《河北省青龙满族自治县逸夫中学高中数学 第2章 基本初等函数（1）（1.2 指数函数及其性质 第1课时）示范教案 新人教a版必修1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《河北省青龙满族自治县逸夫中学高中数学 第2章 基本初等函数（1）（1.2 指数函数及其性质 第1课时）示范教案 新人教a版必修1（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、河北省青龙满族自治县逸夫中学高中数学必修 1第 2章 基本初等函数（1）-2.示范教案（1.2 指数函数及其性质 第 1课时）教学分析有了前面的知识储备,我们就可以顺理成章地学习指数函数的概念,作指数函数的图象以及研究指数函数的性质.教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景,先给出两个具体例子:GDP 的增长问题和碳 14的衰减问题.前一个问题,既让学生回顾了初中学过的整数指数幂,也让学生感受到其中的函数模型,并且还有思想教育价值.后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时,激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望,为新知识的学习作了铺垫.本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想
2、方法,如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等,同时,编写时充分关注与实际问题的结合,体现数学的应用价值.根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,尽量利用计算器和计算机创设教学情景,为学生的数学探究与数学思维提供支持.三维目标1.通过实际问题了解指数函数的实际背景,理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌握指数函数的性质,体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想.2.让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理.培养学生观察问题、分析问题的能力,培养学生严谨的思维和科学正
3、确的计算能力.3.通过训练点评,让学生更能熟练指数幂运算性质.展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质,让学生体验数学的简洁美和统一美.重点难点教学重点：指数函数的概念和性质及其应用.教学难点：指数函数性质的归纳、概括及其应用.课时安排3课时教学过程第 1课时 指数函数及其性质(1)导入新课思路 1.用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的 ,写出存留污垢 y与漂洗次数 x的关系式,43它是函数关系式吗？若是,请计算若要使存留的污垢不超过原有的 ,则至少要漂洗几次？641教师引导学生分析,列出关系式 y=( )x,发现这个关系式是个函数关系且它的自变量在指1数的位置上,这样的函数叫指数函
4、数,引出本节课题.思路 2.教师复习提问指数幂的运算性质,并要求学生计算 23,20,2-2,16 ,27 ,49 .再提41321问怎样画函数的图象,学生思考,分组交流,写出自己的答案 8,1, ,2,9, ,先建立平面直7角坐标系,再描点,最后连线.点出本节课题.思路 3.在本章的开头,问题（2）中时间 t和碳 14含量 P的对应关系 P=( ) t,如215730果我们用 x表示时间,y 表示碳 14的含量,则上述关系可表示为 y=( ) x,这是我们57301习惯上的函数形式,像这种自变量在指数的位置上的函数,我们称为指数函数,下面我们给出指数函数的确切概念,从而引出课题.推进新课新知
5、探究提出问题1.一种放射性物质不断衰 减为其他物质,每经过一年剩留量约是原来的 84%,求出这种物质经过 x年后的剩留量 y与 x的关系式是_.(y=0.84 x)2.某种细胞分裂时,由一个分裂成两个,两个分裂成四个,四个分裂成十六个,依次类推,一个这样的细胞分裂 x次后,得到的细胞个数 y与 x的关系式是_.(y=2 x)提出问题(1)你能说出函数 y=0.84x与函数 y=2x的共同特征吗?(2)你是否能根据上面两个函数关系式给出一个一般性的概念?(3)为什 么指数函数的概念中明确规定 a0,a1?(4)为什么指数函数的定义域是实数集?(5)如何根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数
6、函数？请你说出它的步骤.活动：先让学生仔细观察,交流讨论,然后回答,教师提示点拨,及时鼓励表扬给出正确结论的学生,引导学生在不断探索中提高自己的应用知识的能力,教师巡视,个别辅导,针对学生共性的问题集中解决.问题(1)看这两个函数的共同特征,主要是看底数和自变量以及函数值.问题(2)一般性的概念是指用字母表示不变化的量即常量.问题(3)为了使运算有意义,同时也为了问题研究的必要性.问题(4)在(3)的规定下,我们可以把 ax看成一个幂值,一个正数的任何次幂都有意义.问题(5)使学生回想指数函数的定义,根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数,紧扣指数函数的形式.讨论结果：(1)对于两个
7、解析式我们看到每给自变量 x一个值,y 都有唯一确定的值和它对应,再就是它们的自变量 x都在指数的位置上,它们的底数都大于 0,但一个大于 1,一个小于1.0.84与 2虽然不同,但它们是两个函数关系中的常量,因为变量只有 x和 y.(2)对于两个解析式 y=0.84x和 y=2x,我们把两个函数关系中的常量用一个字母 a来表示,这样我们得到指数函数的定义:一般地,函数 y=ax(a0,a1)叫做指数函数,其中 x叫自变量,函数的定义域是实数集 R.(3)a=0时,x0 时,a x总为 0;x0 时,a x没有意义.a0,a1.此解释只要能说明即可,不要深化.(4)因为 a0,x可以取任意的实
8、数,所以指数函数的定义域是实数集 R.(5)判断一个函数是否是一个指数函数,一是看底数是否是一个常数,再就是看自变量是否是一个 x且在指数位置上,满足这两个条件的函数才是指数函数.提出问题(1)前面我们学习函数的时候,根据什么思路研究函数的性质,对指数函数呢?(2)前面我们学习函数的时候,如何作函数的图象?说明它的步骤.(3)利用上面的步骤,作函数 y=2x的图象.(4)利用上面的步骤,作函数 y=( )x的图象.21(5)观察上面两个函数的图象各有什么特点,再画几个类似的函数图象,看是否也有类似的特点?(6)根据上述几个函数图象的特点,你能归纳出指数函数的性质吗?(7)把 y=2x和 y=(
9、 )x的图象,放在同一坐标系中,你能发现这两个图象的关系吗?21(8)你能证明上述结论吗?(9)能否用 y=2x的图象画 y=( )x的图象?请说明画法的理由.活动：教师引导学生回顾需要研究的函数的那些性质,共同讨论研究指数函数的性质的方法,强调数形结合,强调函数图象在研究函数性质中的作用,注意从具体到一般的思想方法的运用,渗透概括能力的培养,进行课堂巡视,个别辅导,投影展示画得好的部分学生的图象,同时投影展示课本表 21,22及图 2.12,2.13及 2.14,及时评价学生,补充学生回答中的不足.学生独立思考,提出研究指数函数性质的思路,独立画图,观察图象及表格,表述自己的发现,同学们相互
10、交流,形成对指数函数性质的认识,推荐代表发表本组的集体的认识.讨论结果：(1)我们研究函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般,一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的性质.(2)一般是列表,描点,连线,借助多媒体手段画出图象,用计算机作 函数的图象.(3)列表.x -3.00 -2.50 -2.00 -1.50 -1.00 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00y=2x 8141211 2 4作图如图 2-1-2-1图 2-1-2-1(4)列表.x -2.50 -2.00 -1.50 -1.00 0.00 1.00 1.50
11、 2.00 2.50y=( )21x 41211 2 4作图如图 2-1-2-2图 2-1-2-2(5)通过观察图 2121,可知图象左右延伸,无止境说明定义域是实数.图象自左至右是上升的,说明是增函数,图象位于 x轴上方,说明值域大于 0.图象经过点（0,1）,且 y值分布有以下特点,x0时 y1.图象不关于 x轴对称,也不关于 y轴对称,说明函数既不是奇函数也不是偶函数.通过观察图 2122,可知图象左右延伸,无止境说明定义域是实数.图象自左至右是下降的,说明是减函数,图象位于 x轴上方,说明值域大于 0.图象经过点（0,1）,x1,x0时01和 0 ,a1),y=(-4) x,y= x,
12、y=6x3+2.2活动：学生观察,小组讨论,尝试解决以上题目,学生紧扣指数函数的定义解题,因为y=x2,y=24x,y=6x3+2都不符合 y=ax的形式,教师强调 y=ax的形式的重要性,即 a前面的系数为 1,a是一个正常数（也可是一个表示正常数的代数式）,指数必须是 x的形式或通过转化后能化为 x的形式.解：y=8 x,y=(2a-1)x(a ,a1),y=(-4) x,y= x是指数函数;y=x 2,y=24x,y=6x3+2不是指21数函数.变式训练函数 y=23x,y=ax+k,y=a-x,y=( )-2x(a0,a1)中是指数函数的有哪些?a答案：y=2 3x=(23)x,y=a
13、-x=( )x,y=( )-2x=( )-2 x是指数函数.12a例 2比较下列各题中的两个值的大小:（1）1.7 2.5与 1.73;(2)0.8-0.1与 0.8-0.2;(3)1.70.3与 0.93.1.活动：学生自己思考或讨论,回忆比较数的大小的方法,结合题目实际,选择合理的,再写出（最好用实物投影仪展示写得正确的答案）,比较数的大小,一是作差,看两个数差的符号,若为正,则前面的数大;二是作商,但必须是同号数,看商与 1的大小,再决定两个数的大小;三是计算出每个数的值,再比较大小;四是利用图象;五是利用函数的单调性.教师在学生中巡视其他学生的解答,发现问题及时纠正并及时评价.解法一：
14、用数形结合的方法,如第（1）小题,用图形计算器或计算机画出 y=1.7x的图象,如图 2-1-2-4.图 2-1-2-4在图象上找出横坐标分别为 2.5、3 的点,显然,图象上横坐标为 3的点在横坐标为 2.5的点的上方,所以 1.72.50.93.1.解法二：用计算器直接计算：1.7 2.53.77,1.7 34.91,所以 1.72.50.93.1.解法三：利用函数单调性,1.7 2.5与 1.73的底数是 1.7,它们可以看成函数 y=1.7x,当 x=2.5和 3时的函数值；因为1.71,所以函数 y=1.7x在 R上是增函数,而 2.5-0.2,所以 0.8-0.11,0.93.10
15、.93.1.点评：在第（3）小题中,可以用解法一、解法二解决,但解法三不适合.由于 1.70.3与0.93.1不能直接看成某个函数的两个值,因此,在这两个数值间找到 1,把这两数值分别与 1比较大小,进而比较 1.70.3与 0.93.1的大小,这里的 1是中间值.思考在上面的解法中你认为哪种方法更实用?活动：学生对上面的三种解法作比较,解题有法但无定法,我们要采取多种解法,在多种解法中选择最优解法,这要通过反复练习,强化来实现.变式训练1.已知 a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,按大小顺序排列 a,b,c.答案：ba ;当 a1时,a 0 且 y1.41x41xx(2)因
16、为-|x|0,所以只有 x=0.因此函数 y=( ) 的定义域是xx=0.3|x而 y=( ) =( )0=1,即函数 y=( ) 的值域是yy=1.32|x32|x(3)令 0,得 0,1即 0,解得 x0.变式训练求下列函数的定义域和值域:(1)y=( ) ;(2)y= ;(3)y=ax-1(a0,a1).212x9132x答案：(1)函数 y=( ) 的定义域是 R,值域是 ,+）;(2)函数 y= 的定2x219132x义域是 ,+）,值域是0,+）;(3)当 a1时,定义域是x|x0 ,当 030.7;对(2)因为 0.75-0.1=1.029186,0.750.1=0.971642,所以 0.75-0.10.750.1;对(3)因为 1.80.6=1.422864,0.81.6=0.699752,所以 1.80.60.81.6;对(4)因为( ) =2
