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1、直线与平面垂直的判定一、教材分析1.内容与内容解析直线与平面垂直的判定选自普通高中课程标准实验教科书数学人教 A 版必修 2 第二章第三节，本节课主要学习直线与平面垂直的定义、判定定理及其初步运用。2.地位与作用解析线面垂直是继研究线面平行之后的另一种空间中的重要关系。直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况。它是直线与直线垂直的拓展，又是平面与平面垂直判定的基础，是空间立体几何中垂直关系的转化重心。二、学情分析学生已有的生活经验是能直观的判断出日常生活中具体的直线与平面的垂直关系。学生在初中已经学习了直线与直线垂直的定义，在高中又学习了直线与平面平行的判定定理，这为本节内容的研究提供了经
2、验和方法，即可将直线与平面的关系转化为直线与直线的关系。同时，学生具备了一定观察分析能力，也能初步地运用将线面问题转化为线线问题的思想。但学生抽象能力不足，很难从线面垂直的直观形象中提炼出线面垂直的定义，也很难从折纸试验中想到一条直线与平面内两条相交直线垂直。同时，学生很容易受上一节线面平行判定的影响，得出一条直线垂直于平面内一条直线即可的错误判定方法。三、教学目标能准确描述直线与平面垂直的定义。能初步运用直线与平面垂直的判定定理证明简单的的空间位置关系问题。经历观察探索、操作确认、归纳概括、合情推理等数学活动，发展用符号语言刻画定义、定理的能力。领悟线面问题转化为线线问题、无限转化为有限的数
3、学思想。学生在认识到数学源于生活的同时，体会到数学中的严谨细致之美。四、教学重难点重点：直线与平面垂直的判定定理的理解掌握。难点：直线与平面垂直的判定定理的推理归纳。五、教法学法以引导发现法为主，结合直观教学法和讲授法，让学生学会观察分析、实践操作、合作交流、合情推理，提高学生分析、解决问题的能力。六、教学媒体课件，黑板，三角形纸片，几何画板七、教学过程1.创设情境、感悟垂直【教师】呈现生活中的图片，引导学生分析图片，进而提出问题。【问题组 1】从数学的角度，旗杆与地面、大桥桥柱与水面有什么位置关系？生活中还有哪些类似的例子？【学生】观察图片，初步得出图片中有垂直关系，并举出更多的例子。【设计
4、说明】从生活出发，直观感知直线和平面垂直的位置关系，使学生在头脑中产生直线与地面垂直的初步印象，为下一步的数学抽象做准备。2.回顾旧知、逐步探索【教师】引导学生回忆在直线与平面平行的探究中，将线面关系转化线线关系的思想。用多媒体课件演示旗杆在地面上的影子随着时间的变化而变化的过程，进一步提出问题。【问题组 2】观察在阳光下垂直于地面的旗杆 AB 和它在地面的影子 BC，旗杆所在的直线与影子所在直线的位置关系是什么？旗杆 AB 与地面上任意一条不过旗杆底部 B 的直线 B1C1 的位置关系又是什么？【学生】回忆旧知，观察图片，思考问题。【设计说明】引导学生用“平面化”的思想来思考问题，通过观察，
5、感知直线与平面垂直的本质属性。3.抽象慨括、给出定义【教师】引导从线面垂直的直观形象中提炼出线面垂直的定义。【问题组 3】你们能概括出直线与平面垂直的定义吗？【学生】初步归纳、慨括出定义。【教师】补充完善定义，解读定义；同时给出线面垂直的画法。定义：如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 与平面 互相垂直，记作： ，直线 l 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线 l 的垂面。直线与平面垂直时，l 它们唯一的公共点 P 叫做垂足。画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直。【问题组 4】如果将定义中的“任意一条直线”改成“所有直线”，结论还成立吗
6、？如果将定义中的“任意一条直线”改成“无数条直线”，结论还成立吗？【学生】理解定义中“任意一条直线”的实质。【设计说明】通过问题，加深定义的理解，掌握定义的实质。即“任意一条直线”是“所有直线”的意思，而不是“无数条直线”。定义的实质就是直线与平面内所有直线都垂直。4.提出问题、操作确认【问题组 5】如何判定学校操场上的旗杆与地面是否垂直？用定义法能解决吗？有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？【教师】组织学生用准备的三角形纸片进行实验。过ABC 的顶点 A 翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、 DC 与桌面接触）。【问题组 6】折痕 AD 与桌面垂直吗？如
7、何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在平面 垂直？【学生】动手翻折三角形纸片，合作交流找到解决方法。【教师】观察学生动手能力，引导并提示学生找到条件 ADBC。【问题组 7】折痕 ADBC，那么翻折之后垂直关系 ADBD ，ADCD 会发生变化吗？将纸片绕折痕 AD（点 D 始终在桌面内）转动，使得直线 BD、CD 不在桌面所在平面 内，这时折痕 AD 与桌面所在平面 垂直吗？【学生】动手操作，讨论问题是否成立。【设计说明】通过学生自己操作，让学生体验将线面垂直转化为线线垂直的思想，以求化解难点；“做中学”也有利于调动学生的积极性，培养学生的动手操作能力和几何直观能力。5.合情推理、得到定理【教师
8、】引导学生根据实验和抽象出图像语言，合情推理出判定定理。把折痕 AD 抽象为直线 l，把 BD、 CD 抽象为直线 m 和 n，把桌面抽象为平面 。【问题组 8】根据上面的图像，你们能合理推出直线与平面垂直的判定方法吗？ 【学生】初步推出定理。【教师】补充完善定理，解读定理；同时给出定理的文字、图像、符号语言。【问题组 9】为什么“与平面内所有直线垂直”可以化简为“与平面内两条相交直线垂直”？这条直线必须与平面内的两条相交直线相交吗？文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。图像语言： 符号语言：nlmP,Il【设计说明】引导学生根据实验、结合已有知识经验进行合
9、情推理，获得判定定理。体会将无限转化为有限的数学思想。6.初步应用、深化理解例 1.求证：与三角形的两条边同时垂直的直线必与第三条边垂直。【设计说明】初步感受如何运用直线与平面垂直的判定定理与定义解决问题，明确运用线面垂直判定定理的条件。例 2.如图，已知 ab，a ，求证 b 。【设计说明】进一步感受间接判定直线与平面垂直的方法，体现了平行关系与垂直关系之间的联系。例 3.如图，点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，O 是对角线 AC 与 BD 的交点，且PA=PC，PB=PD. 求证：PO平面 ABCD。7.回顾知识、归纳小结【教师】引领学生归纳判断方法，给出框图，总结思想方法。
10、定义法（任意直线）判定定理（两条相交直线）ab，a b【问题组 9】判断直线与平面垂直的方法有哪些？本节课运用了哪些思想方法？【学生】积极发言，互相补充。【设计说明】突出直线与平面垂直的三大方法以及所运用的数学思想方法，将新知纳入自己的认知结构。8.布置作业、课后探究【必做题】习题 23 B 组 2 题 【探究题】课本 66 页的探究题八、教学设计说明本节课设计线索为：创设情景探索定义提出问题操作实验合情推理得到定理理解运用整个设计体现以下理念：重过程展现定义、定理得出的来龙去脉，让学生经历探索、实验、推理、理解等数学学习过程。重思想引导学生将空间问题转化为平面问题，即从线面垂直过渡到线线垂直，再从无限问题过渡到有限问题，让学生理解数形结合和转化的思想方法。线线垂直线线垂直线面垂直重推理过程让学生从生活实例到抽象图像，合情推理出判定定理，培养学生的分析与解决问题的能力，以及三种语言的转化能力。重文化渗透从生活中感知直线与平面的垂直，让学生体会数学源于生活；数学美在生活中无处不在，提升学生文化素养。本设计的创新点：创新的探索过程，顺利得到定义；创新的几何画板演示，有利于学生学会探究方法；丰富的实践活动，重视学生的参与。八、板书设计2.3.1 直线与平面垂直的判定1、定义2、定理文字：图像： 符号：1.平行 2.垂直3.实验4.抽象出的图像例题讲解九、教学反思（略）
