《数学：4.1.1《复数的概念》课件(北师大版选修1-2)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学：4.1.1《复数的概念》课件(北师大版选修1-2)（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.1 复数的概念Ssxxcyh4.1 复数的概念知识回顾对于实系数一元二次方程 ，当时 ，没有实数根我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？ 解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？ 数的概念是从实践中产生和发展起来的 .早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了 1， 2， 3， 4等数以及表示 “没有 ”的数 0.自然数的全体构成自然数集 N 随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数 .这样就把数集
2、扩充到有理数集 Q. 如果把自然数集 (含正整数和 0)与负整数集合并在一起，构成整数集 Z，如果把整数看作分母为 1的分数，那么有理数集实际上就是分数集 有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数 .所谓无理数，就是无限不循环小数 .有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集 R.因为有理数都可看作循环小数 (包括整数、有限小数 )，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决
3、了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾 .但是，数集扩到实数集 R以后，像 x2= 1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于 1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数，叫做虚数单位 .并由此产生的了复数4.1 复数的概念自然数有理数整数无理数实数复数数系的扩充4.1 复数的概念引入一个新数 ， 叫做 虚数单位 ，并规定： （ 1） 它的平方等于 -1，即（ 2） 实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立 形如 的数，叫做复数 全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母 C表示 .N Z Q R CNZ
4、QR新授课很明显 ,引进虚数单位后 ,有 i2=-1,(-i)2=i2=-1,所以方程 x2=-1的解是 x=I虚数单位的幂的性质 :i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n N)以上性质叫 i的周期性 .4.1 复数的概念新授课复数的表示：通常用字母 z 表示，即当 时， z 是实数 a当 时， z 叫做虚数 当 a=0且 时， z =bi 叫做纯虚数 实部 虚部复数复数与实数、虚数、纯虚数及 0的关系：两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等这就是说，如果 a， b， c，d R，那么 a+bi=c+di 有 a=c， b=
5、d复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小 .如 3+5i与 4+3i不能比较大小 .现有一个命题： “任何两个复数都不能比较大小 ”对吗？不对如果两个复数都是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小复平面、实轴、虚轴：复数 z=a+bi(a、 b R)与有序实数对 (a， b)是一一对应关系这是因为对于任何一个复数 z=a+bi (a、b R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对 (a， b)惟一确定，又因为有序实数对 (a， b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，由此可知，复数集与平面直角坐标系中的
6、点集之间可以建立一一对应的关系 .点 Z的横坐标是 a，纵坐标是 b，复数 z=a+bi(a、 b R)可用点 Z(a， b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面， x轴叫做实轴， y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为 (0， 0)， 它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数 .故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数集 C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数 复平面内的点 复数复平面内的点这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应 .这
7、就是复数的一种几何意义 .也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法 .z=a+bi(a、 b R)是复数的代数表示法共轭复数（ 1）当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。（虚部不为零也叫做互为共轭复数）（ 2）复数 z的共轭复数用 表示若 z=a+bi(a、 b R)，则 z=a bi（ 3）实数 a的共轭复数仍是 a本身，纯虚数的共轭复数是它的相反数（ 4）复平面内表示两个共轭复数的点 z与 关于实轴对称例 1请说出复数的实部和虚部，有没有纯虚数？例 2 复数 2i+3.14的实部和虚部是什么？例 3实数 m取什么数值时，复数z=m+1+(m 1)i是 :(1)
8、实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？例 4 已知 (2x 1)+i=y (3 y)i，其中 x，y R，求 x与 y.课堂练习 ： 1.设集合 C=复数， A=实数， B=纯虚数，若全集 S=C，则下列结论正确的是 ()A.A B=C B.A=BC.AB= D.B B=C2.复数 (2x2+5x+2)+(x2+x 2)i为虚数，则实数x满足 ()A.x= B.x= 2或 C.x 2D.x1且 x 23.已知集合 M= 1， 2， (m2 3m 1)+(m25m 6)i，集合 P= 1， 3 .MP= 3，则实数 m的值为 ()A. 1 B. 1或 4C.6 D.6或 14.满足方程 x2 2x
9、 3+(9y2 6y+1)i=0的实数对 (x， y)表示的点的个数是 _.5.复数 z=a+ b i， z=c+ d i(a、 b、 c、d R)，则 z=z的充要条件是 _.6.设复数 z=log2(m2 3m 3)+ilog2(3 m)(m R)，如果 z是纯虚数，求 m的值 .7.若方程 x2+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一个实数根，试求实数 m的值 .8.已知 m R，复数 z=+(m2+2m 3)i，当 m为何值时，(1)z R;(2)z是虚数； (3)z是纯虚数； (4)z=+4i.4.1 复数的概念例 1 实数 m取什么值时，复数 是（ 1）实数？ （ 2）虚数？ （
10、 3）纯虚数？解 ： （ 1） 当 ，即 时，复数 z 是实数（ 2） 当 ，即 时，复数 z 是虚数（ 3） 当 ，且 ，即 时，复数 z 是纯虚数新授课小结 ： 1在理解复数的有关概念时应注意：（ 1）明确什么是复数的实部与虚部；（ 2）弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求；（ 3）弄清复平面与复数的几何意义；（ 4）两个复数不全是实数就不能比较大小。2复数集与复平面上的点注意事项：（ 1）复数 中的 z，书写时小写，复平面内点 Z(a， b)中的 Z，书写时大写。（ 2）复平面内的点 Z的坐标是 (a， b)，而不是 (a， bi)，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是 1
11、，而不是 i。（ 3）表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。（ 4）复数集 C和复平面内所有的点组成的集合一一对应： 自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。古希腊人用小石卵记畜群的头数或部落的人数 。 英文 calculate（ 计算）一词是从希腊文 calculus （ 石卵）演变来的。中国古藉易系辞中说：上 古结绳而治，后世圣人易之以书契。直至 1889年，皮亚诺才建立自然数序数 理论。 自然数返回 零不仅表示无，更是表示空位的符号。中国古代用算筹计算数并进行运算时，空位不放算筹，虽无空 位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。印度阿拉伯命数法中的零（ zero）
12、 来自印度的（ sunya ） 字，其原意也是空或空白。 中国最早引进了负数。九章算术方程中论述的正负数，就是整数的加减法。减法的需要也促进 了负整数的引入。减法运算可看作求解方程 a+x=b， 如果 a， b是自然数，则所给方程未必有自然数解。为了使它恒有解，就有必要把自然数系扩大为整数系。 整数返回分 数原始的分数概念来源于对量的分割。如说文 八部对 “ 分 ” 的解释： “ 分，别也。从八从刀，刀以分别物也。” 但是，九章算术中的分数是从除法运算引入的。其 “合分术 ” 有云： “ 实如法而一。不满法者，以法命之。 ” 这句话的今译是：被除数除以除数。如果不能除尽，便定义了一个分数。古埃
13、及人约于公元前 17世纪已使用分数。 返回 为表示各种几何量（例如长度、面积、体积）与物理量（例如速率、力的大小），人类很早已发现有必要 引进无理数。约在公元前 530，毕达哥拉斯学派已知道边长为 1的正方形的对角线的长度（即 ）不能是有理数。 15世纪达芬奇（ Leonardo da Vinci, 1452- 1519） 把它们称为是 “ 无理的数 ” （ irrational number）， 开普勒（ J. Kepler, 1571- 1630） 称它们是 “ 不可名状 ” 的数。法国数学家柯西（ A.Cauchy,1789- 1875） 给出了回答：无理数是有理数序列的极限。由于有理数
14、可表示成有限小数或无限循环小数，人们想到用 “ 无限不循环小数 ” 来定义无理数，这也是直至 19世纪中叶以前的实际做法。 无理数返回 实数系的逻辑基础直到 19世纪 70年代才得以奠定。从 19世纪 20年代肇始的数学分析严密化潮流，使得数学 家们认识到必须建立严格的实数理论，尤其是关于实数系的连续性的理论。在这方面，外尔斯特拉斯（ 1859年 开始）、梅雷（1869）、戴德金（ 1872）与康托尔（ 1872 ）作出了杰出的贡献。 实数返回复数从 16世纪开始，解高于一次的方程的需要导致复数概念的形式。用配方法解一元二次方程就会遇到负数开 平方的问题。卡尔达诺在大法（ 1545）中阐述一元三次方程解法时，发现难以避免复数。关于复数及其代
