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1、1钟表问题湖北省武汉市钢城六中(430080) 宋芬芳电话:15342342379 Email:钟表是由中国人在 900 多年前的北宋时期发明的。据有关资料记载,1090年,北宋宰相苏颂主持建造了一台水运仪象台用来记录时间,每天仅有一秒的误差。在瑞士,一本世界钟表界的权威书刊上写到:“ 现代机械钟表中使用的擒纵器源自中国古代苏颂的发明。 ” 擒纵器视为钟表的心脏,工作时能发出嘀嗒嘀嗒的声音。这就是钟表与计时器的区别。可见钟表是我们祖先对世界的伟大贡献。我们现代社会离不开钟表,以钟表问题为背影的数学问题更是常见于考试习题中,我们将有关钟表的数学问题作一总结,与大家共享。【问题 一:从镜子中看钟表
2、的像,找实际时刻】例 1、这是一只戴在左腕的手表在某两个时刻镜子中的像, (1)这只手表所指示的实际时刻,甲是( ) 、乙是( ) ; (2)两钟面的时间差是( ) 。分析与解:此类问题,只需要了解到平面镜的象是正立、虚象,我们要找答案非常简单,只要把试卷拿起来,从反面看,答案就出来了。甲是 7 点 55 分;乙是 5 点 40 分;(2)两钟面的时间差是 2 时 15 分。【问题二:求时针分针在几点几分的夹角】计算 X 点 Y 分两针的夹角度数(为非负数):= 6Y 0.5 (60X+Y )=30X 5.5Y或 =36030X 5.5Y 。有了这一公式,计算两针的夹角度数就方便了。整个钟面是
3、一个周角,两针的夹角有两个,但通常情况是用不大于 180 的一个角表示,因此,计算结果大于 180 时,只要将 360 减去这个结果就是两针的夹角。简单推导如下:两针的夹角=在 X 点两针夹角 +时针在 Y 分钟内走的角度分针在 Y 分钟内走的角度或 360-在 X 点两针夹角+ 时针在 Y 分钟内走的角度分针在 Y 分钟内走的角度,在 X 点两针夹角为 30X 度,时针在 Y 分钟内走的角度为0.5Y 度,分针在 Y 分钟内走的角度为 6Y 度,代入即得到公式。例 2:分别求(1)5 时 12 分,(2)11 时 10 分时, 时针与分针的夹角.分析与解:(1)当 X=5, Y =12 时,
4、 = 305-5.512=84, 所以时针与分针的夹角为 84.(2) 当 X=11, Y =10 时, 由于30 11-5.510=275180 ,故n=3603011-5.510 = 360275=85, 所以时针与分针的夹角为 85.【问题三:何时(几点几分几秒)时针分针成定角(包括重合、垂直) 】此类问题常见有两种解法:一是用角度求解;二是用“格数” (就是分针在一分钟内走的路程我们把它称为 1 格)求解;对于用角度求解,要记住时针每分钟转 0.5角,分针每分钟转 6,分针速度为时针的 12 倍。x 分钟内它们旋转的角度差是(6x 0.5x) 度,利用方程“6x0.5x= 某状态下分钟
5、比时针多走的角度数”可快速求解;对于用“格数”求解,要记住我们把钟面一周平均分成 60 格,分针每分钟走 1 格,时针每分钟转 格,即 x 分钟分针走 x 格,时针每分钟走12x 格,x 分钟内它们的“格数”差是(x x)格,利用方程 “x x=某状12 22态下分针比时针多走的格数”来求解。例 3:从时针指向 4 时开始,再过几分钟时针与分针第一次重合?分析与解法一(用角度计算):4 点整时,分针落后时针:360124120 度,假设过了 x 分钟后分针和时针重合,分针要追上时针,要比时针多旋转 120 度;分针用 60 分钟走一圈是 360 度,每一分钟走 6 度,时针用 60 分钟走 1
6、/12 圈是 30 度,每一分钟走 0.5 度,依题意有方程 6x-0.5x=120,即 5.5x=120,解之得 X=21 。所以再过 21 分钟,时针与分针1919第一次重合。用角度计算的公式:若时针在前(按顺时针方向) ,6x-0.5x=分针比时针多旋转的角度数。其他情况类似。分析与解法二(用格数求解):用求追及问题思路来理解:甲开始在 12 处,每分钟走 格(1 格相当于钟一周的 60 分之一) ,乙开始在 4 处,每分钟走 12格,现在乙在甲前 20 格,多少分钟后甲追上乙。甲要追上乙,必须比乙多走20(路程差)格。设 x 分钟后时针与分针第一次重合,依题意有方程 x x=20,解之
7、得12x=20 =21 。129例 4.在 5 点至 6 点间,时针与分针何时成一直角? 分析与解法一(用“格数”求解):5 点整时,分针落后时针:5525 格,当它们相差 15 格时就垂直了,这里可能有两个时刻出现这种状况,一是分针落后时针 15 格,这时分针要比时针多走 10 格;二是分针超前时针 15 格,这时分针要比时针多走 25+15=40 格。设 5 点 x 分钟后分针和时针垂直,依题意有方程x x=10 ,或 x x=40 1212解得 x=10 =11 。解 得 x=40 =43 。0127答:5 点 11 分和 5 点 43 分时,时针与分针成直角。7分析与解法二(用角度计算
8、):设 5 点 x 分钟后分针和时针垂直0.5x+150-6x=90 或 6x-(0.5x+150)=90 整理有 5.5x=60 或者 5.5x=240,解之得 x=11 或者 x=43 ,答略。1017例 5.下午放学回家 ,小明做作业 ,开始看见钟面上分针略超过时针,完成作业时发现分针和时针恰好互换了位置,小明做作业用了多少分钟?(时间不足 1 时)分析与解:小明做作业用了 x 分钟 因为这段时间内,时针与分针一共走了一周 60 格,分针每分钟走 1 格,时针每分钟走 格,则有 x 分钟,分针走 x12格,时针走 x,则依题意有 x+ x=60,解之得 x=55 。 122353答:小明
9、做作业用了 55 分钟。135【问题四:怪钟问题】例 6.某科学家设计了一只怪钟,这只怪钟每昼夜 10 时,每小时 100 分钟。当这只钟显示 5 点整时,实际上是中午 12 点整。当这只钟显示 3 点 75 分时,实际上是什么时间?实际时间下午 5 点 24 分时,这只钟显示什么时间?分析与解:怪钟每天 100101000(分) ,而实际即正常的钟是每天6024 1440(分) ,所以正常钟与速怪钟度比是 1440100036:25,怪钟的10 点整相当于正常钟的 12 点整。设怪钟从 10 点到 3 点 75 分经过了 375 分时,正常钟走 x 分,依题意有 36:25x:375,x =540(分) 9(时) 。所以怪钟的 3 点 75 分就是实际的上午 9 点整。同样地,从 0 点(即半夜 12 点)到下午 5 点 24 分,正常钟走了60(12 5) 241044(分) ,设怪钟走 y 分,依题意有 36:251044:y, y=725,对怪钟来说,725 分=7 时 25 分。所以实际时间下午 5 点 24 分时,怪钟显示 7 点 25 分。时钟问题虽然复杂,但大家只要掌握了以上的方法,就能快速求解了。解题重在总结,不在于题做的多少。只有善于总结的人,才能赢得时间,成为时间的主人。