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1、2007 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(文科)本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,第 I 卷第 I 至第 2 页,第II 卷第 3 至第 4 页全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟考生注意事项:1答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致2答第 I 卷时,每小题选出答案后,用 2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号3答第 II 卷时,必须用 毫米黑色黑水签字笔在答题卡上书写在试题卷上作答无0.5
2、效4考试结束,监考员将试题和答题卡一并收回参考公式:如果事件 互斥,那么 球的表面积公式AB,()()PP24SR如果事件 相互独立,那么 球的体积公式, 1122nL3V其中 表示球的半径()62331124nL第 I 卷(选择题共 55 分)一、选择题:本大题共 11 小题,每小题 5 分,共 55 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1若 , ,则 ()21Ax230BxABI 312椭圆 的离心率为()24xy 332233等差数列 的前 项和为 ,若 , ,则 ()nanS21a34S 1210864下列函数中,反函数是其自身的函数为() , ()fx), 3()()
3、fx, , ,()e()xf, , 1()fx(0),5若圆 的圆心到直线 的距离为 ,则 的值为(240yya2a) 或 或 或 或1232006设 , , 均为直线,其中 在平面 内,则“ ”是“ 且 ”的tmnmn, llmln()充分不必要条件 必要不充分条件充分必要条件 既不充分也不必要条件7图中的图象所表示的函数的解析式为() 312yx(02)x yx()x 102 8设 ,且 , , ,则 的大小alog(1)amlog(1)anlog(2)apmnp, ,关系为() nppmn9如果点 在平面区域 上,点 在曲线 上,那么P201xy Q22()1xy的最小值为()Q 324
4、15212110把边长为 的正方形 沿对角线 折成直二面角,折成直二面角后,在ABCD四点所在的球面上, 与 两点之间的球面距离为()ABC, , , 22311定义在 上的函数 既是奇函数,又是周期函数, 是它的一个正周期若将方R()fxT程 在闭区间 上的根的个数记为 ,则 可能为()()0fxT, n0 1 3 532yx1 2O第 7 题图2007 年普通高等学校招生全国统一考试(安微卷)数学(文科)第 II 卷(非选择题共 95 分)注意事项:请用 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上书写作答无效0.5二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填
5、在答题卡的相应位置12已知 ,则 的23501(1)xaxaxx024135()()aa值等于 13在四面体 中, , , , 为 的中点, 为 的OABCurOBbrCcurDBEAD中点,则 (用 表示)Eur a, ,14在正方体上任意选择两条棱,则这两条棱相互平行的概率为 15函数 的图象为 ,如下结论中正确的是 (写出()3sin2fxx所有正确结论的编号) 图象 关于直线 对称;C12图象 关于点 对称;03,函数 在区间 内是增函数;()fx512,由 的图角向右平移 个单位长度可以得到图象 3siny3C三、解答题:本大题共 6 小题,共 79 分解答应写出文字说明、证明过程或
6、演算步骤16 (本小题满分 10 分)解不等式 (1)(si2)0xx17 (本小题满分 14 分)如图,在六面体 中,四边形 是边长为 2 的1ABCDABCD正方形,四边形 是边长为 1 的正方形, 平面1 1, 平面 , 1AB2()求证: 与 共面, 与 共面1CA1B()求证:平面 平面 ;1DA B CD1A1BCD()求二面角 的大小(用反三角函数值表示)1ABC18 (本小题满分 14 分)设 是抛物线 的焦点F2:4Gxy(I)过点 作抛物线 的切线,求切线方程;(0)P,(II)设 为抛物线 上异于原点的两点,且满足 ,延长 , 分别AB, 0FABurgAFB交抛物线 于
7、点 ,求四边形 面积的最小值CD, ABC19 (本小题满分 13 分)在医学生物试验中,经常以果蝇作为试验对象一个关有 6 只果蝇的笼子里,不慎混入了两只苍蝇(此时笼内共有 8 只蝇子:6 只果蝇和 2 只苍蝇) ,只好把笼子打开一个小孔,让蝇子一只一只地往外飞,直到两只苍蝇都飞出,再关闭小孔(I)求笼内恰好剩下 1 只果蝇的概率;(II)求笼内至少剩下 5 只果蝇的概率20 (本小题满分 14 分)设函数 , ,232()cos4incos44xfxtttxR其中 ,将 的最小值记为 1t f()g(I)求 的表达式;()g(II)讨论 在区间 内的单调性并求极值t(1),21 (本小题满
8、分 14 分)某国采用养老储备金制度公民在就业的第一年就交纳养老储备金,数目为 ,以后每年1a交纳的数目均比上一年增加 ,因此,历年所交纳的储备金数目 是一个公(0)d 2L中差为 的等差数列与此同时,国家给予优惠的计息政策,不仅采用固定利率,而且计算d复利这就是说,如果固定年利率为 ,那么,在第 年末,第一年所交纳的储备金()rn就变为 ,第二年所交纳的储备金就变为 , 以 表示到第 年末11()nar 22(1)arLnT所累计的储备金总额()写出 与 的递推关系式;nT1(2)()求证: ,其中 是一个等比数列, 是一个等差数列nABnAnB2007 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽
9、卷)数学(文史)参考答案一、选择题:本题考查基本知识的基本运算每小题 5 分,满分 55 分1 2 3 4 5 67 8 9 10 11二、填空题:本题考查基本知识和基本运算每小题 4 分,满分 16 分12 13 14 155612abc31三、解答题16本小题主要考查三角函数的基本性质,含绝对值不等式的解法,考查基本运算能力本小题满分 10 分解:因为对任意 , ,所以原不等式等价于 xRsin20x310x即 , , ,故解为 3131320所以原不等式的解集为 0x17本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识,考查空间想象能力和思维能力,应用
10、向量知识解决立体几何问题的能力本小题满分 14 分解法 1(向量法):以 为原点,以 所在直线分别为 轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系D1ACD中 xyz如图,xyz则有 1111(20)()(02)()(2)(0)(2)ABCABCD中中()证明: 1 0Durururr中1CDr中与 平行, 与 平行,A 1Br于是 与 共面, 与 共面1A BCD1A1BCDxy()证明: , ,1(02)0DACur中 (20)0DBACur中, 1r B与 是平面 内的两条相交直线1平面 AC D又平面 过 1平面 平面 1B()解: 1 1(02)(2)(02)ACururur中设 为平面 的法向
11、量,(xyz中n1, 11r 11Bxyzrn于是 ,取 ,则 , 0yz12(0)中设 为平面 的法向量,22()x中mC, 10Byzur 12yzurm于是 ,取 ,则 , 20x212(0)中cos5中nm二面角 的大小为 1ABC1arcos5解法 2(综合法):()证明: 平面 , 平面 1D 1A1DABC, ,平面 平面 1 于是 , C 1设 分别为 的中点,连结 ,EF中DAC中 1EFAC中有 11D , A B CD1A1BCDMOEF于是 1ACEF由 ,得 ,DAC故 , 与 共面1 1过点 作 平面 于点 ,BOBDO则 ,连结 ,11AECF中 EF中于是 ,
12、, 1 , 11BD OA, C FC所以点 在 上,故 与 共面1B()证明: 平面 , ,D A1DAC又 (正方形的对角线互相垂直) ,BAC与 是平面 内的两条相交直线,11平面 又平面 过 , 平面 平面 1A 1AC1BD()解: 直线 是直线 在平面 上的射影, , DBACB根据三垂线定理,有 1过点 在平面 内作 于 ,连结 ,A1AMMO中则 平面 ,1BC于是 ,1BO中所以, 是二面角 的一个平面角A1根据勾股定理,有 1156CB中,有 , , , 1OMB 123O2M103A103CM, ,221cos 5AMC 1arcos5AMC二面角 的大小为 1Barco
13、s18本小题主要考查抛物线的方程与性质,抛物线的切点与焦点,向量的数量积,直线与抛物线的位置关系,平均不等式等基础知识,考查综合分析问题、解决问题的能力本小题满分 14 分解:(I)设切点 由 ,知抛物线在 点处的切线斜率为 ,故所求切204xQ, xyQ02x线方程为 200()y即 204x因为点 在切线上()P,所以 , , 204x1604x所求切线方程为 y(II)设 , 1()Ax, 2()Cx,由题意知,直线 的斜率 存在,由对称性,不妨设 k0k因直线 过焦点 ,所以直线 的方程为 (0)F, A1yx点 的坐标满足方程组AC, 214yx,得 ,240xk由根与系数的关系知
14、124.xk,222221111()()()4()ACyxxk因为 ,所以 的斜率为 ,从而 的方程为 BDkBD1y同理可求得 224()4122218(1)1()32ABCDkS k当 时,等号成立所以,四边形 面积的最小值为 kABCD219本小题主要考查排列、组合知识与等可能事件、互斥事件概率的计算,运用概率知识分析问题及解决实际问题的能力本小题满分 13 分解:以 表示恰剩下 只果蝇的事件 kAk(016)kL, , ,以 表示至少剩下 只果蝇的事件 mBm, , ,可以有多种不同的计算 的方法()kPA方法 1(组合模式):当事件 发生时,第 只飞出的蝇子是苍蝇,且在前 只飞8k7k出的蝇子中有 1 只是苍蝇,所以 1728()kkC方法 2(排列模式):当事件 发生时,共飞走 只蝇子,其中第 只飞出的蝇子kA8k是苍蝇,哪一只?有两种不同可能在前 只飞出的蝇子中有 只是果蝇,有7k6种不同的选