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1、 最优化课程设计题目:共轭梯度法姓 名: 田鑫 指导老师: 智红英 学 号: 201118030216 班 级: 信息与计算科学 111802 班 共轭梯度法(Conjugate Gradient)是介于最速下降法与牛顿法之间的一个方法,它仅需利用一阶导数信息,但克服了最速下降法收敛慢的缺点,又避免了牛顿法需要存储和计算 Hesse 矩阵并求逆的缺点,共轭梯度法不仅是解决大型线性方程组最有用的方法之一,也是解大型非线性最优化最有效的算法之一。 在各种优化算法中,共轭梯度法是非常重要的一种。其优点是所需存储量小,具有步收敛性,稳定性高,而且不需要任何外来参数。设我们要求解下列线性系统其中 n-n
2、 矩阵 A 是对称的(也即, AT = A),正定的(也即, xTAx 0 对于所有非 0 向量 x 属于 Rn),并且是实系数的。将系统的唯一解记作 x*。最后算法经过一些简化,可以得到下列求解 Ax = b 的算法,其中 A 是实对称正定矩阵。x0 := 0k := 0r0 := brepeat until rk is sufficiently small:k := k + 1if k = 1p1 := r0elseend ifxk := xk-1 + k pkrk := rk-1 - k A pkend repeat结果为 xk共轭梯度法程序源代码#include#include#def
3、ine N 10#define eps pow(10,-6)double f(double x,double p,double t)double s;s=pow(x0+t*p0,2)+25*pow(x1+t*p1,2);return s;/*以下是进退法搜索区间源程序 */void sb(double *a,double *b,double x,double p)double t0,t1,t,h,alpha,f0,f1;int k=0;t0=2.5; /*初始值 */h=1; /*初始步长*/alpha=2; /*加步系数*/f0=f(x,p,t0);t1=t0+h;f1=f(x,p,t1);
4、while(1)if(f1t1?t:t1;break;t1=t0+h;f1=f(x,p,t1);/*以下是黄金分割法程序源代码*/double hjfg(double x,double p)double beta,t1,t2,t;double f1,f2;double a=0,b=0;double *c,*d;c=sb(c,d,x,p);/*调用进退法搜索区间*/printf(nx1=%f,x2=%f,p1=%f,p2=%f,x0,x1,p0,p1);printf(na,b=%f,%f,a,b);beta=(sqrt(5)-1.0)/2;t2=a+beta*(b-a); f2=f(x,p,t2
5、);t1=a+b-t2; f1=f(x,p,t1);while(1)if(fabs(t1-t2)0)p0=-g0; p1=-g1; k=0;while(1)t=hjfg(x,p);/*调用黄金分割法求 t 的值*/printf(np1=%f,p2=%f,t=%f,p0,p1,t);x0=x0+t*p0; x1=x1+t*p1;g0=2*x0; g1=50*x1;/*printf(nx1=%f,x2=%f,g1=%f,g2=%f,x0,x1,g0,g1);*/mod2=sqrt(pow(g0,2)+pow(g1,2); /*求梯度的长度*/ if(mod2=0) break;elseif(k+1
6、=n) g0=2*x0; g1=50*x1;p0=-g0; p1=-g1; k=0;elsenanda=pow(mod2,2)/pow(mod1,2);printf(nnanda=%f,mod=%f,nanda,mod2);p0=-g0+nanda*p0;p1=-g1+nanda*p1;mod1=mod2;k+;printf(n-);printf(n 最优解为 x1=%f,x2=%f,x0,x1);printf(n 最终的函数值为%f,f(x,g,t);main()gtd();运行结果如下:请输入函数的元数值 n=2请输入初始值:2 2x1=2.000000,x2=2.000000,p1=-4
7、.000000,p2=-100.000000a,b=-4.500000,1.500000p1=-4.000000,p2=-100.000000,t=0.020030nanda=0.001474,mod=3.842730-x1=1.919879,x2=-0.003022,p1=-3.845655,p2=0.003665a,b=-4.500000,1.500000p1=-3.845655,p2=0.003665,t=0.499240-x1=-0.000026,x2=-0.001192,p1=0.000052,p2=0.059610a,b=-4.500000,1.500000p1=0.000052,
8、p2=0.059610,t=0.020000nanda=0.000000,mod=0.000050-x1=-0.000025,x2=-0.000000,p1=0.000050,p2=0.000001a,b=-4.500000,1.500000p1=0.000050,p2=0.000001,t=0.495505-x1=-0.000000,x2=0.000000,p1=0.000000,p2=-0.000023a,b=-4.500000,1.500000p1=0.000000,p2=-0.000023,t=0.020007最优解为 x1=-0.000000,x2=-0.000000最终的函数值为 0.000000