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1、2014 高考数学查缺补漏集中营：平面向量与解析几何一、知识整合平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。 向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份” ，能融数形与一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。而在高中数学体系中，解析几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。二、例题解析例 1、椭圆1492yx的焦点为 F ,1F2，点 P 为其上的动点，当F 1P F2为钝角时，点 P横坐标的取值范围是_。解： F1（ 5,0）F2（ ,
2、0）,设 P（3cos ,2sin ）21PFQ为钝角 3cos,2in)(53cos,2in)ur（=9cos254sin2 =5 cos2 10解得： 5cos点 P 横坐标的取值范围是（ 53,）点评：解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了。例 2、已知定点 A(-1,0)和 B(1,0)，P 是圆(x-3)2+(y-4)2=4 上的一动点，求2PAB的最大值和最小值。分析：因为 O 为 AB 的中点，所以 2,ABOurur故可利用向量把问题转化为求向量Pur的最值。解：设已知圆的圆心为 C，由已知
3、可得： 1,0,rr0,1ABrur又由中点公式得 2PABOu所以22()PAPBrr= ()O=224()PABurrururPCyxA o B =2OPur又因为 3,4Cr点 P 在圆(x-3)2+(y-4)2=4 上, 所以 52 且 CPrur所以 OOurr即 37P 故22010ABrr所以2AB的最大值为 100，最小值为 20。点评：有些解几问题虽然没有直接用向量作为已知条件出现，但如果运用向量知识来解决，也会显得自然、简便，而且易入手。例 3、O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足)|(AP， ，0，则 P 的轨迹一定通过ABC 的（ ）（
4、A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心分析：因为 |BCurur、 分 别 是 与 、同向的单位向量，由向量加法的平行四边形则知|ABCr是与ABC 的角平分线（射线）同向的一个向量，又()ABOPCurur，知 P 点的轨迹是ABC 的角平分线，从而点 P 的轨迹一定通过ABC 的内心。反思：根据本题的结论，我们不难得到求一个角的平分线所在的直线方程的步骤；由顶点坐标（含线段端点）或直线方程求得角两边的方向向量 12vur、；求出角平分线的方向向量12vur由点斜式或点向式得出角平分线方程。直线的点向式方程：过 P（ 0,xy） ，其方向向量为(,)vabr，其方程为00xyab例 4
5、、已知常数 ，向量 (,)(1,crr， i，经过原点以 cir为方向向量的直线与经过定点 ),0(aA以 2ir为方向向量的直线相交于点，其中 R试问：是否存在两个定点 FE、 ，使得 PFur为定值，若存在，求出 FE、 的坐标；若不存在，说明理由（本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.）解：根据题设条件，首先求出点 P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点 P到两定点距离的和为定值. (0,)(1,carr， i， cir=（，a） ， 2icr=（1，2a）.因此，直线
6、 OP 和 AP 的方程分别为 xy 和 ax.消去参数 ，得点 ),(yxP的坐标满足方程 2)(.整理得 .1)2(8a 因为 ,0a所以得： （i）当 时，方程 是圆方程，故不存在合乎题意的定点 E 和 F；（ii）当 20a时，方程表示椭圆，焦点)2,1(a和)2,1(a为合乎题意的两个定点；（iii）当时，方程 也表示椭圆，焦点)(,02aE和)21(,0aF为合乎题意的两个定点.点评：本题以平面向量为载体，考查求轨迹的方法、利用方程判定曲线的性质、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力。去掉平面向量的背景，我们不难看到，本题即为下题：在OAP 中，O（0，0） 、A（0
7、，a）为两个定点，另两边 OP 与 AP 的斜率分别是(),2aa，求 P 的轨迹。而课本上有一道习题（数学第二册（上）第 96 页练习题 4）：三角形 ABC 的两个顶点 A、B 的坐标分别是（-6，0） 、 （6，0） ，边 AC、BC 所在直线的斜率之积等于49，求顶点 C 的轨迹方程。通过本例可见高考题目与课本的密切关系。例 5 （2004 年天津卷理 22）椭圆的中心是原点 O，它的短轴长为 2，相应于焦点F（c，0） （ ）的准线 l与 x 轴相交于点 A，|OF|=2|FA|，过点 A 的直线与椭圆相交于P、Q 两点.（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若 0O，求直线 PQ 的方
8、程；（3）设 A（ 1） ，过点 P 且平行于准线 l的直线与椭圆相交于另一点 M，证明FQM.分析：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力.（1）解：由题意，可设椭圆的方程为)2(12ayx.由已知得).(2,ca解得 2,6c所以椭圆的方程为162yx，离心率 3e.（2）解：由（1）可得 A（3，0）.设直线 PQ 的方程为 )(xky.由方程组)3(,26xky得 062718)3(2kxk依题意 0)(12，得 36.设 ),(),(21yxQyxP，则 1821kx， 136271kx. 由直线 PQ
9、 的方程得 )3(,3(1yk.于是9)3( 2122121xxxky. 0OQP， 01y. 由得 52k，从而)36,(5k.所以直线 PQ 的方程为 03yx或 0yx（2）证明： ),3(),3( 221yxAQyxAP.由已知得方程组.126,),3211yxx注意 1，解得 215x因 ),(),0(1yxMF，故 ),)3(),2( 1211 y ),21(),2(1yy.而,222yxFQ，所以 FQM.三、总结提炼由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份” ，使向量与解析几何之间有着密切联系，而新课程高考则突出了对向量与解析几何结合考查，这就要求我们在平时的解析几何教学与复习中，应抓住时机，有效地渗透向量有关知识，树立应用向量的意识。应充分挖掘课本素材，在教学中从推导有关公式、定理，例题讲解入手，让学生去品位、去领悟，在公式、定理的探索、形成中逐渐体会向量的工具性，逐渐形成应用向量的意识，在教学中还应注重引导学生善于运用一些问题的结论，加以引申，使之成为解题方法，体会向量解题的优越性，在教学中还应注重引导学生善于运用向量方法解题，逐步树立运用向量知识解题的意识。
