM= BD，EN= CE，得到图，请解答下列问题：（1）若 AB=AC，请探究下列数量关系：在图中，BD 与 CE 的数量关系是 ；在图中，猜想 AM 与 AN 的数量关系、MAN 与BAC 的数量关系，并证明你的猜想；解：（1）BD=CE；AM=AN，MAN=BAC，DAE=BAC，CAE=BAD，在BAD 和CAE 中CAEBAD（SAS） ，ACE=ABD，DM= BD，EN= CE，BM=CN，在ABM 和ACN 中，ABMACN （SAS ） ，AM=AN，BAM=CAN，即MAN=BAC；3、CD 经过BCA 顶点 C 的一条直线，CA=CBE，F 分别是直线 CD 上两点，且
4、BEC=CFA= （1）若直线 CD 经过BCA 的内部，且 E，F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题：如图 1，若BCA=90， =90，则 BE=CF；EF = |BEAF| （填“”， “” 或“=”） ；如图 2，若 0BCA180，请添加一个关于 与BCA 关系的条件+BCA=180，使中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立（2）如图 3，若直线 CD 经过BCA 的外部，=BCA，请提出 EF，BE ，AF 三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明） 解：（1）BCA=90， =90，BCE+CBE=90 ，BCE+ACF=90 ，CBE=ACF，CA=CB，BEC= CFA
5、；BCE CAF，BE=CF；EF=|BEAF|所填的条件是：+ BCA=180证明：在BCE 中，CBE+BCE=180BEC=180BCA=180，CBE+BCE=BCA又ACF+BCE= BCA ，CBE=ACF，又BC=CA，BEC= CFA，BCE CAF（AAS）BE=CF，CE=AF，又EF=CF CE，EF=|BEAF|（2）EF=BE+AF 4、 （1）已知：如图，在AOB 和COD 中，OA=OB，OC=OD，AOB=COD=60，求证：AC=BD；APB=60 度；（2）如图，在AOB 和COD 中，若 OA=OB，OC=OD，AOB=COD=，则 AC 与 BD 间的等
6、量关系式为AC=BD；APB 的大小为 ；解：（1）AOB=COD=60 ，AOB+BOC=COD+ BOC 即：AOC=BOD又OA=OB， OC=OD，AOCBODAC=BD由得：OAC=OBD，AEO=PEB ，APB=180（BEP+OBD） ，AOB=180（OAC+AEO ） ，APB=AOB=60（2）AC=BD，5、如图 1，在ABC 中，ACB 为锐角，点 D 为射线 BC 上一点，连接 AD，以 AD 为一边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF（1）如果 AB=AC，BAC=90，当点 D 在线段 BC 上时（与点 B 不重合） ，如图 2，线段 CF、BD 所在直线的位置
7、关系为垂直，线段 CF、 BD 的数量关系为相等；当点 D 在线段 BC 的延长线上时，如图 3，中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果 ABAC，BAC 是锐角，点 D 在线段 BC 上，当ACB 满足什么条件时，CF BC（点C、F 不重合） ，并说明理由证明：（1）正方形 ADEF 中，AD=AF，BAC=DAF=90，BAD=CAF ，又AB=AC，DABFAC，CF=BD，B=ACF，ACB+ACF=90 ，即 CFBD当点 D 在 BC 的延长线上时的结论仍成立由正方形 ADEF 得 AD=AF，DAF=90 度BAC=90，DAF=BAC ，DAB=FAC，又AB=AC，D
8、ABFAC，CF=BD，ACF=ABDBAC=90，AB=AC，ABC=45，ACF=45，BCF= ACB+ACF=90 度即 CF BD（2）当ACB=45时，CF BD（如图） 理由：过点 A 作 AGAC 交 CB 的延长线于点 G，则GAC=90，ACB=45，AGC=90ACB，AGC=9045=45，ACB=AGC=45，AC=AG，DAG=FAC（同角的余角相等） ，AD=AF ，GADCAF，ACF=AGC=45，BCF= ACB+ACF=45+45=90，即 CFBC6、已知ABC 为等边三角形，点 D 为直线 BC 上的一动点（点 D 不与 B、C 重合） ，以 AD 为
9、边作菱形ADEF（A、D、E、F 按逆时针排列） ，使DAF=60，连接 CF（1）如图 1，当点 D 在边 BC 上时，求证：BD=CF； AC=CF+CD ；（2）如图 2，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，结论 AC=CF+CD 是否成立？若不成立，请写出 AC、CF、CD 之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图 3，当点 D 在边 CB 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出 AC、CF 、CD 之间存在的数量关系（1）证明：菱形 AFED， AF=AD，ABC 是等边三角形， AB=AC=BC，BAC=60=DAF，BACDAC=DAFDAC ， 即BA
10、D=CAF，在BAD 和CAF 中，BADCAF， CF=BD，CF+CD=BD+CD=BC=AC， 即BD=CF ，AC=CF+CD（2）解：AC=CF+CD 不成立， AC、CF 、CD 之间存在的数量关系是 AC=CFCD，理由是：由（1）知：AB=AC=BC，AD=AF，BAC=DAF=60，BAC+DAC= DAF+ DAC， 即BAD=CAF，在BAD 和CAF 中， BADCAF，BD=CF，CF CD=BDCD=BC=AC，即 AC=CFCD （3）AC=CDCF 理由是：BAC=DAF=60， DAB=CAF ，在BAD 和CAF 中，BADCAF（SAS） ，CF=BD，C
11、DCF=CD BD=BC=AC，即 AC=CDCF 7、 （1）如图（1） ，已知：在ABC 中，BAC=90 ，AB=AC，直线 m 经过点 A，BD直线 m，CE直线 m，垂足分别为点 D、E证明：DE=BD+CE（2）如图（2） ，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB=AC，D、A、E 三点都在直线 m 上，并且有BDA=AEC=BAC=，其中 为任意锐角或钝角请问结论 DE=BD+CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由（3）拓展与应用：如图（3） ，D 、E 是 D、A、E 三点所在直线 m 上的两动点（D、A、E 三点互不重合） ，点 F 为BAC 平分线上的
12、一点，且ABF 和ACF 均为等边三角形，连接 BD、CE，若BDA=AEC=BAC，试判断DEF 的形状证明：（1）BD直线 m， CE直线 m，BDA=CEA=90， BAC=90，BAD+ CAE=90，BAD+ABD=90，CAE=ABD，在ADB 和CEA 中，ADBCEA（AAS ） ，AE=BD，AD=CE， DE=AE+AD=BD+CE；（2）成立BDA=BAC=， DBA+BAD=BAD+CAE=180 ， CAE= ABD ，在ADB 和CEA 中，ADBCEA（AAS ） ，AE=BD，AD=CE，DE=AE+AD=BD+CE；（3）DEF 是等边三角形由（2）知，ADB
13、CEA，BD=AE，DBA=CAE，ABF 和 ACF 均为等边三角形， ABF=CAF=60，DBA+ABF=CAE+CAF， DBF=FAE，BF=AF在DBF 和 EAF 中，DBFEAF（SAS ） ，DF=EF，BFD=AFE，DFE=DFA+AFE= DFA+BFD=60，DEF 为等边三角形8、如图 1，已知矩形 ABED，点 C 是边 DE 的中点，且 AB=2AD（1）判断ABC 的形状，并说明理由；（2）保持图 1 中ABC 固定不变，绕点 C 旋转 DE 所在的直线 MN 到图 2 中（当垂线段 AD、BE 在直线 MN 的同侧） ，试探究线段 AD、BE 、DE 长度之
14、间有什么关系？并给予证明；（3）保持图 2 中ABC 固定不变，继续绕点 C 旋转 DE 所在的直线 MN 到图 3 中的位置（当垂线段AD、BE 在直线 MN 的异侧） 试探究线段 AD、BE 、DE 长度之间有什么关系？并给予证明解：（1）ABC 是等腰直角三角形理由如下：在ADC 与BEC 中，AD=BE，D= E=90，DC=EC，ADCBEC（SAS） ，AC=BC，DCA=ECBAB=2AD=DE ，DC=CE，AD=DC，DCA=45，ECB=45，ACB=180DCAECB=90ABC 是等腰直角三角形（2）DE=AD+BE 理由如下：在ACD 与CBE 中，ACD=CBE=90BCE，ADC=BEC=90 ，AC=BC ，ACDCBE（AAS ） ，AD=
