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1、导数及其应用强化练习题型一导数意义及应用例 1-1 在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 在曲线 C:yx 310x3 上,且在第二象限内,已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2,则点 P 的坐标为_答案(1)( 2,15)解析(1)因为 y3x 210,设 P(x,y),则由已知有 3x2102,即 x24,x 2,又点 P 在第二象限,x 2.则 y( 2)310(2)3 15,点 P 坐标为(2,15) 例 1-2 (2013 福建)已知函数 f(x)xaln x(aR)(1)当 a2 时,求曲线 yf(x)在点 A(1,f(1)处的切线方程;(2)求函数 f(x)的极值解函数 f
2、(x)的定义域为(0,) ,f ( x)1 .ax(1)当 a2 时,f (x)x2ln x,f(x)1 (x0),2x因而 f(1)1,f(1) 1,所以曲线 yf(x )在点 A(1,f(1)处的切线方程为 y1 (x1),即 xy20.(2)由 f(x) 1 ,x0 知:ax x ax当 a0 时,f(x )0,函数 f(x)为(0,) 上的增函数,函数 f(x)无极值;当 a0 时,由 f(x) 0,解得 xa.又当 x(0 ,a)时,f(x)0,从而函数 f(x)在 xa 处取得极小值,且极小值为 f(a)aaln a,无极大值综上,当 a0 时,函数 f(x)无极值;当 a0 时,
3、函数 f(x)在 xa 处取得极小值 aaln a,无极大值变式训练 1(1)(2013湖北)直线 y2x b 是曲线 yln x (x0)的一条切线,则实数b_.答案ln 21解析切线的斜率是 2,根据导数的几何意义可以求出切点的横坐标,进而求出切点的坐标,切点在切线上,代入即可求出 b 的值y ,令 2,得 x ,故切点为1x 1x 12,代入直线方程,得 ln 2 b,所以 bln 21.(12,ln 12) 12 12题型二利用导数研究函数的单调性例 2 已知函数 f(x)x 2aln x.(1)当 a2 时,求函数 f(x)的单调递减区间;(2)若函数 g(x)f( x) 在1 ,)
4、 上单调,求实数 a 的取值范围2x审题破题(1)直接根据 f( x)0 时,求函数 f(x)的单调区间解(1)函数的定义域为( ,2)依题意得 f(x )a .1x 2因此过(1,f(1)点的切线的斜率为 a1.又 f(1)a,所以过点(1 ,f(1)的切线方程为 ya(a1)(x1),即(a1)xy 10.又已知圆的圆心为(1,0),半径为 1,依题意,有 1,解得 a1.|1 a 1|a 12 1(2)f(x)ln(2 x)ax 的定义域为( ,2),f(x)a .因为 a0,所以 2 0,解得 x0,1x所以 f(x)在区间1,e上为增函数所以当 x1 时,f( x)取得最小值 ;12
5、当 xe 时,f(x)取得最大值 e21.12(2)证明设 h(x)g( x)f( x) x3 x2ln x,x1,),23 12则 h(x) 2x 2x 1x 2x3 x2 1x .x 12x2 x 1x当 x(1 ,)时,h(x )0,h(x)在区间1 ,)上为增函数,所以 h(x)h(1) 0.16所以对于 x(1,),g(x )f(x)成立,即 f(x)的图象在 g(x)的图象的下方变式训练 3(2013广东)设函数 f(x)(x1)e xkx 2(kR)(1)当 k1 时,求函数 f(x)的单调区间;(2)当 k 时,求函数 f(x)在0 ,k上的最大值 M.(12,1解(1)当 k
6、1 时,f(x )(x1)e xx 2,f(x )e x(x 1)e x2x x (ex2)令 f(x )0 得 x10,x 2ln 2.列表如下:x (,0) 0 (0,ln 2) ln 2 (ln 2,)f(x ) 0 0 f(x) 极大值 极小值 由表可知,函数 f(x)的递减区间为(0,ln 2),递增区间为(,0),(ln 2,) (2)f(x) e x(x 1)e x2kxx(e x2k) , g(1)1ln 20, 0 即 kln 2k,12f(x)在(0,ln 2k )上单调递减,在(ln 2k,k)上单调递增,f(x)在0,k 上的最大值应在端点处取得而 f(0)1,f( k
7、)( k1)e k k3,下面比较 f(0)与 f(k)的大小令 h(k)f(k) f(0) (k 1)e kk 31,则 h(k) k(e k3k ),再令 (k)e k 3k,则 (k)e k30 ,当 k(x 0,1)时,(k )0,h(1)0.(12) 12 e 78h(k)0 在 上恒成立,当且仅当 k1 时取“” (12,1综上,函数 f(x)在0,k上的最大值 M(k1)e kk 3.题型四导数的综合应用例 4 已知函数 f(x)axsin x (a0),且 f(x)在区间 上的最大值为 .32 0,2 32(1)求函数 f(x)的解析式;(2)判断函数 f(x)在(0 ,) 内
8、零点个数,并加以证明审题破题(1)通过求最值可确定 a 的值;(2)函数 f(x)的零点个数可以利用函数单调性、极值结合函数草图确定解(1)f(x) asin xaxcos xa(sin xx cos x)x 时,sin xx cos x0.(0,2)又 a0,f(x)0,f(x )在 上是增函数0,2则 f(x)maxf a ,a1,(2) 2 32 32所以 f(x)xsin x .32(2)函数 f(x)在区间 (0,) 内有且只有两个零点证明如下:由(1)知,f(x) xsin x ,32从而 f(0) 0.32 (2) 2 32由(1)知,f(x) 在 上是增函数,且 f(x)的图象
9、连续不间断,0,2f(x)在区间 上有唯一零点;(0,2)当 x 时,令 g(x)f(x)sin xx cos x,2,)由 g 10, g()g(m) 0,即 f(x)0,(2,m)从而 f(x)在 内单调递增,(2,m)故当 x 时,f(x )f 0.2,m (2) 32故 f(x)在 上无零点;2,m当 x(m ,) 时,有 g(x)0,f()0 成立1a规范解答解(1)由题意,g(x )ln x ,x0,1xg(x ) ,且 x0,x 1x2令 g(x) 0,得 x1,2 分当 x(0,1)时,g(x)0.故(1,) 是 g(x)的单调增区间,因此,x1 是 g(x)的唯一极值点,且为
10、极小值点,从而是最小值点所以最小值为 g(1)1.4 分(2)由(1)知 g ln x x ,(1x)设 h(x)g(x) g 2ln xx ,(1x) 1x则 h(x) ,且 x0.6 分x 12x2当 x1 时,h(1)0,即 g(x)g ;(1x)当 x(0,1)(1,)时,h(x)h(1)0,即 g(x)g ,(1x)当 x1 时,h( x)0 成立g(a) 1 .1a 1a则 ln a 1 ,即 ln a1,1a 1a0ae.故实数 a 的取值范围是(0,e)12 分评分细则(1)g(x )的单调区间写成(0,1,1,) 的不扣分;只求出极值没有写出最值的扣 1 分;(2)a 的取值范围写成不等式的不扣分;没有下结论的扣 1 分阅卷老师提醒(1)研究函数相关问题,树立定义域优先意识(2)树立分类讨论,转化化归的思想意识,善于根据条件特征构造函数,重视函数、不等式(方程) 间的转化(3)对于不等式恒成立问题,善于转化为 g(a) g(x)min,分离参数或构造关于参数的1a不等式,达到求解目的