《2011年高考总复习数学（大纲版）提能拔高限时训练：42 空间向量及其运算(b)（练习）+详细答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2011年高考总复习数学（大纲版）提能拔高限时训练：42 空间向量及其运算(b)（练习）+详细答案（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、提能拔高限时训练 42 空间向量及其运算（B）一、选择题1.平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中,M 为 AC 和 BD 的交点,若 =a, =b, 1BA1D=c,则下列式子中与 B1M 相等的是( )A1 1A.- a+ b+c B. a+ b+c21 21C. a- b+c D.- a- b+c解析: = +BMMB11= + （ + ）12ABC= - +A111D=c- a+ b.故选 A.2答案:A2.以下命题中正确的是( )A.若 = + ,则 P、A 、B 三点共线OP21A3OB.若a,b,c为空间的一个基底，则 a+b,b+c,c+a构成空间的另一个基底C.|（ab ）
2、 c|=|a|b|c|D.ABC 为直角三角形的充要条件是 =0C解析:根据“若 =m +n 且 m+n=1,则 P、A、B 三点共线”可知 A 错误;ODAOB若a、b、c为空间的一个基底,则 a、b、c 为不共线向量.假设 a+b 与 b+c 共面,则存在实数,使 a+b=(b+c),即 a=(-1)b+c.a 与 b、c 共面.假设不成立,即 a+b、b+c 不共面.可知 B 正确;根据向量数量积的定义,易知 C 不正确; ABC 为直角三角形的充要条件是ABC 三个内角A、B、C 中有一个是直角 .答案:B3.P 为正六边形 ABCDEF 外一点 ,O 为正六边形 ABCDEF 的中心
3、,则 + +PAB+ + + 等于( )PEPFDA. B.3 C.6 D.0OOPO解析:如图, + =2 ,同理 + = + =2 ,原PADPOBPECPFO式=6 .O答案:C4.若 a，b 为非零向量，则 ab=|a|b|是 a 与 b 平行的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析:因为 a,b 为非零向量，又 ab=|a|b|cosa,b=|a|b|,所以 cosa,b=1.所以a,b=0,即 a 与 b 平行；反之，若 a 与 b 平行，当a,b= 时，ab=-|a|b|a|b|,由此知应选 A.答案:A5.若 a=(2,2,0),
4、b=(1,3,z),a，b=60,则 z 等于( )A. B.- C. D.2222解析: ab=8，| a|b|=2 ，)10(zcosa,b= ,21)0(28| zz= .2答案:C6.已知 a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),c=(1,-x,2),若(a+b) c,则 x 等于( )A.4 B.-4 C. D.-621解析:a+b=(-2,1,x+3), (a+b)c,(a+b)c=0,即-21+1(-x)+(x+3)2=0.解得 x=-4.答案:B7.已知 a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值为( )A. B. C. D.555351解析: b
5、-a=(1+t,2t-1,0),|b-a|2=(b-a)2=(1+t)2+(2t-1)2+0=5t2-2t+2.当 t= 时,|b- a|min2= ,519|b-a|的最小值是 .53答案:C8.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,棱长为 a,M、N 分别为 A1B 和 AC 上的点,A 1M=AN= a,则32MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是( )A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定解析:如图,建立空间直角坐标系 B1xyz,则M(0, a, )、 N( , a,a),32a32 =( ,0, a).MN3a2 平面 BB1C1C.答案:B9.如图所示,ABCDEFGH
6、是棱长为 1 的正方体,P 在正方体的内部且 = +AP43B+ ,则 P 点到直线 AB 的距离为( )21AD3EA. B. C. D.6512863065解析:建系如题图,则 A(0,0,0)、B(1,0,0)、D(0,1,0) 、E(0,0,1). = + +AP43B2AD3E=( ,0,0)+(0, ,0)+(0,0, )1=( , , ).432又 为单位向量,AB 在 上的射影为 = .APBAPB43又| |= ,128)3(21)43(P 到 AB 的距离 d= .65| 22 ABPA答案:A10.在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M、N 分别为 A1
7、B1 和 BB1 的中点，那么直线 AM 与 CN 所成的角为 ( )A.arccos B.arccos23 0C.arccos D.arccos5 52解析:如图建立空间直角坐标系，把 D 点视作原点 O，分别沿 、 、DAC方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向，则 A（1，0，0） ，M（1， ，1） ，1D 2C（0，1，0） ，N（1，1， ）,2 =（1， ，1）-（1，0，0）=（0， ，1）,AM22=（1，1， ）-（0，1，0）=（1，0， ）.CN故 =01+ 0+1 = .A2又| |= ,AM251)(02| |= ,CN)(122设 为直线 AM 与 CN 所成的角
8、,cos= .52251| CNAM=arccos .52答案:D二、填空题11.已知空间四边形 ABCD，则 + + =_.ABCADCB解析: + + BD= + ( + )+ ABCDACAB= + + + BD= ( + )+ ( + )ABCDCA= + B= - =0.答案:012.在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，M 为 B1C1 的中点，设 =a， =b，ABD=c，用 a，b，c 表示下列向量：1A（1） =_；1AC（2） =_.DM解析:（1） = + + =a+c+b;1AB11C（2） = + = + + =a+c- b.1C21D121BC2答案:（1）a
9、+ b+c （2）a- b+c13.已知 A（1，0，1） ，B（4，4，6） ，C（2，2，3） ，D（10，14，17）,则这四个点是否共面：_（填“共面”或“ 不共面”）.解析: =(3,4,5), =(1,2,2), =(9,14,16), =2 +3 .AABACA、 B、C 、D 四点共面.答案:共面14.已知点 A(1,2,1),B(-1,3,4)、D(1,1,1),若 =2 ,则| |的值是_.PBPD解析:设点 P(x,y,z),则由 =2 ,得APB(x-1,y-2,z-1)=2(-1-x,3-y,4-z),即 解得,2816,zzyyxx.3,8,1zyx则| |=PD2
10、22)1()38()1(= .37答案:三、解答题15.四棱锥 SABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,侧面 SBC底面 ABCD.已知ABC=45,AB=2,BC=2 ,SA=SB= .23(1)证明 SABC;(2)求直线 SD 与平面 SAB 所成角的大小.解法一:(1)证明:作 SOBC,垂足为 O,连结 AO,由侧面 SBC底面 ABCD,得 SO底面 ABCD.因为 SA=SB,所以 AO=BO.又ABC=45,故AOB 为等腰直角三角形 ,AOBO.由三垂线定理,得 SABC.(2)由(1)知 SABC,依题设 ADBC,故 SAAD.由 AD=BC= ,SA= ,AO=
11、,得 SO=1,SD= .2321所以SAB 的面积 S1= AB .)1(AB连结 DB,得DAB 的面积 S2= ABADsin135=2.设 D 到平面 SAB 的距离为 h,由 VDSAB=VSABD,得 hS1= SOS2,3解得 h= .2设 SD 与平面 SAB 所成角为 ,则 sin= .12SDh所以直线 SD 与平面 SAB 所成的角为 arcsin .解法二:(1)证明:作 SOBC,垂足为 O,连结 AO,由侧面 SBC底面 ABCD,得 SO平面 ABCD.因为 SA=SB,所以 AO=BO.又ABC=45,所以AOB 为等腰直角三角形 ,AOOB.如图,以 O 为坐
12、标原点,OA 为 x 轴正向,建立空间直角坐标系 Oxyz,则 A( ,0,0),B(0, ,0),C(0,- ,0),S(0,0,1),22=( ,0,-1), =(0,2 ,0), =0,SACBSACB所以 SABC.(2)取 AB 的中点 E,E( , ,0).2连结 SE,取 SE 的中点 G,连结 OG,则G( , , ), =( , , ),421OG421=( , ,-1), =(- , ,0).SEAB =0, =0,OG 与平面 SAB 内两条相交直线 SE、AB 垂直,所以OG平面 SAB. 与 的夹角记为 ,SD 与平面 SAB 所成的角记为 ,则 与 OGDS互余.D
13、( ,-2 ,0), =(- ,2 ,1),22cos= ,sin= ,1| DSOG12所以直线 SD 与平面 SAB 所成的角为 arcsin .16.如图,四边形 PCBM 是直角梯形,PCB=90,PMBC,PM=1,BC=2,又 AC=1,ACB=120,ABPC,直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60.(1)求证:平面 PAC平面 ABC;(2)求二面角 MACB 的大小;(3)求三棱锥 PMAC 的体积.解法一:(1)证明:PCAB,PCBC,ABBC=B,PC平面 ABC.又 PC 平面 PAC,平面 PAC平面 ABC.(2)取 BC 的中点 N,则 CN=1,连结 AN、MN,PM CN,MN PC.从而 MN平面 ABC.作 NHAC,交 AC 的延长线于 H,连结 MH,则由三垂线定理,知 ACNH,从而MHN 为二面角 MACB 的平面角,直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60, AMN=60.在ACN 中,由余弦定理,得 AN= ,3
