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1、武汉市 2014 届高三 2 月调研测试数 学（理科）2014.2.20一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数 m(3i) (2 i)（mR，i 为虚数单位）在复平面内对应的点不可能位于A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分） 甲组 乙组9 0 9x 2 1 5 y 87 4 2 4已知甲组数据的平均数为 17，乙组数据的中位数为 17，则 x，y 的值分别为A2 ，6 B2，7 C3 ，6 D3，73已知 e1，e 2 是夹角为 6
2、0的两个单位向量，若 ae 1 e2，b4e 12 e2，则 a 与 b 的夹角为A30 B60 C120 D1504 张丘建算经卷上第 22 题“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同已知第一天织布 5 尺，30 天共织布 390 尺，则该女子织布每天增加A 尺 B 尺 C 尺 D 尺47 1629 815 16315阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序若输入某个正整数 n 后，输出的 S(31，72)，则 n 的值为A5B6C 7D86若(9x )n（nN *）的展开式的第 3 项的二项式系数为 36，则其展开式中的常数项为A252 B252 C84 D
3、847设 a，b R，则“a b 1 ”是“a 2b 21”的1 b2 1 a2A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C 充要条件 D既不充分也不必要条件8如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，H 分别是棱 A1B1，D 1C1 上的点（点 E 与 B1 不重合） ，且 EHA 1D1，过 EH 的平面与棱 BB1，CC 1 相交，交点分别为 F， G设 AB2AA 12a在长方体ABCD-A1B1C1D1 内随机选取一点，记该点取自于几何体A1ABFE-D1DCGH 内的概率为 P，当点 E，F 分别在棱D1 C1B1A1A BCDE GFHA1B1，BB 1 上运动且满足 E
4、Fa 时，则 P 的最小值为A B C D1116 34 1316 789若 S1 dx，S 2 (lnx1) dx，S 3 xdx，则 S1，S 2，S 3 的大小关系为211x2121AS 1 S2S 3 BS 2S 1 S3 CS 1S 3S 2 DS 3S 1S 210如图，半径为 2 的半圆有一内接梯形 ABCD，它的下底 AB 是O 的直径，上底 CD 的端点在圆周上若双曲线以 A，B 为焦点，且过 C，D 两点，则当梯形 ABCD 的周长最大时，双曲线的实轴长为A 13B2 2 3C 13D2 23二、填空题：本大题共 6 小题，考生共需作答 5 小题，每小题 5 分，共 25
5、分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分（一）必考题（1114 题）11已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 12曲线 y 在点 M(，0) 处的切线与两坐标轴围成的三角sinxx形区域为 D（包含三角形内部与边界） 若点 P(x，y)是区域 D 内的任意一点，则 x4y 的最大值为 13如下图所示，它们都是由小正方形组成的图案现按同样的排列规则进行排列，记第 n 个图形包含的小正方形个数为 f(n)，则（）f(5) ；（）f(n ) 14已知函数 f(x) sin2x 2cos2xm 在区间0， 上的最大值为 3，则32（）m ；（）对任意 aR
6、 ，f(x )在a，a20上的零点个数为 （二）选考题（请考生在第 15、16 两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用 2B 铅 笔涂黑如果全 选，则按第 15 题作答结果计分 ）15 （选修 4-1：几何证明选讲）如图，O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P，E 为 O 上一点， ，DE 交 AB 于点AE AC F若 AB4，BP3，则 PF 16 （选修 4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线 ( cossin)a0 与曲线 Error!（ 为参数）有两个不同的交点
7、，则实数 a 的2取值范围为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （本小题满分 12 分）在锐角ABC 中，角 A，B， C 的对边分别为 a，b，c已知 sin(AB) cosC（）若 a3 ，b ，求 c；2 10（）求 的取值范围acosC ccosAb18 （本小题满分 12 分）已知数列 an满足 a10，a n1 2 |a n|，nN *（）若 a1，a 2，a 3 成等比数列，求 a1 的值；（）是否存在 a1，使数列a n为等差数列？若存在，求出所有这样的 a1；若不存在，说明理由19 （本小题满分 12 分）如图，在三棱柱
8、ABC-A1B1C1 中， AA1C1C 是边长为 4 的正方形，平面 ABC平面AA1C1C， AB3 ，BC5（）求直线 B1C1 与平面 A1BC1 所成角的正弦值；（）在线段 BC1 上确定一点 D，使得 ADA 1B，并求的值BDBC120 （本小题满分 12 分）甲、乙、丙三人进行乒乓球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判设各局中双方获胜的概率均为 ，各局比赛的结果相互独立，12第 1 局甲当裁判（）求第 4 局甲当裁判的概率；（）用 X 表示前 4 局中乙当裁判的次数，求 X 的分布列和数学期望21 （本小题满分 13 分）如图，矩形 ABC
9、D 中，|AB | 2 ，|BC |2E，F，G，H 分别是矩形四条边的中点，2分别以 HF，EG 所在的直线为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，已知 ， ，其 OR OF CR CF中 0 1 （）求证：直线 ER 与 GR的交点 M 在椭圆 ： y 2 1 上；x22（）若点 N 是直线 l：yx2 上且不在坐标轴上的任意一点， F1、F 2 分别为椭圆 的左、右焦点，直线 NF1 和 NF2 与椭圆 的交点分别为 P、Q 和 S、T是否存在点 N，使得直线 OP、OQ、OS 、OT 的斜率 kOP、k OQ、k OS、k OT 满足 kOPk OQk OSk OT0 ？若存在，求出点
10、N 的坐标；若不存在，请说明理由22 （本小题满分 14 分）（）已知函数 f(x)e x1 tx，x 0R，使 f(x0)0 ，求实数 t 的取值范围；（）证明： ln ，其中 0ab；b ab ba b aa（）设x 表示不超过 x 的最大整数，证明： ln(1n) 1 1 lnn12 1n（nN *） 武汉市 2014 届高三 2 月调研测试数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题1 B 2D 3C 4B 5B6 C 7A 8D 9A 10D二、填空题11 124 13 （）41；（）2n 22n 132 314 （ ）0；（）40 或 41 15 160 ， )215 12三、解答
11、题17 （本小题满分 12 分）解：（）由 sin(AB)cosC ，得 sin(AB)sin( C )2ABC 是锐角三角形，AB C ，即 ABC ， 2 2又 ABC， 由，得 B 4由余弦定理 b2c 2a 22 cacosB，得( )2c 2(3 )22 c3 cos ，10 2 24即 c26c8 0，解得 c2 ，或 c4当 c2 时，b 2c 2a 2( )22 2(3 )240 ，10 2b 2c 2a 2，此时 A 为钝角，与已知矛盾， c 2 故 c46 分（）由（） ，知 B ，AC ，即 C A4 34 34 sin(2A )acosC ccosAb sinAcosC
12、 cosAsinCsinB 2 34ABC 是锐角三角形， A ， 2A ，4 2 4 34 4 sin(2A ) ，1 134 acosC ccosAb故 的取值范围为( 1，1) 12 分acosC ccosAb18 （本小题满分 12 分）解：（）a 10，a 22 |a 1|2a 1，a 32 |a 2|2|2 a 1|当 0a 12 时，a 32(2a 1)a 1，a (2 a 1)2，解得 a1121当 a12 时，a 32(a 12) 4 a 1，a 1(4a 1)(2a 1)2，解得a1 2 （舍去）或 a12 2 2综上可得 a11 或 a12 62分（）假设这样的等差数列存
13、在，则由 2a2 a1a 3，得 2(2a 1)a 1(2 |2 a 1|)，即|2a 1|3 a12当 a12 时，a 123a 12，解得 a10 ，与 a12 矛盾；当 0a 12 时，2a 13a 12，解得 a11，从而 an1（nN *） ，此时a n是一个等差数列；综上可知，当且仅当 a11 时，数列a n为等差数列12 分19 （本小题满分 12 分）解：（）AA 1C1C 为正方形，AA 1AC平面 ABC平面 AA1C1C，AA 1 平面 ABC，AA 1 AC，AA 1AB由已知 AB3 ，BC5，AC 4，ABAC 如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系 A-xyz，则 B(0，3，0)，A 1(0，0，4)，B1(0，3 ，4) ，C 1(4，0，4)， (0，3，4 )， (4，0 ，0)， (4 ，3 ，0) A1B A1C1 B1C1设平面 A1BC1 的法向量为 n(x ，y，z )，则即Error!令 z3，则 x 0，y 4，n(0，4，3 )设直线 B1C1 与平面 A1BC1 所成的角为 ，则s
