高考数学查缺补漏集中营 平面向量与解析几何

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1、2014 高考数学查缺补漏集中营:平面向量与解析几何一、知识整合平面向量是高中数学的新增内容,也是新高考的一个亮点。 向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用,它具有代数形式和几何形式的“双重身份” ,能融数形与一体,能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合,形成知识交汇点。而在高中数学体系中,解析几何占有着很重要的地位,有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂,不妨运用向量作形与数的转化,则会大大简化过程。二、例题解析例 1、椭圆1492yx的焦点为 F ,1F2,点 P 为其上的动点,当F 1P F2为钝角时,点 P横坐标的取值范围是_。解: F1( 5,0)F2( ,

2、0),设 P(3cos ,2sin )21PFQ为钝角 3cos,2in)(53cos,2in)ur(=9cos254sin2 =5 cos2 10解得: 5cos点 P 横坐标的取值范围是( 53,)点评:解决与角有关的一类问题,总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值,通过坐标运算列出不等式,简洁明了。例 2、已知定点 A(-1,0)和 B(1,0),P 是圆(x-3)2+(y-4)2=4 上的一动点,求2PAB的最大值和最小值。分析:因为 O 为 AB 的中点,所以 2,ABOurur故可利用向量把问题转化为求向量Pur的最值。解:设已知圆的圆心为 C,由已知

3、可得: 1,0,rr0,1ABrur又由中点公式得 2PABOu所以22()PAPBrr= ()O=224()PABurrururPCyxA o B =2OPur又因为 3,4Cr点 P 在圆(x-3)2+(y-4)2=4 上, 所以 52 且 CPrur所以 OOurr即 37P 故22010ABrr所以2AB的最大值为 100,最小值为 20。点评:有些解几问题虽然没有直接用向量作为已知条件出现,但如果运用向量知识来解决,也会显得自然、简便,而且易入手。例 3、O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足)|(AP, ,0,则 P 的轨迹一定通过ABC 的( )(

4、A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心分析:因为 |BCurur、 分 别 是 与 、同向的单位向量,由向量加法的平行四边形则知|ABCr是与ABC 的角平分线(射线)同向的一个向量,又()ABOPCurur,知 P 点的轨迹是ABC 的角平分线,从而点 P 的轨迹一定通过ABC 的内心。反思:根据本题的结论,我们不难得到求一个角的平分线所在的直线方程的步骤;由顶点坐标(含线段端点)或直线方程求得角两边的方向向量 12vur、;求出角平分线的方向向量12vur由点斜式或点向式得出角平分线方程。直线的点向式方程:过 P( 0,xy) ,其方向向量为(,)vabr,其方程为00xyab例 4

5、、已知常数 ,向量 (,)(1,crr, i,经过原点以 cir为方向向量的直线与经过定点 ),0(aA以 2ir为方向向量的直线相交于点,其中 R试问:是否存在两个定点 FE、 ,使得 PFur为定值,若存在,求出 FE、 的坐标;若不存在,说明理由(本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法,椭圆的方程和性质,利用方程判定曲线的性质,曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.)解:根据题设条件,首先求出点 P 坐标满足的方程,据此再判断是否存在两定点,使得点 P到两定点距离的和为定值. (0,)(1,carr, i, cir=(,a) , 2icr=(1,2a).因此,直线

6、 OP 和 AP 的方程分别为 xy 和 ax.消去参数 ,得点 ),(yxP的坐标满足方程 2)(.整理得 .1)2(8a 因为 ,0a所以得: (i)当 时,方程 是圆方程,故不存在合乎题意的定点 E 和 F;(ii)当 20a时,方程表示椭圆,焦点)2,1(a和)2,1(a为合乎题意的两个定点;(iii)当时,方程 也表示椭圆,焦点)(,02aE和)21(,0aF为合乎题意的两个定点.点评:本题以平面向量为载体,考查求轨迹的方法、利用方程判定曲线的性质、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力。去掉平面向量的背景,我们不难看到,本题即为下题:在OAP 中,O(0,0) 、A(0

7、,a)为两个定点,另两边 OP 与 AP 的斜率分别是(),2aa,求 P 的轨迹。而课本上有一道习题(数学第二册(上)第 96 页练习题 4):三角形 ABC 的两个顶点 A、B 的坐标分别是(-6,0) 、 (6,0) ,边 AC、BC 所在直线的斜率之积等于49,求顶点 C 的轨迹方程。通过本例可见高考题目与课本的密切关系。例 5 (2004 年天津卷理 22)椭圆的中心是原点 O,它的短轴长为 2,相应于焦点F(c,0) ( )的准线 l与 x 轴相交于点 A,|OF|=2|FA|,过点 A 的直线与椭圆相交于P、Q 两点.(1)求椭圆的方程及离心率;(2)若 0O,求直线 PQ 的方

8、程;(3)设 A( 1) ,过点 P 且平行于准线 l的直线与椭圆相交于另一点 M,证明FQM.分析:本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线方程,平面向量的计算,曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力.(1)解:由题意,可设椭圆的方程为)2(12ayx.由已知得).(2,ca解得 2,6c所以椭圆的方程为162yx,离心率 3e.(2)解:由(1)可得 A(3,0).设直线 PQ 的方程为 )(xky.由方程组)3(,26xky得 062718)3(2kxk依题意 0)(12,得 36.设 ),(),(21yxQyxP,则 1821kx, 136271kx. 由直线 PQ

9、 的方程得 )3(,3(1yk.于是9)3( 2122121xxxky. 0OQP, 01y. 由得 52k,从而)36,(5k.所以直线 PQ 的方程为 03yx或 0yx(2)证明: ),3(),3( 221yxAQyxAP.由已知得方程组.126,),3211yxx注意 1,解得 215x因 ),(),0(1yxMF,故 ),)3(),2( 1211 y ),21(),2(1yy.而,222yxFQ,所以 FQM.三、总结提炼由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份” ,使向量与解析几何之间有着密切联系,而新课程高考则突出了对向量与解析几何结合考查,这就要求我们在平时的解析几何教学与复习中,应抓住时机,有效地渗透向量有关知识,树立应用向量的意识。应充分挖掘课本素材,在教学中从推导有关公式、定理,例题讲解入手,让学生去品位、去领悟,在公式、定理的探索、形成中逐渐体会向量的工具性,逐渐形成应用向量的意识,在教学中还应注重引导学生善于运用一些问题的结论,加以引申,使之成为解题方法,体会向量解题的优越性,在教学中还应注重引导学生善于运用向量方法解题,逐步树立运用向量知识解题的意识。

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