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1、1绝密本科目考试启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试数 学(理)(北京卷)本试卷共 5 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第一部分(选择题 共 40 分)一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。(1)若集合 A=x|23,则 AIB=(A)x| 2x1 (B)x| 2x3(C)x|1x1 (D)x|1x3(2)若复数 ia在复平面内对应的点在第二象限,则实数 a 的取值范围是(A)(,1) (B)( ,1)(C)(1,+ ) (D
2、)( 1,+ )(3)执行如图所示的程序框图,输出的 s 值为(A)2 (B)32(C)53(D)85(4)若 x,y 满足 yx, ,则 x + 2y 的最大值为2(A)1 (B)3(C)5 (D)9(5)已知函数1()3()xf,则 ()fx(A)是奇函数,且在 R 上是增函数 (B)是偶函数,且在 R 上是增函数(C)是奇函数,且在 R 上是减函数 (D)是偶函数,且在 R 上是减函数(6)设 m,n 为非零向量,则“存在负数 ,使得 mn”是“ 0”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D )既不充分也不必要条件(7)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥
3、的最长棱的长度为(A)3 2 (B) 2 3 (C)2 (D)2(8)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数 N 约为 1080.则下列各数中与MN最接近的是(参考数据:lg30.48)(A)10 33 (B)10 53 (C)10 73 (D)10 93第二部分(非选择题 共 110 分)二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。(9)若双曲线21yxm的离心率为 3,则实数 m=_.3(10)若等差数列 na和等比数列 nb满足 a1=b1=1,a 4=b4=8,则2a=_.(11)在极坐标系中,点 A 在圆2cosin0上
4、,点 P 的坐标为(1,0),则|AP|的最小值为_.(12)在平面直角坐标系 xOy 中,角 与角 均以 Ox 为始边,它们的终边关于 y 轴对称.若1sin3,则 cos()=_.(13)能够说明“设 a,b,c 是任意实数若 abc ,则 a+bc” 是假命题的一组整数 a,b,c 的值依次为_(14)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点 Ai的横、纵坐标分别为第 i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点 Bi的横、纵坐标分别为第 i 名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3.记 Qi为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数,则 Q1,Q 2,Q 3
5、中最大的是_.记 pi为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则 p1,p 2,p 3 中最大的是_.三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。(15)(本小题 13 分)在ABC 中, A=60,c=37a.()求 sinC 的值;()若 a=7,求ABC 的面积.(16)(本小题 14 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为正方形,平面 PAD平面 ABCD,点 M 在线段 PB 上,4PD/平面 MAC,PA =PD= 6,AB =4(I)求证:M 为 PB 的中点;(II)求二面角 BPDA 的大小;(III)求直线 MC
6、与平面 BDP 所成角的正弦值(17)(本小题 13 分)为了研究一种新药的疗效,选 100 名患者随机分成两组,每组各 50 名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标 x 和 y 的数据,并制成下图,其中“*” 表示服药者,“+”表示未服药者.()从服药的 50 名患者中随机选出一人,求此人指标 y 的值小于 60 的概率;()从图中 A,B,C,D 四人中随机选出两人,记 为选出的两人中指标 x 的值大于 1.7 的人数,求的分布列和数学期望 E();()试 判 断 这 100 名 患 者 中 服 药 者 指 标 y 数 据 的 方 差 与 未 服 药 者 指 标
7、y 数 据 的 方 差 的 大 小 .( 只 需 写 出 结 论 )(18) (本小题 14 分)已知抛物线 C:y 2=2px 过点 P(1,1).过点(0, 12)作直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 M,N,过点 M作 x 轴的垂线分别与直线 OP,ON 交于点 A,B,其中 O 为原点.()求抛物线 C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程;5()求证:A 为线段 BM 的中点.(19) (本小题 13 分)已知函数 ()ecosxf()求曲线 y在点 (0,)f处的切线方程;()求函数 ()fx在区间 ,2上的最大值和最小值(20)(本小题 13 分)设 na和 b是两个等差数列,记 12max,n ncbnab(1,23),其中 12mx,s表示 12,sx这 个数中最大的数()若 n, n,求 3,c的值,并证明 nc是等差数列;()证明:或者对任意正数 M,存在正整数 m,当 时,nM;或者存在正整数 m,使得12,mc是等差数列