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1、湖北省监利县第一中学 2014年高中数学 三角函数的图象与性质学案 新人教A版必修 4【高考会这样考】1考查三角函数的图象及其性质在图象交换中的应用2考查三角函数的图象及其性质在解决三角函数的求值、求参、求最值、求值域、求单调区间等问题中的应用【复习指导】1掌握正弦、余弦、正切三角函数的图象和性质，会作三角函数的图象通过三角函数的图象研究其性质2注重函数与方程、转化与化归、数形结合思想等数学思想方法的运用基础梳理1 “五点法”描图(1)ysin x 的图象在0,2上的五个关键点的坐标为： (2)ycos x 的图象在0,2上的五个关键点的坐标为： 2三角函数的图象和性质函数性质 ysin x
2、ycos x ytan x定义域图象值域对称性周期单调性奇偶性两条性质(1)周期性函数 yAsin(x)和 yAcos(x)的最小正周期为 ，ytan(x )的最小正周期为 .2| |(2)奇偶性三角函数中奇函数一般可化为 yAsin x 或 yAtan x，而偶函数一般可化为 yAcos xb 的形式三种方法求三角函数值域(最值)的方法：(1)利用 sin x、cos x 的有界性；(2)形式复杂的函数应化为 yAsin(x )k 的形式逐步分析 x 的范围，根据正弦函数 单调性写出函数的值域；(3)换元法：把 sin x 或 cos x 看作一个整体，可化 为求函数在区间上的值域( 最值)
3、问题双基自测1函数 ycos ，x R() (x 3)A是奇函数 B是偶函数C既不是奇函数也不是偶函数 D既是奇函数又是偶函数2函数 ytan 的定义域为() (4 x)A.Error! B.Error!C.Error! D.Error!3设函数 f(x)sin(x ) cos(x ) 的最小正周期为 ，且 f(x)f( x)，则() ( 0， | 2)Af(x)在 单调递减 Bf(x) 在 单调递减(0， 2) (4， 34)Cf(x)在 单调递增 Df(x) 在 单调递增(0， 2) (4， 34)4y sin 的图象的一个对称中心是() (x 4)A(，0) B. C. D.( 34，
4、0) (32， 0) (2， 0)5 (2011合肥三模)函数 f(x)cos 的最小正周期为_(2x 6)考向一三角函数的定义域与值域【例 1】(1)求函数 ylg sin 2x 的定义域9 x2(2)求函数 ycos 2xsin x 的最大值与最小值(|x| 4).(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解(2)求解三角函数的值域(最值 )常见到以下几种类型的题目：形如 yasin x bcos x c 的三角函数化为 yAsin(x )k 的形式，再求最值(值域)；形如 yasin 2xbsin xc 的三角函数，可先 设 sin xt，化为
5、关于 t 的二次函数求值域( 最值)；形如 yasin xc os xb(sin xcos x)c 的三角函数，可先设 tsin xcos x，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)【训练 1】 (1)求函数 y 的定义域sin x cos x(2)已知函数 f(x)cos 2sin sin ，求函数 f(x)在区间 上的最大值与最小值(2x 3) (x 4) (x 4) 12， 2考向二三角函数的奇偶性与周期性例 2】(2011大同模拟)函数 y2cos 2 1 是( )(x 4)A最小正周期为 的奇函数 B最小正周期为 的偶函数C最小正周期为 的奇函数 D最小正周期为 的偶函数2 2求解三
6、角函数的奇偶性和周期性时，一般先要进行三角恒等变换，把三角函数式化 为一个角的一个三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解【训练 2】 已知函数 f(x)(sin xcos x)sin x，x R ，则 f(x)的最小正周期是_考向三三角函数的单调性【例 3】已知 f(x)sin x sin ，x0 ， ，求 f(x)的单调递增区间(2 x)求形如 yAsin(x )k 的单调区间时，只需把 x 看作一个整体代入 ysin x 的相应单调区间内即可，若 为负则要先把 化为正数【训练 3】 函数 f(x)sin 的单调减区间为_ ( 2x 3)考向四三角函数的
7、对称性【例 4】(1)函数 ycos 图象的对称轴方程可能是() (2x 3)Ax Bx Cx Dx6 12 6 12(2)若 0 ，g(x )sin 是偶函数，则 的值为 _2 (2x 4 )正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形 结合思想的 应用【训练 4】 (1)函数 y2sin(3x ) 的一条对称轴为 x ，则 _.(| 2) 12(2)函数 ycos(3 x)的图象关于 原点成中心对称图形则 _ _.难点突破利用三角函数的性质求解参数问题含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，难度相对较大一
8、些正确利用三角函数的性质解答此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合下面就利用三角函数性质求解参数问题进行策略性的分类解析一、根据三角函数的单调性求解参数【示例】 (2011镇江三校模拟) 已知函数 f(x)si n (0)的单调递增区间为(x 3)(kZ)，单调递减区间为 (kZ)，则 的值为_k 512， k 12 k 12， k 712二、根据三角函数的奇偶性求解参数【示例】 (2011泉州模拟) 已知 f(x)cos( x) sin( x)为偶函数，则 可以取的一个值为(3 3 3)A. B. C D6 3 6 3【示例】 (2011合肥模拟)若函数 ysin xsin (0)的最小正周期为 ，则 _.(x 2) 7三 、根据三角函数的最值求参数【示例】 (2011洛阳模拟)若函数 f(x)asin xbcos x 在 x 处有最小值2，则常数 a、b 的值是(3)Aa1，b Ba1，b3 3Ca ，b1 Da ，b13 3
