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1、导数及其应用强化练习题型一导数意义及应用例 1-1 在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 在曲线 C：yx 310x3 上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2，则点 P 的坐标为_答案(1)( 2,15)解析(1)因为 y3x 210，设 P(x，y)，则由已知有 3x2102，即 x24，x 2，又点 P 在第二象限，x 2.则 y( 2)310(2)3 15，点 P 坐标为(2,15) 例 1-2 (2013 福建)已知函数 f(x)xaln x(aR)(1)当 a2 时，求曲线 yf(x)在点 A(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数 f(x)的极值解函数 f
2、(x)的定义域为(0，) ，f ( x)1 .ax(1)当 a2 时，f (x)x2ln x，f(x)1 (x0)，2x因而 f(1)1，f(1) 1，所以曲线 yf(x )在点 A(1，f(1)处的切线方程为 y1 (x1)，即 xy20.(2)由 f(x) 1 ，x0 知：ax x ax当 a0 时，f(x )0，函数 f(x)为(0，) 上的增函数，函数 f(x)无极值；当 a0 时，由 f(x) 0，解得 xa.又当 x(0 ，a)时，f(x)0，从而函数 f(x)在 xa 处取得极小值，且极小值为 f(a)aaln a，无极大值综上，当 a0 时，函数 f(x)无极值；当 a0 时，
3、函数 f(x)在 xa 处取得极小值 aaln a，无极大值变式训练 1(1)(2013湖北)直线 y2x b 是曲线 yln x (x0)的一条切线，则实数b_.答案ln 21解析切线的斜率是 2，根据导数的几何意义可以求出切点的横坐标，进而求出切点的坐标，切点在切线上，代入即可求出 b 的值y ，令 2，得 x ，故切点为1x 1x 12，代入直线方程，得 ln 2 b，所以 bln 21.(12，ln 12) 12 12题型二利用导数研究函数的单调性例 2 已知函数 f(x)x 2aln x.(1)当 a2 时，求函数 f(x)的单调递减区间；(2)若函数 g(x)f( x) 在1 ，)
4、 上单调，求实数 a 的取值范围2x审题破题(1)直接根据 f( x)0 时，求函数 f(x)的单调区间解(1)函数的定义域为( ，2)依题意得 f(x )a .1x 2因此过(1，f(1)点的切线的斜率为 a1.又 f(1)a，所以过点(1 ，f(1)的切线方程为 ya(a1)(x1)，即(a1)xy 10.又已知圆的圆心为(1,0)，半径为 1，依题意，有 1，解得 a1.|1 a 1|a 12 1(2)f(x)ln(2 x)ax 的定义域为( ，2)，f(x)a .因为 a0，所以 2 0，解得 x0，1x所以 f(x)在区间1，e上为增函数所以当 x1 时，f( x)取得最小值 ；12
5、当 xe 时，f(x)取得最大值 e21.12(2)证明设 h(x)g( x)f( x) x3 x2ln x，x1，)，23 12则 h(x) 2x 2x 1x 2x3 x2 1x .x 12x2 x 1x当 x(1 ，)时，h(x )0，h(x)在区间1 ，)上为增函数，所以 h(x)h(1) 0.16所以对于 x(1，)，g(x )f(x)成立，即 f(x)的图象在 g(x)的图象的下方变式训练 3(2013广东)设函数 f(x)(x1)e xkx 2(kR)(1)当 k1 时，求函数 f(x)的单调区间；(2)当 k 时，求函数 f(x)在0 ，k上的最大值 M.(12，1解(1)当 k
6、1 时，f(x )(x1)e xx 2，f(x )e x(x 1)e x2x x (ex2)令 f(x )0 得 x10，x 2ln 2.列表如下：x (，0) 0 (0，ln 2) ln 2 (ln 2，)f(x ) 0 0 f(x) 极大值 极小值 由表可知，函数 f(x)的递减区间为(0，ln 2)，递增区间为(，0)，(ln 2，) (2)f(x) e x(x 1)e x2kxx(e x2k) ， g(1)1ln 20， 0 即 kln 2k，12f(x)在(0，ln 2k )上单调递减，在(ln 2k，k)上单调递增，f(x)在0，k 上的最大值应在端点处取得而 f(0)1，f( k
7、)( k1)e k k3，下面比较 f(0)与 f(k)的大小令 h(k)f(k) f(0) (k 1)e kk 31，则 h(k) k(e k3k )，再令 (k)e k 3k，则 (k)e k30 ，当 k(x 0,1)时，(k )0，h(1)0.(12) 12 e 78h(k)0 在 上恒成立，当且仅当 k1 时取“” (12，1综上，函数 f(x)在0，k上的最大值 M(k1)e kk 3.题型四导数的综合应用例 4 已知函数 f(x)axsin x (a0)，且 f(x)在区间 上的最大值为 .32 0，2 32(1)求函数 f(x)的解析式；(2)判断函数 f(x)在(0 ，) 内
8、零点个数，并加以证明审题破题(1)通过求最值可确定 a 的值；(2)函数 f(x)的零点个数可以利用函数单调性、极值结合函数草图确定解(1)f(x) asin xaxcos xa(sin xx cos x)x 时，sin xx cos x0.(0，2)又 a0，f(x)0，f(x )在 上是增函数0，2则 f(x)maxf a ，a1，(2) 2 32 32所以 f(x)xsin x .32(2)函数 f(x)在区间 (0，) 内有且只有两个零点证明如下：由(1)知，f(x) xsin x ，32从而 f(0) 0.32 (2) 2 32由(1)知，f(x) 在 上是增函数，且 f(x)的图象
9、连续不间断，0，2f(x)在区间 上有唯一零点；(0，2)当 x 时，令 g(x)f(x)sin xx cos x，2，)由 g 10， g()g(m) 0，即 f(x)0，(2，m)从而 f(x)在 内单调递增，(2，m)故当 x 时，f(x )f 0.2，m (2) 32故 f(x)在 上无零点；2，m当 x(m ，) 时，有 g(x)0，f()0 成立1a规范解答解(1)由题意，g(x )ln x ，x0，1xg(x ) ，且 x0，x 1x2令 g(x) 0，得 x1，2 分当 x(0,1)时，g(x)0.故(1，) 是 g(x)的单调增区间，因此，x1 是 g(x)的唯一极值点，且为
10、极小值点，从而是最小值点所以最小值为 g(1)1.4 分(2)由(1)知 g ln x x ，(1x)设 h(x)g(x) g 2ln xx ，(1x) 1x则 h(x) ，且 x0.6 分x 12x2当 x1 时，h(1)0，即 g(x)g ；(1x)当 x(0,1)(1，)时，h(x)h(1)0，即 g(x)g ，(1x)当 x1 时，h( x)0 成立g(a) 1 .1a 1a则 ln a 1 ，即 ln a1，1a 1a0ae.故实数 a 的取值范围是(0，e)12 分评分细则(1)g(x )的单调区间写成(0,1，1，) 的不扣分；只求出极值没有写出最值的扣 1 分；(2)a 的取值范围写成不等式的不扣分；没有下结论的扣 1 分阅卷老师提醒(1)研究函数相关问题，树立定义域优先意识(2)树立分类讨论，转化化归的思想意识，善于根据条件特征构造函数，重视函数、不等式(方程) 间的转化(3)对于不等式恒成立问题，善于转化为 g(a) g(x)min，分离参数或构造关于参数的1a不等式，达到求解目的
