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1、第 3 章 空间点线面复杂问题求解方法3.1 直线与平面、平面与平面的相对位置在日常生活中，我们可以观察到的直线与平面、平面与平面的相对位置包括三种，即平行、相交、垂直。垂直是相交的一种特殊形式。本节我们将分别分析一下直线与平面处于这几种位置关系时的复杂问题求解的方法。3.1.1 平行（1）直线与平面平行直线与平面平等的几何条件是：直线平行于平面上任一直线，根据此条件，可以投影图上解决作直线平等于平面，或作平面平行于直线，或判别直线是否平行于平面等作图的问题。如图 3.1 所示，直线 AB 平行于平面 P 上的直线CD，那么直线 AB 与平面 P 平行；反之，如果直线 AB 与平面 P 平等，
2、则在平面 P 上必可以找到与直线 AB 平行的直线 CD。图 3.1 直线与平面平行的几何条件上述原理是解决直线与平面平行问题的依据。例题 3-1 试判断直线 AB 是否平行于定平面 DEC。如图 3.2 右图的求解过程所示，在 DEC 平面的主视图投影中，先做属于平面的 FG 直线的投影 fg，使 fg/ab。然后按照点的从属性及点的投影规律，做出 FG 的俯视图的投影 fg，如果发现 fg 与 ab 不平行，因而，可以判定直线 AB 与平面 DEC 不平行。 图 3.2 判别直线与平面是否平行若直线平行于具有积聚性投影的平面，那么平面具有积聚性的投影与该直线的同面投影必平行,反之亦然，如图
3、 3.3 所示。图 3.3 判别直线与平面是否平行例 3-2 过点 A 作一般位置平面平行于已知直线 MN。图 3.4 过已经点做已经直线的平行平面如图 3.4 右侧的作图过程所示。 首先，作 AB/NM；然后，过点 A 任作一直线 AC，平面 BAC/NM。例 3-3 过点 A 作正垂面 P 平行于已知直线 MN。 图 3.5 过已经点做已知直线的平行平面如图 3.5 所示，只要使所作平面 PV/mn即可。例 3-4 试过点 K 作水平线 AB 平行于 CDE 平面。图 3.6 过已经点做已知平面的平行线如图 3.6 右图的求解过程，首先分析题目，要求解的问题是需要做出一条水平线，那么应该联
4、想到的是水平线投影的特点，即主视图投影与 X 轴平行。另外，还要求该水平线平行于 CDE 平面，因而很容易的一个思路就是在平面CDE 内先作出一条属于该平台的水平线 EF，然后过 K 点做这个水平线的平行线 AB， AB 即为所求。（2）平面与平面平行两平面平行的判定条件：若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两直线，则此两平面平行，如图 3.7 所示。图 3.7 两平面平行的判定条件特别注意，对于这两条相交的直线，虽然判定条件中提及的可以是任何平面内的两相交直线，但在求解过程中，经常使用的是平面内的正平线与水平线。例 3-4 试判断两平面 ABC 及 DEF 是否平行。图 3.
5、8 判断两平面的平行性分析：在 ABC 平面及 DEF 平面内分别做条相交的直线，但这两条直线可以作得特殊点，一点是正平线一条是水平线，通过这两组线是否相互平行就可以知道两个平面是否平行了。当然，对于此题目来说，我们可以随便两两条相交直线来求解的。作图：在 ABC 平面内作一条正平线 AM，作一条水平线 BN；在平面DEF 平面内作一条正平线 DS，作一条水平线 RE；通过观察可知这两组相交的直线是相互平行的关系，因而这两个平面相互平行如图 3.9 所示。图 3.9 判断两平面是否平行的求解例 3-5 过点 K 作一平面平行于平面 ABC。分析：要作出的平面只需要用两条相交直线进行表达就可以。
6、这两条直线只要是分别平行于已经平面内的两条相交直线就行。作图：作直线 KM/AB；作直线 KN/AC；KMN 平面即为所求，如图 3.10所示。图 3.10 过已知点作已知平面的平行平面3.1.2 相交（1）直线与平面相交如图 3.11 所示，直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点，它即在直线上又在平面上。求交问题的本质是求共有点。图 3.11 直线与平面相交为了使问题简化，我们先来研究特殊位置的相交问题。所谓特殊位置的相交问题是指相交的两元素（直线或平面）中至少其一为垂直于投影面的情况。此时该元素的一个投影具有积聚性。利用积聚性，交点或交线投影可直接求出。 当直线为一般位置，平面的某个投
7、影具有积聚性时，交点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影可在直线的另一个投影上找到。 当直线的某个投影具有积聚性，平面为一般位置时，交点的一个投影与直线的积聚性投影重合，另一个投影可利用在平面上找点的方法在平面的另一个投影上得到。例 3-6 如图 3.12 所示，求直线 MN 与平面 ABC 的交点 K，并判断可见性。图 3.12 一般位置直线与铅锤面相交分析：如图 3.13 所示，平面 ABC 是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与 mn 的交点即为交点 K 的水平投影。作图：利用直线上取点法求交点 K 的正面投影。判别可见性。由水平投影可知，MK 段在平面 ABC 的
8、前方，故正面投影上 mk可见，画成实线。以交点 K 为可见性分界点，kn被平面 ABC 遮住的部分不可见，画成虚线。图 3.13 一般位置直线与铅锤面相交的图解例 3-7 求铅垂线 EF 与三角形 ABC 的交点，并判断可见性。图 3.14 铅锤线与一般位置平面相交分析：直线 EF 为铅垂线，其水平投影积聚为一个点，故交点 K 的水平投影也积聚在该点上。作图：用面上取点法求交点 K。判别可见性。由水平投影可知，KF 段边 AC 的前方，故正面投影上 kf可见。以交点 K 为可见性分界点，ek 被三角形 ABC 遮住的部分不可见。如图3.15 所示，也可通过重影点判别可见性。图 3.15 铅锤线
9、与一般位置平面相交的图解（2）平面与平面相交空间的两平面若不平行就必定相交。相交两平面的交线是一直线，该交线为两平面的共有线，交线上的每个点都是两平面的共有点。当求作交线时，只要求出两个共有点事一个共有点以及交线的方向即可。其实两一般位置平面求交线是有一点复杂的，但若相交两平面之一为投影面垂直面或投影面平行面时，则可利用该平面有积聚性的特点 ，很容易求得交线的投影。图 3.16 两平面相交例 3-8 求平面 ABC 与铅垂面 DEFG 的交线。图 3.17 一般位置平面与铅垂面相交分析：平面 DEFG 为铅垂面，其水平投影积聚为直线，该直线与 ab、ac的交点 m、n 即为两个共有点的水平投影
10、，它们的连线即为交线的水平投影。另外，利用交点是共有点，他也同样属于平面 ABC 的，因而，m与 n的求得就变成了平面内取点的问题。作图：如图 3.18 所示。判别可见性：由俯视图可直观的看出，AMN 在平面 DEFG 之前，对于主视图来说 AMN 是可见的。其实也可以利用重影点来判别可见性。图 3.18 一般位置平面与铅垂面相交的求解3.1.3 垂直（1）直线与平面垂直直线与平面垂直的几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线，如图 3.19 所示。图 3.19 直线与平面垂直的几何条件既然直线与平面垂直，那么直线就垂直于该平面内的所有直线。据此，结合直角投影定理，很自然
11、的就可以推导出定理：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影，如图 3.20 所示。图 3.20 直线与平面垂直的几何特点相反，若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则直线必垂直于该平面，如图 3.21。图 3.21 直线与平面垂直的判别条件例 3-8 试过点 M 作一直线三角形 ABC 相垂直。分析：要想作出些垂线，那么该垂线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；同时，该垂线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。作图：（1）作水平线 C
12、D，使 mncd；（2）作正平线 AE，使 mn ae；（3）N 点是在 MN 直线上随意取的，MN 即为所求，如图 3.22 所示。图 3.22 过已经点作已知平面的垂线例 3-9 试过点 A 作一平面与已知直线 MN 相垂直。分析：要求解的平面只需要用两条相交直线进行表达就可以了，很自然的就会联想前文提到的定理，这两条线只需要是一条正平线和一条水平线就可以了。作图：作正平线 AB，使 ab mn；作水平线 AC，使；ABC 平面即为所求 acmn。MN 即为所求图 3.23 过已经点作已知直线的垂面（2）平面与平面垂直两平面垂直的几何条件：若一直线垂直于一给定平面，则包含这条直线的所有平面
13、都垂直于该平面。图 3.23 两平面垂直的几何条件反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。图 3.24 两平面垂直的几何条件例 3-10 试过点 M 作一平面与三角形 ABC 相垂直。分析：由前面直线与平面垂直的介绍就已经知道，过 M 点是可以作出一条与 ABC 相垂直的直线的，那么这条直线随便与哪条过 M 点的其他直线组合所构成的平面都是本题目的解。作图：作 MNABC ；作直线 MK，平面 MNK 为所求。 图 3.25 过已知点作已经平面的垂面3.2 辅助平面法如果细心品味就会发现，在直线与平面相交的介绍中，只介绍了一般位置直线与特殊平面和
14、特殊直线与一般位置平面的交点问问题；在介绍平面与平面相交时，也只介绍了其中一个面为特殊平面时的交线求解问题。那对于一般位置直线与一般位置平面的交点如何求解？两一般位置平面又如何求交线？此类问题的求解稍有复杂，将介绍辅助平面法来求解这两类问题。辅助平面法的思路在于将困难的一件事情通过一个特殊的辅助平面（正垂面或铅垂面）的引入而转化为可以直接求解的问题。这里我们不再重复可见性的差别问题，利用重影点的方法可以解决。3.2.1 一般位置直线与一般位置平面求交点面临的问题如图 2.26 所求，求作平面 ABC 与直线 MN 的交点。因为平面与直线都是一般位置排放，没有任何的积聚性可利用，因而问题看上去无
15、从下手。因而，需要将问题转移。这时使用辅助平面法。可以包括 MN 这条线，加一个辅助的特殊平面（正垂面或铅垂面） ，求出这个特殊平面与已经的一般位置平面的交线，这个交线是已经平面与辅助平面的公用线。之后在辅助平面里，求已知直线与交线的交点，因而交点是已知直线与交线的公有点，那么交点也是已知直线与已知平面的共有点，即要求解的交点。这就是辅助平面法的核心思想。这的技术来源是加上去的特殊平面是很容易就可以被找出来的。（1）以正垂面为辅助平面求线面交点按照上面的解题思想，以正垂面为辅助平面来求线面交点。即，包括已经的 MN 这条线作一个正垂面 Q，那么 Q 平面与 ABC 平面相交于 EF，之后求出
16、MN 与 EF 的交点 K，问题求解完成。图 3.26 以正垂面为辅助平面求线面交点作图步骤：过 EF 作正垂平面 Q（迹线表示法） ；求 Q 平面与 ABC 的交线 EF；求交线 EF 与 EF 的交点 K（如图 3.27 所示） 。通过图 3.27 观察可知，画出三条线 ee、ff、kk就可以求出交点 K 的投影。图 3.27 以正垂面为辅助平面求线面交点的求解过程（2）以铅垂面为辅助平面求线面交点 除了使用上面的解法外，还可以通过填加另一个特殊辅助平面的方法来解决这个问题。就作一个包括 MN 直线的铅垂面，这个正垂面也会与 ABC 平面相关，会产生交线，同样交线也会与 MN 直线相交，交点即为本问题的答案。作图的过程看上去与上一解法相反（如图 3.28 所示） ，先是从俯视图的两个交点处，向上划两条竖线，然后停在相应的边
