一元函数的连续性

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1、第二章 一元函数的连续性2.1 连续函数的基本性质及其有关证明题要点 要证 在 上连续, 只要证 .)(xfI 00)(lim,0xfIxx常用方法: (1) 利用定义: , ,当 时, ;00 0f(2) 利用左右极限: ;)(xffxf(3) 利用序列的语言: ;00)(,nn有(4) 利用邻域的语言: , ,使得 ;00, xffxf(5) 利用连续函数的四则运算性质.例 1 设 是 上的单调递增函数,其值域为 .证明 在 上连续.)(xfbabfa,)(xfba,证明（反证法）假若结论不成立,即存在 使得 在 不连续. 由于 是单调x,0)(0)(f递增的, 是第一类间断点（P73，E

2、x 6）.因此 与 中至0x 0xff 00(xf少有一个大于 0（否则若 , ,则0xff )(,而 是单调递增的, ,)(00xfxf )( )(00xff矛盾!）f不妨设 ,即 .从而 之间的任何数都不0xf 0xff 0xf与在 之内.再由 是单调递增的,矛盾!故 在 上连续.ba,)( )(fba,例 2 证明 Riemann 函数 ,在无理点上连续,在有为 无 理 数当 为 既 约 分 数当 xqqpxR,00,1)(理点上间断.证明 （1）先证 在有理点上间断 .设 为有理点, （为既约分数, ）.则)(00 0q.由无理点集在实数集中的稠密性,存在无理点列 ,但0)(0qxR

3、时当 nxn0（对任意正整数 ）,即 不收敛到 .所以 在010qn n)(nR)(0)(xR有理点处不连续.（2）再证 在 内无理点上连续.设为 无理点,则 . ,由)(xR1,010x0)(xR的定义可知, 的点 在 上最多只有有限多个 (事实上,要 的 必须)(, (x为有理点.设 ,则 , .可见满足此不等式的有理数 最多只有qp)(pqqp有限个).分别记为 .令 ,则在nx,21L0,mi 1010xxnnL内不含有 的点,即有 .所以 在 内无),(0x)(RR)(1,理点上连续. （3） 以 1 为周期.事实上, 为无理数, ;若 , , 为互)(Rx10)(xqp0质整数.则

4、 ,而 互质整数,所以 也为有理数 ,所以qpxq与.故 以 1 为周期.)()(（4） 在一切无理点上连续.xR注 ,因 为既约分数且 ,只能有 .1)0(qp0q1,qp例 3 若 在 内有定义,且 与 在 内都是单调递增的,试证 在)(xf0)(xfexf0)(xf内连续.1,0证明 (1)任取 ,因 在 内单调递增知,当 时,有01xf10, , (1),xfexffeff0即 单调递减 .故对任意 , 与 均存在.)(f x0x)(0f(2)由 单调递增知,当 时,有 .令 时,有xe0)fex0)0(0xfe,即 (2).)(0f0)(xff(3) 在(1)式中令 得 (3),由(

5、2)(3)知 .类似可证x(0f )(0xff.所以 在 处连续.由 的任意性, 在 内处处连续.)(0fxf )fxxx1,例 4 设 在 上只有第一类间断点 ,且 有 .)(fba, bay,2)(yfxyf证明 在 上连续.x,证明 任取 ,当 时,由条件 .0xba0x2)(00xfxf令 ,则 , ,2)(ff即 (1).00)(xff当 时,由条件 ,令 ,则 ,bx2)(0xf002x,即 (2).2)(00fff00)(ff故再设 且 ,则有 .xa0121x)(2121fx在此式中令 , ,则 (3).020)(0fff由(1)(2)(3)三式得出 .所以 在 处连续.)(0

6、xxf )(xf0由 的任意性, 在 内处处连续.0x)ba,例 5 设 在 上有定义 , 且)(f,)(1) 具有介值性即(若 ,则存在 介于 与 之间,使得 );21(xff1x2)(f(2) 对任意有理数 ,集合 为闭集. 试证 在 上连续.rr)(f,)证明（反证法）若 在某一点 处不连续,则存在 ,使得 , ,虽然 ,)(xf00nnxnxn10但 ,即 ,但 在 之外.0fxfn 时当 nn nxf0,ff从而在 之外至少一侧( 例如在右侧) 含有 的无穷多项,0,xf n满足 .在 内任取一有理数 ,由介值性,对每一 ,0)(xfkn 00,xff rknx存在 介于 与 之间,

7、使得 .因 ,所以 ,0kn L,21kr0xkn0k时当 这表明 是 的一个聚点.xrf据已知条件(2)知, ,即 ,这与 矛盾!xf0rxf0rxf0例 6 证明(1)若函数 , 连续,则 , 也连续.)(fggfminxgf,ma(2)设 , , 在 上连续,令 的值等于三值 , , 中介于其)(1xf23xba)(x)(1xf2)(3他二值之间的那个值. 证明 在 上连续.)(xfba,(3) 令 , 为实函数 ,时当 时当 时当 nxxun )(xf试证明 连续当且仅当 对任意固定的 ,都是 的连续函数.)(f fug)(nx证明 (1) , ;2xffx2gfxf(2) ;ff32

8、1)()( ff321maxff31,mi(3) (由（2）)xugnnx)(nx,n,)(ff,maf,i)(2ffnff.2由连续函数的运算性质即知它们连续.例 7 设 在 上连续. 证明 ， 在 上连续.)(xfba, tfxMxtasup)( tfmxtain)(b,证明 由连续函数在闭区间上必取上,下确界可知 , 在 上处处有定义.又因上,确界随取值区间扩大而增大知, 单调递增,故每点的单侧极限存在 .)(任取 ,只需证 (1).0xba000xx tfxtasup)(由 递增,有 .)(M0)(M又 有 ,0xfsup0xtfxta所以 .故(1)式左等式成立.00xa下用反证法证

9、明 .因 单调递增, .)()(x00xM假设 ,则取充分小的 ,使得 .00xM0于是对任意 ,有 .由上确界的定义,存在0xtfxxtasup)(使得 (2).xat,0f tf但在 上. .所以(2)式中的 ,即存在 , ,当000sup)(xtfxtat00时,有 ,即 在 处不连续,矛盾!所以即, 在 上连续, 0xt0xft)(xf0 )(xMba在 上连续可类似证明.)(mba例 8 设 在 内对一切 都有 ,且 在 与 处连续.xf(,)x2)(xf)(f0x1证明 为一常数 .)证明 （1） ,由条件, .又 在 处0x Lnxfxffx214121)( )(xf1连续且当

10、时， ,故 .n21n limli)(2121ffff nnn（2）当 时, (由(1), ).0x)(2fxf 02x（3）当 时 , 因 在 处连续. .010li) ffffx 故 常数.1)(fx例 9 设 是 上的连续函数,且 在 上是单调的. 证明 在 上也是单)(fbaxfba, )(xfba,调的.证明 若 在 上恒有 或恒有 ,则由 单调及 可推)(xf,0)(f0)(ffxff出 单调.f若 在 上既取正值又取负值.不妨设 ,满足 , .由连)(xba, 21x0)(1f)(2xf续函数的介值性定理,存在 ,使得 .从而 ,这201x0)(f与 是单调的矛盾!xf例 10

11、设 在 上连续,且对任意 ,存在 使得 .)(fbabaxbay,xfyf21证明存在 在使得 .,0)(f证明 任取 ,则存在 使得 .0xx,1012xff又存在 ，使得 .ba22ff如此下去,存在数列 ,使得 .baxn12nnxff ),32(L从而有 .显然有 .021ffn0x)(因 是有界数列,故存在收敛子列 .bax kn设 ,则由 在 的连续性得 ,即 ,故 .knlim)(xf0limknxff0)(f例 11 设 为连续函数,且 , , ,试证 .10,:f 0)(f1)(fxf)(xf)(证明 (1)先证 为单射. 设 且 ,则 ,即 .)(x1,21x2x2121所

12、以 为单射 .f(2) 再证 是严格单调的.若 不严格单调,则存在)(x)(xf 321x使 , 或. ,21f3)21f)(f下证情形 1,情形 2 可类证.对任意 满足 .231maxx由 连续及介值性定理 ,存在 ， 使 .但这与)(xf 21,x2,21)(ff为单射相矛盾 !故 严格单调.)(xf(3)又 , ,故 必是严格单调递增的.0)(f1(4)若 ,则 ,所以 ,进而 ;x)(ff)(xfxf)(若 ,则 ,所以 ,进而 .综上可知 .)(fx xf)(例 12 设 是 上的增函数,但不一定连续,如果 , ,试证存在)(fba af)(bf)(使得 .bax,00x证明 令

13、.因 ,知 , .又 有上界,由确界原理,fMf)(M存在.令 .supxsup0(1)若 ,则 .若 ,则结论得证;若 ,则 .当 时,令00)(fbf)( bf)(M0x,则 .又 是增函数,从而x0x00x所以 ,故 . )(f0)(f(2)若 ,则存在 ,使 且 .因 , .令 ,则Mx0xn0xn0limxnMnnxf)(,从而有 .又 , ,所以 .而n 0)(ff)(f00是增函数 ,进而 ,矛盾！综上可知存在 使得 .)(xf )(0xbax,)(xf练习 设 是 上的增函数,且 , ,试证存在 使得 .)(f10)(f1)(f1,020)(f提示 构造集合 ,令 ，类似例 12 来证明.2xfMMsup02.2 一致连续性一、利用一致连续的定义及其否定形式证题要点 设 在 上有定义( 为开,闭,半开半闭有限或无限区间) ,则)xfII(1) 在 上一致连续 , ,当 且 时,有 .(0Ixxf(2) 在 上非一致连续 , , 虽 ,但)xfI x0, , ( )虽 , 但 .01nIxn L21nxn1 0 nf特别,若 , ( )虽 , , aimli但 ( ),则可断定 在 上非一致连续 .0 nxf,(xfI(3)若 在 上满足利