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1、等差数列【选题明细表】知识点、方法 题号等差数列的基本运算 1、3等差数列的性质 2、4、5、9等差数列的判定 8、11等差数列的最值问题 6、7综合应用问题 10、12一、选择题1.(2013年高考重庆卷)在等差数列a n中,a 2=1,a4=5,则a n的前 5项和 S5等于(B)(A)7 (B)15 (C)20 (D)25解析:a n是等差数列, 2=1+=1,4=1+3=5 1=1,=2. S 5=5a1+ d=5(-1)+102=15,542故选 B.2.(2013年高考福建卷)等差数列a n中,a 1+a5=10,a4=7,则数列a n的公差为(B)(A)1 (B)2 (C)3 (
2、D)4解析:a 1+a5=2a3=10,a 3=5,又a 4=7,d=2,故选 B.3.(2013天津市新华中学月考)设 Sn是等差数列a n的前 n项和,S 5=3(a2+a8),则 的值为(53D)(A) (B) (C) (D)16 13 35 56解析:由 S5=3(a2+a8)得,=32a5,5(1+5)2即 5a3=6a5,所以 = ,5356故选 D.4.(2013金华一中月考)已知 Sn是等差数列a n的前 n项和,S 5=3(a2+a8),则 等于(A)53(A) (B) (C) (D)56 13 35 16解析:由等差数列的性质可知,S 5=5a3,a2+a8=2a5,因为
3、S5=3(a2+a8),所以 5a3=32a5, = ,5356故选 A.5.(2013厦门市高三上学期期末质量检查)在等差数列a n中,a n0,且 a1+a2+a10=30,则a5a6的最大值等于(C)(A)3 (B)6 (C)9 (D)36解析:a 1+a2+a10=30,即 =30,a1+a10=6,(1+10)102a 5+a6=6,a 5a6 =9,(5+62 )2故选 C.6.(2013北京海淀)若数列a n满足:a 1=19,an+1=an-3(nN *),则数列a n的前 n项和数值最大 时,n 的值为(B)(A)6 (B)7 (C)8 (D)9解析:a n+1-an=-3(
4、nN *),数列a n是以 19为首项,-3 为公差的等差数列,a n=19+(n-1)(-3)=22-3n.设前 k项和最大,则有 0,+10, 2230,223(+1)0, k ,193 223 kN *,k=7.故满足条件的 n的值为 7.故选 B.二、填空题7.(2013西安八校联考)植树节某班 20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距 10米.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取 树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为米. 解析:设树苗放在第 i个树坑旁边(如图),那么各个树坑到第 i个树坑距离的和是s=(i-1)10+(i-2
5、)10+(i-i)10+(i+1)-i10+(20-i)10=10ii-i(20-i)+ =10(i2-21i+210),(+1)2 (20)(+1+20)2所以当 i=10或 11时,s 的值最小,最小值是 1000,所以往返路程的最小值是 2013米.答案:20138.已知数列a n 中,a 1=1且 = + (nN *),则 a10= . 1+1113解析:由 = + 知,1+1113数列 为等差数列,1则 =1+ (n-1),1 13即 an= .3+2a 10= = .310+214答案:149.(2013烟台高三质检) 由正数组成的等差 数列a n和b n的前 n项和分别为 Sn和
6、 Tn,且= ,则 =. 213155解析:由 = = ,21212131取 n=3,则有 = = .5523133158答案:58三、解答题10.已知等差数列a n的前 n项和为 Sn,且满足 a2+a4=14,S7=70.(1)求数列a n的通项公式;(2)设 bn= ,则数列b n的最小项是第几项?并求出该项的值 .2+48解:(1)设公差为 d,则有 21+4=14,71+21=70,即 1+2=7,1+3=10,解得 1=1,=3.所以 an=3n-2.(2)数列b n的最小项是第 4项,Sn= 1+(3n-2)= ,2 322所以 bn= =3n+ -12 -1=23.32+48
7、48 348当且仅当 3n= ,48即 n=4时取等号,故数列b n的最小项是第 4项,该项的值为 23.11.已知数列a n的各项均为正数,前 n项和为 Sn,且满足 2Sn= +n-4(nN *).2(1)求证:数列a n为等差数列;(2)求数列a n的通项公式.(1)证明:当 n=1时,有 2a1= +1-4,21即 -2a1-3=0,21解得 a1=3(a1=-1舍去).当 n2 时,有 2Sn-1= +n-5,21又 2Sn= +n-4,2两式相减得 2an= - +1,221即 -2an+1= ,2 21也即(a n-1)2= ,21因此 an-1=an-1或 an-1=-an-1
8、.若 an-1=-an-1,则 an+an-1=1.而 a1=3,所以 a2=-2,这与数列a n的各项均为正数相矛盾,所以 an-1=an-1,即 an-an-1=1,因此数列a n为等差数列.(2)解:由(1)知 a1=3,d=1,所以数列a n的通项公式 an=3+(n-1)1=n+2,即 an=n+2.12.(2013南充市第一次适应性考试)设数列a n的各项都为正数,其前 n项和为 Sn,已知对任意 nN *,Sn是 和 an的等差中项.2(1)证明数列a n为等差数列,并求数列a n的通项公式;(2)证明: + + 0.2当 n=1时,2a 1= +a1,21解得 a1=1.当 n2 时,有 2Sn-1= +an-1.21于是 2Sn-2Sn-1= - +an-an-1,221即 2an= - +an-an-1,221于是 - =an+an-1,221即(a n+an-1)(an-an-1)=an+an-1.因为 an+an-10,所以 an-an-1=1(n2).故数列a n是首项为 1,公差为 1的等差数列,且 an=n.(2)证明:因为 an=n,则 Sn= , = =2 .(+1)2 1 2(+1) (1 1+1)所以 + +1112 1=2 + +(112)(1213) (1 1+1)=2(1 1+1)2.
