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1、1水域藻类与鱼类共存状态研究摘要：本文针对水域藻类与鱼群共存状态问题，首先对在食物充足的条件下，分析鱼群增长的诗句并进行统计，再对鱼群-藻类在时间状态下的增长数据进行统计分析及处理数据，进行各种参数相关性分析，最后针对各个问题建立模型并求解。针对问题 1，我们根据鱼群数量的统计数据，取得模型中各个参数值的大小，利用 matlab 数字软件等工具分析鱼群的统计数据，用折线图来描述“种群随时间变化”的数学模型，鱼群的增长规律符合罗捷斯蒂克方程: )1(AhRdt并建立逻辑斯蒂增长模型。对于问题 2 我们用 Logistic 规律建立了食饵-捕食者模型，然后借助于Logistic 数学算法和 Mat
2、lab 软件，算出藻类和鱼类共存的稳定性。对于问题 3,我们用问题二的数据去阐述在什么条件下我们应该怎么去干预藻类和鱼类的数量来保持整个生态系统的稳定。关键词：逻辑斯蒂增长模型、食饵-捕食者模型、Logistic 规律、生态学、罗捷斯蒂增长模型2一、问题重述在生活中我们注意到在一个单一的水域生态系统中，藻类过于丰富时，藻类对水溶氧的消耗会过大，当你消耗量超过某个临界值之后，鱼类将因缺氧而出现大面积死亡，于是藻类的增长速度又将激增，出现富营养化，最终鱼类有可能大面积消亡。另外，若鱼群的增长速度过快，藻类的增长速度会因藻类的增加而出现负增长，因为食物源的骤减，鱼类有可能因此消亡。请通过建立数学建模
3、研究以下问题：（1）在食物源足够的条件下，研究鱼群的增长。（2） 建立鱼群-建立鱼群-藻类增长的数学模型（用时间进行刻画） ，并对其中各种参数进行分析，研究该生态系统的平衡性或稳定性。（3）对（2）中的生态系统受到破坏的情况下，讨论因采取怎样的干预手段，使得该生态系统保持相对稳定。二、问题分析（一）问题 1 的分析问题 1 属于微分方程数学问题，对于解决此鱼群开发增长问题，从而可以研究鱼业的开发问题，提高经济效益，我们首先对此进行调查鱼群增长的数据，数据显示鱼群种群数量在时间的变化下，前段时间比较缓慢增长，后增长较快，到一定时间后相对比较平缓，可对数据进行建立 EXCEL 的折线图，可发现大致
4、变化趋势呈“S”型，由以上原因，我们可以首先将其数据利用 Matlab 等数学软件经处理得到的 logistic 模型，并检验模型。（二）问题 2、3 的分析自然界中不同种群之间存在着一种有趣的既有依存，又有制约的生存方式：种群甲靠丰富的自然资源生长，而种群乙靠捕食种群甲为生。生态学上称种群甲为食饵，种群乙为捕食者，二者共处组成食饵捕食者系统（简称系统） 。为了对食饵、捕食者的数量关系做出分析和预测，建立了食饵捕食者模型：根据微分方程稳定性理论辅之以相轨线分析，对具有自身阻滞作用的两种群的数量关系做出分析和预测，并给予及时的措施。三、模型假设(1)假设在自然环境相对稳定的情况下，该水域对藻类的
5、最大容量为 a 单位，当种群数量达3到环境最大容纳量的时候，种群数量不再增长，初始状态为 0.1a 单位。（2）假设其鱼群种群自然增长率为 R，藻类自然增长率为 r。（3）假设该水域最大容许量为 A 条鱼群，初始状态为 0.1A 条。（4）种群中每个个体处于同一水平，在种群增长的过程中个体的差异，如年龄结构等不给予考虑。（5）种群数量的增长率受种群数量的影响，但增长率的变化总是落后于种群数量的变化，即种群数量的变化不会引起增长率的立即变化，此模型暂不考虑这种时滞效应。（6）假设题目所给的数据真实可靠（7）藻类靠丰富的自然资源生长，而鱼类靠捕食藻类为生（8）藻类和鱼类在 t 时刻的数量分别记为
6、x（t） 、y（t）（9）种群甲和乙的最大容量分别为 N、M4、定义于符号说明a：藻类最大容量 A：鱼群最大容许量r：藻类的自然生长率 R：鱼群的自然生长率t：时间 h：种群密度（单位面积上的种群数量）5、模型的建立与求解第一部分：问题 1 的罗捷斯蒂增长模型在食物足够的条件下，鱼群增长如下：4模型给出鱼群的数目是以“S”型曲线增长，而且增长有一定的限制，即存在饱和值 A(环境所能供养的最大鱼群数目） ，这样的结果在很大程度上反映了实际的生态发展模式。在单一 水域中，食物充足情况下，鱼群增长模型分析：在一段时间内，鱼类数目变化的情况表示为 ： 的 死 亡 率在 时 间 段中 鱼 群 的 增 长
7、 数在 时 间 段中 鱼 群 的 增 加在 时 间 段 ttt ,-,显而易见，鱼的增长数和死亡数应该与这段时间的长短t 成正比，且还与这个时间的鱼数目X(t)成正比。设在时间段 内鱼的增长数等于 0.1ARt，再令上式t0，我们就得到了t,鱼群在食物充足情况下的常微分方程： 设已知的初始时刻 t=t0 时的鱼数目)()(tRXdtX=0.1A，就可求解微分方程的 Cauchy 问题（R 为常数） 且后来受环境空间影)(01.tRAet响，则鱼群的增长规律符合罗捷斯蒂克方程： 即鱼的总数按“S”型增长)(hdt第二部分：问题 2 的食饵-捕食者模型藻类靠丰富的自然资源生长，而鱼类靠捕食种群甲为
8、生，藻类和鱼类在 t 时刻的数量分别记为x(t)、y（t） ，r 是藻类的固有增长率，藻类和鱼类的最大容量分别为 N、M。数量的演变均遵从Logistic 规律。于是对藻类有 其中因子 反映由于藻类对有限资源的消耗)1()Nxrtx&)1(x导致的对它本身增长的阻滞作用， 可解释为相对于 N 而言单位数量的藻类消耗别的供养藻类5的食物量（设食物总量为 1） 。当两个种群在同一自然环境中生存时，考察由于乙消耗同一种有限资源对甲的增长产生的影响，可以合理的在因子 中再减去一项，该项与鱼类的数量 y（相对于 M 而言）成正比，于是得)(Nx到种群藻类增长的方程为 （1） 这里的意义是：单位数量鱼类（
9、相对)1(1Myxrt&于 M 而言）消耗的供养藻类的食物量为单位数量藻类（相对 N）消耗的供养藻类的食物量的 倍。1类似的，藻类的存在也影响了鱼类的增长，鱼类没有藻类的存在会死亡，设其死亡率为 d，藻类为鱼类提供食物，藻类对鱼类的增长起到了促进作用，鱼类的增长又会受到自身的阻滞作用，于是得到鱼类增长的方程为 （2）)1()2MyNxdyt&其中： 反映藻类对鱼类的供养能力。2稳定性分析：为了研究藻类、鱼类的结局，即 时，x（t） 、y（t）的趋向需对它的平衡t点进行稳定性分析。首先根据微分方程（1） 、 （2）解代数方程组(3)0)1(),(21MyNxdyxgrf得到 4 个平衡点： ,
10、， ，)(1P)(2 21213)(,)(MNP)0,(4P按照判断平衡点稳定性的方法计算 )21()(2 11 MyNxdNydrxrgfAyx 4,31,|)(ifppyx,2,|detiAqp将 4 个平衡点 p、q，的结果及稳定条件列入下表 1.6平衡点 p q 稳定条件)0,(1NP)1(2dr )1(2rd12,2M1 2不稳定21213)(,)(P21)()(dr 21)(r12)0,(4 rdrd不稳定表 1 藻类、鱼类的平衡点及稳定性上表的稳定条件由微分方程稳定性理论分析：“若 、 ，则平衡点稳定；若0pq或 则平衡点不稳定”可以得到，且平衡点要在第一象限。0pq在代数方程（
11、3）中记 MyNxy1),(MyNxx21),(对于 ， 的不同取值范围，直线 和 在相平面上的相对位置不同。12 07模型计算与验证数值解：记藻类和鱼类的初始数量分别为 （4）0)(x0)(y为求微分方程（1） 、 （2）及初始条件（4）的数值解 x（t ） 、y （t ） ， （并作图）及相轨线 y（x） ，把 用0)1(),(21MyNxdyxgrf代替，设 r=1,d=0.5, , ,N=100,M=10,0)(),(mbdyxganrf 5.12.则有 r=1,d=0.5, , , ,5.1M0.2Ndb0.n1.0m第三部分：在问题 2 得到的结论解答问题 3在第二问的食饵-捕食者
12、模型中得出结论：根据模型中 与 1 的大小关系（ 与 1 的大小关系定了，与 与 1 的大小关22系无关，即点 ， 的稳定性由 与 1 的大小关系决定） ，说明 ， 两稳定P3 P3点在生态学上的意义。当 时，点 稳定，因藻类不能为鱼类提供足够食物，即鱼类灭绝，而藻121类趋向最大容量；当 时，点 稳定，这时藻类与鱼类的数量随时间的增加趋于各自的极限23P值，而趋于生态平衡，时间足够长之后，藻类与鱼类将保持自己的数量不会有大的变化。（计算过程在附页，这里我就直接跳过计算过程了。 ）第一种情况，即鱼类灭绝，藻类趋向最大容量。在此情况出现前，我们就应当适当加入一些鱼到此生态系统中;或适当通过人工或
13、物理方法或化学药物减少一定量的藻类，从而使生态系统返回平衡状态。8第二种情况，即鱼类过多，藻类大量灭绝。在此情况之前，我们可以适当捕捞一些鱼类使得此生态系统减少捕食者，从而使得生产者有生长的环境；也可以捕捞一些鱼类，再种植一些藻类或增加一些利于藻类生长的东西使藻类快速生长，加速使生态系统平衡。6、模型评价与推广因为要保护好我们生产额生态环境，所以我们要处理好各物种的关系。用logistic 模型和食饵-捕食者模型来描述生物种群数量的生长曲线，很大程度上反映了实际的生态发展模型，但是也有着明显的缺陷，首先它没有考虑到种群在不同环境条件下生长状况的差异。种群生长与环境的相互关系是密切的，因此描述种
14、群的增长规律，必须考虑环境条件。但是它也能给予我们一些数据来知道应该什么时候去干预生态系统，使生态系统能保持长久的平衡。自然界中，任何物种即使是捕食者也有自身的阻滞作用，该模型从原始的没带自身阻滞作用模型中加入了阻滞项，使得模型更接近于生态平衡系统。从此模型中，我们知道两种物种同时灭绝是不稳定的，也就是不可能的，但两种群有一种灭绝一种生存是完全有可能的，两种群共存的可能也是可能得。本文只考虑两种模型，我们完全可以把此模型推广到三物种的情形。自然界里长期存在的呈周期变化的生态平衡系统应该是结构稳定的，即系统受到不可避免的干扰而偏离原来的周期轨道后，其内部制约作用会使系统自动回复原状。7、参考文献
15、【1】姜启源，谢金星，叶俊编数学建模.3 版.北京：高等教育出版社，2003.8（2010 重印）9【2】陈恩水，王峰编数学建模与实验北京：科学出版社，2008【3】周品，赵新芬编著MATLAB 数学建模与仿真 ，国防出版社，2008.4【4】王树禾数学建模选讲：科学出版社，2008【5】杨启帆 方道元， 数学建模 ，浙江大学出版社，1999.9【6】胡守信 李柏年， 基于 Matlab 的数学实验 ，科学出版社 2004.6【7】王正东， 数学软件与数学实验 ，科学出版社，2004.88、附件MATLAB 代码为：function xdot=shier(t,x)r=1;d=0.5;a=0.2;b=0.001;n=0.01;m=0.1;xdot=(r-n*x(1)-a*x(2).*x(1);(-d+b*x(1)-m*x(2).*x(2); clear; ts=0:0.1:25; x0=25,2; t,x=ode45(shier,ts,x0); plot(t,x),grid,gtext(x(t),gtext(y(t), pause, plot(x(:,1),x(:
