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1、非线性系统控制理论19第二章 李导数李括号运算与分布为了尽快的涉及非线性系统的几何理论，我们将以较短的篇幅介绍李导数的概念与李括号运算。2.1 向量场若 是 维函数向量,即)(xfn),.(.),.()(112nnnxfxfxf它的每一个分量 都是变量 的函数。从几何观点)(xfi T看，即是对状态空间中每一个点（对应一个状态）对应一个确定的向量，即映射 。即可以想象从每一个点 “发射”出一个向量，因nnRf : x而从整体上看形成一个由向量构成的场。2.2 李导数给定一个光滑的标量函数 和一个向量场 ,则可以定义标量)(xh)(f函数沿向量场的导数称为李导数,或称为 的李导数。它是一个新的对
2、标量函数记为 。hLf设 为一光滑标量函数;Rxn:)(为 上的一个光滑的向量场;nf为 上的另一个光滑的向量场;g :则 )(,.)(,()() 21 xfhxhxfhxL nf ， 或记为 。niiifd 同理有: .)()()()( 1niiig xghxgdhxghx多重李导数可以递归地定义为: )()()1fxLLkfkfkf 非线性系统控制理论20)()() xghLxLxhffgfg kfkfkf 又定义: ；同理： )(0xLf)(0xhg上标”0”意味着不求导，因为 适合递归式子。0Lff2.3 李括号运算若 与 为 上的两个向量场,两同维的向量 , 的李)(xfgnR)(x
3、fg括号运算定义为: fgxfgxf )(,或记为 ,它是一个新的向量场。gadf 矩 阵nnnxgxgxxx.2122111同理可知 也是一个 的矩阵。它们分别称为流形映射到 和xfg的 Jacobian 阵。f李括号运算也可以多次重复进行，例如： ,.,., gffgf或 也可采用递归记法:)(),.(adgadfffff,(1xxkkf 1k当 时 1k )(,0fff 因而可以定义: )(gf2.4 李括号运算具有下列性质(1) 在 域上是双线性的,即若 是向量场,且 是实数,则R21,f 21r有: ,121 gfrrfr, 1fg(2) 是斜可交 换的,即:非线性系统控制理论21,
4、fgf(3) 满足 Jacobian 恒等式,即若 是向量场,则p0, gf2.5 协向量场的微分运算对于一个向量场 ,常常采用与其对偶的协向量场 ,两者都定义在的开集 上,但 是列向量场,而 是行向量场,即nRVf。它是 空间的对偶空间，记为 。)().()(21xxnnR*)(nR定义一种新的运算，称为协向量场 沿向量场 的李导数，即fxfdLTf )(,)(fxfT)(其中上标 表示转置。T以上三种运算可以统一起来统称为李导数，只是：是指光滑标量函数沿向量场的李导数，得到的仍是一个标量)(xhLf函数。是光滑的向量场沿向量场的李导数，得到的是一个新的向gadf量场。是协向量场沿向量场的李
5、导数，得到的是一个新的协向量)(xf场。这三种李导数有下列关系： , gfLgff 其中 表示向量场； 表示协向量场； 表示内积。gf, 2.6 运算法则以上三种李导数运算,经过简单的推导，可以得到下列运算规则:(1) 如果 是一个向量场, 为实值函数,则f)()xLxff (2) 若 是向量场, 是实值函数,则gf )()()()(, xfLggx gf (3) 若 是向量场, 是实值函数,则f)()(, xxLLfggfgf (4) 若 是向量场, 是协向量场, 是实值函数,.则f,非线性系统控制理论22)(),()()( xdfxxLxLff f若 是向量场, 是实值函数,则f)()(x
6、dff (5) 若 是向量场, 是协向量场,则gf )(,)( xgfgLxLff 此式即上述已提到的三种李导数之间的关系。2.7 分布（ Distributions）(1)分布的意义定义在 开集 上的光滑向量场 可以直观地看作是一种光滑映nRUf射，即对 于 上每一点 赋 以 维光滑向量 。现 在假设定义在同样xn)(x的开集 上有 个光滑的向量场 , ，并且注意到在 U 中任意给d1d定的点 ，向量 , 张成了一个向量空 间， 该向量空间是x)(1f)(fd内被定义的那个向量空间（即 ）的子空间。)(fi nR即有= span)(,)(1xfxfdK若 , 是光滑的，则对开集 上的每一点
7、来说，)(1xfd nx子空间由某些光滑的向量场来张成，于是称它为光滑分布。所以分布是在某种意义下的子空间的集合，也是向量场的集合，记为= spandff,1要注意记分布整体，而记 记在 点上的“值”（即某一个子空间）。x从分布是一个向量空间，一个 的子空间的观点出发，则可列出分布nR的一些特性。(2)分布的一些特性：（）如果 和 是分布，则 + 也是分布，称为分布的和，即若 1212= )(1xspan)(,)(xfxfdK= 2 )(,1gge当 指定时，上两式均表示子空间。因此 = 也21span xgxff ed,11 K表示某子空间。故 edgf,1L非线性系统控制理论23（）同理若
8、 和 是分布，则 也是分布，称为分布的交，1221I即由下式确定=x21I x21I（）包容：若对所有 ,有 ，记为 称为 包容 。2112所以若对所有 ， ,则称向量场 属于分布 ，记 。fff（）若一个矩阵 ，它具有 行，每一行的各 项均是 的光滑函数,则它Fnx的每一列就可看成是光滑的向量场。这种矩阵就可表示成由它的列张成的光滑分布。其在每一点 上的“值”就是矩阵 在 点上的“象” ，即xF=xIm（）分布在点 处的维数就是 子空间的维数，显然若分布被看成是某矩阵 的列所张成的子空间的集合，则分布在点 处的维数就是Fx矩阵 的秩。若一个分布它在 中任何 上的维数不变，即Ux=const
9、， xdi U则称分布是非奇异的，否则称变维分布。若在某点 处及其 的邻域 上分布是非奇异的，则称 为正则000 0x点，否则称奇异点（）两个光滑分布的和仍是光滑分布，而两个光滑分布的交不一定是光滑的。可由反例说明：若 = =1span2span1x则 若02xI 0x= ，若 ，所以121s01x的交是不光滑的，因 为不可能在 上找到一个光滑的向量场，21与 R它除了 的线上不为零之外，其余各处均为零。0x（3）对合分布（）定义：若 和 是属于分布 的任意两个向量场，且由 和 1212构成的李括号 所得到的向量场仍然属于分布 ，则这样的分布, 称为对合分布。即：当且仅当 ， 1221称为对合
10、分布。非线性系统控制理论24（）判别对合分布的方法：考虑非奇异分布 ，则 中的任意两个向量场 ， 均可12表示成=)(1x)(1xfcidi=2ii其中 xfxfspanxd,1K则可容易推导得：等价于21,（对所有 1 ,j ）fji id所以有：当且仅当 （对所有 1 ,j ）分布 是对合的。xfji, 因此实际上只要证明对非奇异分布 xfxfxfrankxfrank jidd ,11 KK对所有 x 和所有 1 ,j 成立（）一些推论 一维分布总是对合分布：因为 , 是非零向量场fspan则由 = =0fxf因而 1frk10,frankfan 故结论得证 二维分布不一定是对合的考虑在
11、空间中的二维分布3R21,fspan= , =)(1xf0)(xf201由于 = 21,f1ff非线性系统控制理论25= =012x021x所以有 =2rank21,f= =321,ffrank102x因而该分布不是对合的。 两个对合分布的和不一定是对合的；（可由上面的例子说明，因为一维分布是对合的，但两个一维分布的和不一定对合），但两个对合分布的交仍是对合分布。（）对偶分布（协分布）在很多情况下，为了应用的方便起见，常常采用所谓对偶分布或协分布。上面提到分布 是用列向量场来定义的。而对偶分布是用其对偶物行向量场来定义的，所以对于某一给定的点 ，协分布是对偶空间 的一个子空间。xnR若 表示一
12、组行向量场（即协向量场）则协分布表示为 d,21Kdspa,1对于 中给定的点 ，协分布是 中的一个子空间，记为Uxnnd,1L所以如果给定一个分布 ，则对于 中的每一个点 ，有 ，它Ux是 的子空间； 的所有零化向量的集合构成了 对偶空间特定的子nR空间，即它是 的正交补，是 的子空间。即可用式子表示成xnR ： 0， 对所有 n,x也称为(x) 的零化子。式中 表示行向量 *与列向量 的内积。,类似的，若给定一个协分布 ，则协分布 的正交补 可表示成 ： 0，对所有 xnRv, x要注意的是由此构成的协分布可能失掉光滑性，即原分布是光滑的，而其正交补不一定保证 也是光滑的。非线性系统控制理
13、论262.8 定理Frobenius考虑偏微分方程 nRx0,1 xFffxjdj L其中： 1 j是需要求解的未知函数j是已知向量场xffd,1所以 是未知函数的偏导数，是一个行向量。现在要问此偏j微分方程是否有解。以上问题如果用几何的观点来叙述，则表示如下：一个非奇异的 维分布 ：d定义在 的开集 上，对于 上dfspan,1LnRU的每一点 及其 邻域 ， 是定义在 上的光滑向量0x0Uxfd,0场。如果在 上定义的 个实光滑函数，能使 = ，那末就称这dn,21 dns,21L个分布 是完全可积的。或者具体一点说就是矩阵 的列所张成xF的分布是完全可积的。现在的 问题是在什么条件下分布 是完全可积的？定理：一个分布当且仅当它是对合的，则是完全可积的。Frobenius该定理的证明应分两部分，即需证明条件的必要性与充分性。必要性：即若这样的解 存在， （即 是完全可积的）来推导出j是对合的。即 若已知 =dndspan,21L则有 0ijij fxf1 ，1 ,Ujid采用李导数记号 即： jfi再由李括号运算法则可得：0, xLxLjfikjfkijfki由于上式中的两项为零。故有 ,fdjfkikij 则构造：非线性系统控制理论27=xLdnfkifki,2,1M0,21kidnf因为已知 =spa,21所以所有
