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1、1钟表问题湖北省武汉市钢城六中（430080） 宋芬芳电话：15342342379 Email：钟表是由中国人在 900 多年前的北宋时期发明的。据有关资料记载，1090年，北宋宰相苏颂主持建造了一台水运仪象台用来记录时间，每天仅有一秒的误差。在瑞士，一本世界钟表界的权威书刊上写到：“ 现代机械钟表中使用的擒纵器源自中国古代苏颂的发明。 ” 擒纵器视为钟表的心脏，工作时能发出嘀嗒嘀嗒的声音。这就是钟表与计时器的区别。可见钟表是我们祖先对世界的伟大贡献。我们现代社会离不开钟表，以钟表问题为背影的数学问题更是常见于考试习题中，我们将有关钟表的数学问题作一总结，与大家共享。【问题 一：从镜子中看钟表
2、的像，找实际时刻】例 1、这是一只戴在左腕的手表在某两个时刻镜子中的像， （1）这只手表所指示的实际时刻，甲是（ ） 、乙是（ ） ； （2）两钟面的时间差是（ ） 。分析与解：此类问题，只需要了解到平面镜的象是正立、虚象，我们要找答案非常简单，只要把试卷拿起来，从反面看，答案就出来了。甲是 7 点 55 分；乙是 5 点 40 分；（2）两钟面的时间差是 2 时 15 分。【问题二：求时针分针在几点几分的夹角】计算 X 点 Y 分两针的夹角度数（为非负数）：= 6Y 0.5 （60X+Y ）=30X 5.5Y或 =36030X 5.5Y 。有了这一公式，计算两针的夹角度数就方便了。整个钟面是
3、一个周角，两针的夹角有两个，但通常情况是用不大于 180 的一个角表示，因此，计算结果大于 180 时，只要将 360 减去这个结果就是两针的夹角。简单推导如下：两针的夹角=在 X 点两针夹角 +时针在 Y 分钟内走的角度分针在 Y 分钟内走的角度或 360-在 X 点两针夹角+ 时针在 Y 分钟内走的角度分针在 Y 分钟内走的角度，在 X 点两针夹角为 30X 度，时针在 Y 分钟内走的角度为0.5Y 度，分针在 Y 分钟内走的角度为 6Y 度，代入即得到公式。例 2：分别求(1)5 时 12 分,(2)11 时 10 分时, 时针与分针的夹角.分析与解：(1)当 X=5, Y =12 时,
4、 = 305-5.512=84, 所以时针与分针的夹角为 84.(2) 当 X=11, Y =10 时, 由于30 11-5.510=275180 ,故n=3603011-5.510 = 360275=85, 所以时针与分针的夹角为 85.【问题三：何时（几点几分几秒）时针分针成定角（包括重合、垂直） 】此类问题常见有两种解法：一是用角度求解；二是用“格数” （就是分针在一分钟内走的路程我们把它称为 1 格）求解；对于用角度求解，要记住时针每分钟转 0.5角，分针每分钟转 6，分针速度为时针的 12 倍。x 分钟内它们旋转的角度差是(6x 0.5x) 度，利用方程“6x0.5x= 某状态下分钟
5、比时针多走的角度数”可快速求解；对于用“格数”求解，要记住我们把钟面一周平均分成 60 格，分针每分钟走 1 格，时针每分钟转 格，即 x 分钟分针走 x 格，时针每分钟走12x 格，x 分钟内它们的“格数”差是(x x)格，利用方程 “x x=某状12 22态下分针比时针多走的格数”来求解。例 3：从时针指向 4 时开始，再过几分钟时针与分针第一次重合？分析与解法一（用角度计算）：4 点整时，分针落后时针：360124120 度，假设过了 x 分钟后分针和时针重合，分针要追上时针，要比时针多旋转 120 度；分针用 60 分钟走一圈是 360 度，每一分钟走 6 度，时针用 60 分钟走 1
6、/12 圈是 30 度，每一分钟走 0.5 度，依题意有方程 6x-0.5x=120，即 5.5x=120，解之得 X=21 。所以再过 21 分钟，时针与分针1919第一次重合。用角度计算的公式：若时针在前（按顺时针方向） ，6x-0.5x=分针比时针多旋转的角度数。其他情况类似。分析与解法二（用格数求解）：用求追及问题思路来理解：甲开始在 12 处，每分钟走 格（1 格相当于钟一周的 60 分之一） ，乙开始在 4 处，每分钟走 12格，现在乙在甲前 20 格，多少分钟后甲追上乙。甲要追上乙，必须比乙多走20（路程差）格。设 x 分钟后时针与分针第一次重合，依题意有方程 x x=20，解之
7、得12x=20 =21 。129例 4.在 5 点至 6 点间，时针与分针何时成一直角？ 分析与解法一（用“格数”求解）：5 点整时，分针落后时针：5525 格,当它们相差 15 格时就垂直了,这里可能有两个时刻出现这种状况,一是分针落后时针 15 格,这时分针要比时针多走 10 格；二是分针超前时针 15 格，这时分针要比时针多走 25+15=40 格。设 5 点 x 分钟后分针和时针垂直，依题意有方程x x=10 ，或 x x=40 1212解得 x=10 =11 。解 得 x=40 =43 。0127答：5 点 11 分和 5 点 43 分时，时针与分针成直角。7分析与解法二（用角度计算
8、）：设 5 点 x 分钟后分针和时针垂直0.5x+150-6x=90 或 6x-（0.5x+150）=90 整理有 5.5x=60 或者 5.5x=240，解之得 x=11 或者 x=43 ，答略。1017例 5.下午放学回家 ,小明做作业 ,开始看见钟面上分针略超过时针,完成作业时发现分针和时针恰好互换了位置,小明做作业用了多少分钟？（时间不足 1 时）分析与解：小明做作业用了 x 分钟 因为这段时间内，时针与分针一共走了一周 60 格，分针每分钟走 1 格，时针每分钟走 格，则有 x 分钟，分针走 x12格，时针走 x，则依题意有 x+ x=60，解之得 x=55 。 122353答：小明
9、做作业用了 55 分钟。135【问题四：怪钟问题】例 6.某科学家设计了一只怪钟，这只怪钟每昼夜 10 时，每小时 100 分钟。当这只钟显示 5 点整时，实际上是中午 12 点整。当这只钟显示 3 点 75 分时，实际上是什么时间？实际时间下午 5 点 24 分时，这只钟显示什么时间？分析与解：怪钟每天 100101000（分） ，而实际即正常的钟是每天6024 1440（分） ，所以正常钟与速怪钟度比是 1440100036：25，怪钟的10 点整相当于正常钟的 12 点整。设怪钟从 10 点到 3 点 75 分经过了 375 分时，正常钟走 x 分，依题意有 36：25x：375，x =540（分） 9（时） 。所以怪钟的 3 点 75 分就是实际的上午 9 点整。同样地，从 0 点（即半夜 12 点）到下午 5 点 24 分，正常钟走了60（12 5） 241044（分） ，设怪钟走 y 分，依题意有 36：251044：y, y=725，对怪钟来说，725 分=7 时 25 分。所以实际时间下午 5 点 24 分时，怪钟显示 7 点 25 分。时钟问题虽然复杂，但大家只要掌握了以上的方法，就能快速求解了。解题重在总结，不在于题做的多少。只有善于总结的人，才能赢得时间，成为时间的主人。
