《高考数学必考点解题方法秘籍 待定系数法 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学必考点解题方法秘籍 待定系数法 理（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2014 高考理科数学必考点解题方法秘籍：待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式 f(x)g(x)的充要条件是：对于一个任意的 a 值，都有 f(a)g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。 （ 表示恒等于）待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如
2、分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。待定系数法是中学数学中的一种重要方法，它在平面解析几何中有广泛的应用(一)求直线和曲线的方程例 1 过直线 x-2y-3=0 与直线 2x-3y-2=0 的交点，使它与两坐标轴相交所成的三角形的面积为 5，求此直线的方程【解】 设所求的直线方程为(x-2y-3)+(2x-3y-2)=
3、0，整理，得依题意，列方程得 于是所求的直线方程为 8x-5y20=0 或 2x-5y-10=0【解说】 (1)本解法用到过两直线交点的直线系方程， 是待定系数(2)待定系数法是求直线、圆和圆锥曲线方程的一种基本方法例 2 如图 29，直线 l1 和 l2 相交于点 M，l1l2，点 Nl1，以 A、B 为端点的曲线 C 上的任一点到 l2 的距离与到点 N 的距离相等若系，求曲线 C 的方程【解】 如图 29，以 l1 为 x 轴，MN 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系由已知，得曲线 C 是以点 N 为焦点、l2 为准线的抛物线的一段，其中点 A、B 为曲线 C 的端点设曲线 C 的方
4、程为 y2=2px，p0(x1xx2，y0)其中，x1、x2 分别是 A、B 的横坐标，p=|MN|从而 M、N解之，得 p=4，x1=1故曲线 C 的方程为 y2=8x (1x4，y0)(二)探讨二元二次方程(或高次方程)表示的直线的性质例 3 已知方程 ax2bxycy2=0 表示两条不重合的直线L1、L2求：(1)直线 L1 与 L2 交角的两条角平分线方程；(2)直线 L1 与 L2 的夹角的大小【解】 设 L1、L2 的方程分别为 mxny=0、qxpy=0，则ax2+bxycy2(mx+ny)(qx+py)从而由待定系数法，得amq，bmpnq，c=np(1)由点到直线的距离公式，
5、得所求的角平分线方程为即(m2n2)(qxpy)2=(q2+p2)(mxny)2，化简、整理，得 (nq-mp)(nqmp)x22(np-mq)xy-(nqmp)y2=0 L1、L2 是两条不重合的直线b2-4ac(mp+nq)2-4mnpq=(mpnq)20即 mp-nq0从而(nqmp)x22(np-mq)xy-(nq+mp)y2=0把 mq=a，mp+nq=b，np=c 代入上式，得 bx2+2(c-a)xy-by20即为所求的两条角平分线方程(2)显然当 mqnp=0，即 a+c=0 时，直线 L1 与 L2 垂直，即夹角为 90当 mqnp0 即 ac0 时，设 L1 与 L2 的夹
6、角为 ，则【解说】 一般地说，研究二元二次(或高次)方程表示的直线的性质，用待定系数法较为简便(三)探讨二次曲线的性质1证明曲线系过定点例 4 求证：不论参数 t 取什么实数值，曲线系(4t2t1)x2+(t1)y24t(t1)y-(109t221t+31)=0 都过两个定点，并求这两个定点的坐标【证明】 把原方程整理成参数 t 的方程，得(4x24y-109)t2+(x2+y2+4y-21)t+x2y2-31=0 t 是任意实数上式都成立，【解说】 由本例可总结出，证明含有一个参数 t 的曲线系 F(x，y，t)=0 过定点的步骤是：(1)把 F(x，y，t)=0 整理成 t 的方程；(2)
7、因 t 是任意实数，所以 t 的各项系数(包括常数项)都等于零，得 x、y 的方程组；(3)解这个方程组，即得定点坐标2求圆系的公切线或公切圆例 5 求圆系 x2y2-2(2m1)x-2my4m24m1=0(m0)的公切线方程【解】 将圆系方程整理为x-(2m+1)2(y-m)2=m2(m0)显然，平行于 y 轴的直线都不是圆系的公切线设它的公切线方程为 y=kxb，则由圆心(2m1，m)到切线的距离等于半径|m|，得从而(1-2k)m-(kb)2m2(1k2)，整理成 m 的方程，得 (3k2-4k)m2-2(1-2k)(k+b)m+(k+b)2=0 m 取零以外的任意实数上式都成立，【解说
8、】 由本例可总结出求圆系 F(x，y，m)=0 的公切线方程的步骤是：(1)把圆系方程化为标准方程，求出圆心和半径；(2)当公切线的斜率存在时，设其方程为 y=kxb，利用圆心到切线的距离等于半径，求出k、b、m 的关系式 f(k，b，m)=0；(3)把 f(k，b，m)=0 整理成参数 m 的方程 G(m)=0由于 mR，从而可得 m 的各项系数(包括常数项)都等于零，得 k、b 的方程组；(4)解这个方程组，求出 k、b 的值；(5)用同样的方法，可求出 x=a 型的公切线方程3化简二元二次方程例 6 求曲线 9x24y218x-16y-11=0 的焦点和准线【分析】 把平移公式 x=xh
9、，y=yk，代入原方程化简【解】 (略)已知函数 ymxn2431的最大值为 7，最小值为1，求此函数式。【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数 m、n 的值；已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法” 。【解】 函数式变形为： (ym)x 24 3x(yn)0， xR, 由已知得 ym0 (4 3)24(ym)(yn)0 即： y 2(mn)y(mn12)0 不等式的解集为(-1,7)，则1、7 是方程 y (mn)y(mn12)0 的两根，代入两根得：12049()mn解得：mn51或 y5312x或者 yx24351此题也可
10、由解集(-1,7)而设(y1)(y7)0,即 y26y70，然后与不等式比较系数而得：mn6127，解出 m、n 而求得函数式 y。【注】 在所求函数式中有两个系数 m、n 需要确定，首先用“判别式法”处理函数值域问题，得到了含参数 m、n 的关于 y 的一元二次不等式，且知道了它的解集，求参数 m、n。两种方法可以求解，一是视为方程两根，代入后列出 m、n 的方程求解；二是由已知解集写出不等式，比较含参数的不等式而列出 m、n 的方程组求解。本题要求对一元二次不等式的解集概念理解透彻，也要求理解求函数值域的“判别式法”：将 y 视为参数，函数式化成含参数 y的关于 x 的一元二次方程，可知其
11、有解，利用0,建立了关于参数 y 的不等式，解出 y 的范围就是值域，使用“判别式法”的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程。例 8. 设椭圆中心在(2,-1)，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是 10 5，求椭圆的方程。【分析】求椭圆方程，根据所给条件，确定几何数据 a、b、c 之值，问题就全部解决了。设a、b、c 后，由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一个方程，再将焦点与长轴较近端点的距离转化为 ac 的值后列出第二个方程。【解】 设椭圆长轴 2a、短轴 2b、焦距 2c，则|BF|a bac22105()解得： b105 所求椭圆方程是：x2y1也可有垂
12、直关系推证出等腰 RtBBF后，由其性质推证出等腰 RtBOF ，再进行如下列式： bca0522，更容易求出 a、b 的值。【注】 圆锥曲线中，参数（a、b、c、e、p）的确定，是待定系数法的生动体现；如何确定，要抓住已知条件，将其转换成表达式。在曲线的平移中，几何数据（a、b、c、e）不变，本题就利用了这一特征，列出关于 ac 的等式。一般地，解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是：设方程（或几何数据）几何条件转换成方程求解已知系数代入。例 9. 是否存在常数 a、b、c，使得等式 12223 2n(n1)2n()1(an2bnc)对一切自然数 n 都成立？并证明你的结
13、论。 （89 年全国高考题）【分析】是否存在，不妨假设存在。由已知等式对一切自然数 n 都成立，取特殊值n1、2、3 列出关于 a、b、c 的方程组，解方程组求出 a、b、c 的值，再用数学归纳法证明等式对所有自然数 n 都成立。【解】假设存在 a、b、c 使得等式成立，令：n1，得 416(abc)；n2，得2212(4a2bc)；n3，得 709a3bc。整理得：abcC4970,解得abc310，于是对 n1、2、3，等式 12223 2n(n1) 2n()1(3n211n10)成立，下面用数学归纳法证明对任意自然数 n，该等式都成立：假设对 nk 时等式成立，即 12223 2k(k1
14、) 2k()1(3k211k10)；当 nk1 时，12 223 2k(k1) 2(k1)(k 2) 2()(3k211k10) (k1)(k2) 2k()1(k2)（3k5）(k1)(k2)2()k1（3k 25k 12k24）()k123(k1) 211(k1)10，也就是说，等式对 nk1 也成立。综上所述，当 a8、b11、c10 时，题设的等式对一切自然数 n 都成立。【注】建立关于待定系数的方程组，在于由几个特殊值代入而得到。此种解法中，也体现了方程思想和特殊值法。对于是否存在性问题待定系数时，可以按照先试值、再猜想、最后归纳证明的步骤进行。本题如果记得两个特殊数列 132 n 3
15、、1 22 n 2求和的公式，也可以抓住通项的拆开，运用数列求和公式而直接求解：由 n(n1) n 32n n得 Sn12 223 2n(n1) 2(1 32 n 3)2(1 22 n 2)(12n)n14()2n()16(1(3n211n10)，综上所述，当 a8、b11、c10 时，题设的等式对一切自然数 n 都成立。例 10. 有矩形的铁皮，其长为 30cm，宽为 14cm，要从四角上剪掉边长为 xcm 的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问 x 为何值时，矩形盒子容积最大，最大容积是多少？【分析】实际问题中，最大值、最小值的研究，先由已知条件选取合适的变量建立目标函数，将实际问题转化为函数最大值和最小值的研究。【解】 依题意，矩形盒子底边边长为(302x)cm，底边宽为(142
