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1、4dbd89fd113ebbca3c2c032423a3b327.pdf Page 1 of 10幻灯片 1 16.3 二 元 函 数 的 连 续 性一 . 二 元 函 数 的 连 续 （ 相 对 连 续 ） 概 念复 习 一 元 函 数 连 续 概 念(),lim()xaff在 点 处 连 续0:U有与 一 元 函 数 连 续 类 似 地 ， 从 几 何 直 观 ， 引 入二 元 函 数 连 续幻灯片 2 1. 连 续 的 定 义定 义 1. 设 函 数 (,)zfxy的 定 义 域 为 点 集0,DPR是 的 聚 点 或 孤 立 点 ， 动 点()； 如 ， ， 0I，有 ： 成 立 ，则
2、 称 函 数 关 于 集 合 在 点 连 续 。（ 相 对 连 续 ） 特 别 地 ， 当 点 是 的 内 点 时 ， 称 函 数 f在 点连 续 。 （ 全 面 连 续 ） 定 义 2. ,f在 集 合 上 连 续 ， 在 内 任 一 点 关 于 均 连 续 。幻灯片 3 说 明 ： 1. 定 义 1中 ， 0有 二 种 情 况 ： () P是 的 孤 立 点 时 ， 则 必 在 连 续 。 (2)当 是 的 聚 点 时 ， f在 连 续 lim()Df；否 则 ， 如 果 是 的 聚 点 ， 而 0Pf 则 称 函 数 在 点 不 连 续 （ 或 称 间 断 ） 。2. 0P存 在 ， 但
3、 不 等 于 时 ， 称 是 的 可 去 间 断 点 。4dbd89fd113ebbca3c2c032423a3b327.pdf Page 2 of 10幻灯片 4 例 1. 设 2 ,0().xyfm， 证 明 函 数 ,在 点 沿 方 向 连 续 。 :证 明 ()0 lixyQ(,) x2f,.f在 沿 着 直 线 是 连 续 的幻灯片 5 例 2讨 论 函 数 2,0()xyf在 (0,)的 连 续 性 解 取 klimxy1其 值 随 k的 不 同 而 变 化 ， 极 限 不 存 在 故 函 数 在 (0,)处 不 连 续 幻灯片 6 例 3 设 2 ,.xf其 他证 明 函 数 ,
4、在 点 沿 任 何 方 向 都 连 续 ，但 并 不 全 面 连 续 。 （ 参 见 上 节 的 例 6）:由 上 节 例证 明 ()(,)y当 点 沿 着 任 何 直 线 趋 于 原 点 时f0,在 点 沿 任 何 方 向 都 连 续()limx但 不 存 在在 点 不 全 面 连 续4dbd89fd113ebbca3c2c032423a3b327.pdf Page 3 of 10幻灯片 7 例 4讨 论 函 数 32,()0xyf在 (0,)处 的 连 续 性 解 取 cosinf3幻灯片 8 (,)02fxy故 函 数 在 (0,)处 连 续 .lim当 时幻灯片 9 函 数 的 增 量
5、 0. (,)3PxyD定 设义记 0,称 为 自 变 量 在 的 增 量 则1ff()称 为 函 数 在 点 的 全 增 量2. ,固 定 0,xf称 为 函 数 在 点 关 于 的 偏 增 量 .0()yfy称 为 函 数 在 点 关 于 的 偏 增 量4dbd89fd113ebbca3c2c032423a3b327.pdf Page 4 of 10幻灯片 10由 此 定 义 知 ， 当 0P是 D的 聚 点 时 0,()limxyff.在1点题 连命 续2一 元 点命 函 数题 连 续 .3命 一 元 函题 数 点 连 续y0,f.在 点命 题 4连 续()点 连 续点 连 续命 题 的
6、 逆 命 题 不 真 见 例 ,自 变 量 有 微小 变 动 时 因 变量 变 动 也 很 小幻灯片 112. 连 续 函 数 的 性 质与 一 元 函 数 的 连 续 性 质 一 样 ， 我 们 有 局 部 有 界 性 定 理 . 如 果 函 数 ()fP在 0点 连续 ， 则 ， 函 数 在 ,U内 有 界 。 局 部 保 号 性 定 理 . 如 果 函 数 在 点 连续 ， 且 0()fr（ 或 ） ， 则 ， ， 有 ： （ 或 ） 。 用点函数来介绍这几个定理，可以看出多元函数与一元函数的连续性质一致。幻灯片 12定 理 （ 四 则 运 算 法 则 ） 如 果 函 数 ()f与 g都
7、 在 0点 连 续 ， 则 P， ， f（ ()）也 都 在 点 连 续 。 定 理 (复 合 函 数 连 续 性 )若 ,uxy和 v在 点 ,全 面 连续 ， 且 0， 0， zu在点 Q处 全 面 连 续 ， 复 合 函 数 f在 (y点也 全 面 连 续 。上述定理的证明方法与一元函数完全一致，我们仅证复合函数连续性.4dbd89fd113ebbca3c2c032423a3b327.pdf Page 5 of 10幻灯片 13:证 明 0fQ在 点 连 续 ,uv当 时 有()P又 与 在 点 连 续 xy对 上 述 当 时 有 ,00,:),(ff从 而 有 (v)在 连 续 .幻灯
8、片 14二 . 二 元 初 等 函 数 及 其 连 续 性多 元 初 等 函 数 ： 由 多 元 多 项 式 及 基 本 初 等 函 数经 过 有 限 次 的 四 则 运 算 和 复 合 步 骤 所 构 成 的 可 用一 个 式 子 所 表 示 的 多 元 函 数 叫 多 元 初 等 函 数一 切 多 元 初 等 函 数 在 其 定 义 区 域 内 是 连 续 的 定 义 区 域 是 指 包 含 在 定 义 域 内 的 区 域 或 闭 区 域 事 实 上 ， 连 续 的 一 元 函 数 也 都 是 连 续 的 多 元函 数 ， 例 如 (,)sinfxy在 2R上 连 续 。 由 多 元 函
9、数 连 续 的 运 算 法 则 ， 以 及 基 本 初 等函 数 的 连 续 性 ， 即 得 。对于一元函数，有一切初等函数都在其定义域内连续。对于多元初等函数，同样有一切多元初等函数都在其定义域内连续。幻灯片 15例 5 01lim.xy求解 ()原 式 lixy2(Pff一 般 地 ， 求 时 ， 如 果 是 初 等 函数 ， 且 是 的 定 义 域 的 内 点 ， 则 在点 处 连 续 ， 于 是4dbd89fd113ebbca3c2c032423a3b327.pdf Page 6 of 10幻灯片 166.讨 论 下 列例 函 数 的 连 续 性sin, 01)(;xyf:解 当 时
10、连 续当 时 )fR研 究 在 点 的 连 续 性 . ,i如 果 则0()lmxy(, ixy0 ),f故 不 存 在 初 等 函 数幻灯片 17 0(). i如 果 此 时,fxsin, y (,)0liyf即 在 连 续 .综 上 所 述 0,)在 点 间 断 (;其 余 点 连 续在 不 连 续幻灯片 182 ().,.pxf:解 0 ,iy当 时 ()在 连 续 初 等 函 数当 时cosnr令 则 0,r,f而 2p1当 时 ,即 时 fx(,)0limxy因 此4dbd89fd113ebbca3c2c032423a3b327.pdf Page 7 of 10幻灯片 19(0,)f
11、在 连 续 .21p当 时 即 时 ,选 取 0,yx即 射 线xy则 cosr21p (,)limf().f即 在 不 连 续综 上 所 述在 点 ;当 时 连 续 ,;当 时 不 连 续.而 其 它 点 皆 连 续 小结讨论多元函数的连续性的方法。幻灯片 20 三 . 一 致 连 续 性复 习 zfD在 区 域 上 连 续 00,:P只 要 有():在 区定 域义 上 一 致 连 续 只 要 有f幻灯片 21四 . 有 界 闭 区 域 上 连 续 函 数 的 性 质1. 有 界 性 与 最 值 性定 理 (有 界 性 与 最 大 、 最 小 值 定 理 ) 若 函 数 f在 有 界 闭 区
12、 域 2DR上 连 续 函 数 ，在 上 有 界 ， 且 能 取 得 最 大 值 与 最 小 值 。 :.先 证 在证 上 有 界明 ,若 不 然 则,n正 整 数 P必 :1nfL使limQ为 有 界 点 列 由 魏 尔 斯 托 拉 斯 定 理 ,k存 在 收 敛 子 列 是闭区间上连续函数性质的直接推广，证明亦相似。此定理中,闭域 可换为闭集.4dbd89fd113ebbca3c2c032423a3b327.pdf Page 8 of 10幻灯片 220lim.knP设 ,D由 为 闭 域 从 而fQ又 在 上 连 续 在 连 续 于 是 有 :,矛 盾 是 上 的 有 界 函 数再 证
13、在 上 能 取 到 最 大 ,最 小 值 . i()supMf设 即 证 使 : 同 理 证 使,反 证 设 有 0.幻灯片 231()FPf记 则 在 上 连 续 ,D由 前 面 的 证 明 知 在 上 有 界sup, 而 且 ()即 使 :n取 使 2,fL, lim于 是 与 在 上 有 界 矛 盾 故 在 上 能 取 到 最 大 值 ./幻灯片 242. 一 致 连 续 性定 理 （ 一 致 连 续 性 定 理 ） 设 函 数 f在 有 界 闭 域 2DR上 连 续 在 上 一 致 连 续 ， ,):(用 聚 点 定 理 来 证证 反 证明设 在 上 连 续 而 不 一 致 连 续 0
14、则,PQf且 但 是1n取 n且 ,f但 是 L此定理中,闭域 可换为闭集.4dbd89fd113ebbca3c2c032423a3b327.pdf Page 9 of 10幻灯片 25,DQ为 有 界 闭 域 ,knP中 点 列 存 在 收 敛 子 列0limkn设在 中 取 出 与 下 标 相 同 的 子 列 则1 k,0:f由 在 连 续 得linf与 .矛 盾故 在 上 一 致 连 续幻灯片 263. 介 值 性 与 零 点 定 理定 理 （ 零 点 定 理 ） 设 函 数 f在 区 域 2DR上 连 续 ， 如 果 12,P为 D中任 意 两 点 ， 且 10Pf， 则 必 存 在
15、点 ， 使 得 。 oxy21:证 明 ,不 妨 设 为 的 内 点为 区 域 则 可 用 有 限 段 都2在 中 的 折 线 连 结 和如 果 有 某 一 个 连 结 点 所 对 应的 函 数 值 为 ,则 定 理 得 证 =0 时,即零点定理.幻灯片 27 oxyD2P1,否 则 ,必 存 在 某 直 线 段fM在 它 的 两 端 点 与 的 函 数 值 异 号120设 12(),y其 中:则 直 线 段 的 方 程 为 t0,在 直 线 段 上 可 表 示 为 ()gt,是 上 的 一 元 连 续 函 数且由 一 元 连 续 函 数 的 零 点 定 理0,t使4dbd89fd113ebbca3c2c032423a3b327.pdf Page 10 of 10幻灯片 28 定 理 （ 介 值 定 理 ） 设 函 数 f在 区 域 2DR上 连 续 ， 如 果 1,P为中 任 意 两
