《高中数学数形结合思想在解题中的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学数形结合思想在解题中的应用（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1高中数学数形结合思想在解题中的应用一、知识整合1数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形” ，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。2实现数形结合，常与以下内容有关：实数与数轴上的点的对应关系；函数与图象的对应关系；曲线与方程的对应关系；以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；所给的等式或代数式的结构含有明显
2、的几何意义。如 等 式 ()()xy14223纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数” 。4数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。二、例题分析例 1. 的 取 值 范 围 。之 间 ， 求和的 两 根 都 在的 方 程若 关 于 kkxx
3、31032分析： 0)()( xfxf 程轴 交 点 的 横 坐 标 就 是 方， 其 图 象 与令，(1y f的 解 ， 由 的 图 象 可 知 ， 要 使 二 根 都 在 ， 之 间 ， 只 需 ， 3()(02bffka10(0)k同 时 成 立 ， 解 得 ， 故 ，例 2. 解 不 等 式 x2解：法一、常规解法：原 不 等 式 等 价 于 或()()IxIx0202解 ， 得 ； 解 ， 得()I02综 上 可 知 ， 原 不 等 式 的 解 集 为 或| |xxx2022法二、数形结合解法：令 ， ， 则 不 等 式 的 解 ， 就 是 使 的 图 象yxyx y12 1在 的
4、上 方 的 那 段 对 应 的 横 坐 标 ，2 如 下 图 ， 不 等 式 的 解 集 为 |xAB而 可 由 ， 解 得 ， ， ，xBBA2故 不 等 式 的 解 集 为 。x2例 3. 已 知 ， 则 方 程 的 实 根 个 数 为01aaxa|log|()A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 1 个或 2 个或 3 个分析： 判 断 方 程 的 根 的 个 数 就 是 判 断 图 象 与 的 交 点 个 数 ， 画yxxa|log|出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有 2 个实根，选（B） 。例 4. 如 果 实 数 、 满 足 ， 则 的 最 大 值 为xyy
5、yx() ()23ABCD.123分析： 等 式 有 明 显 的 几 何 意 义 ， 它 表 坐 标 平 面 上 的 一 个 圆 ，()xy2圆 心 为 ， ， 半 径 ， 如 图 ， 而 则 表 示 圆 上 的 点 ， 与 坐() ()00ryxxy标 原 点 ， 的 连 线 的 斜 率 。 如 此 以 来 ， 该 问 题 可 转 化 为 如 下 几 何 问 题 ： 动 点() A在 以 ， 为 圆 心 ， 以 为 半 径 的 圆 上 移 动 ， 求 直 线 的 斜 率 的 最 大 值 ， 由 图23OA可 见 ， 当 在 第 一 象 限 ， 且 与 圆 相 切 时 ， 的 斜 率 最 大
6、， 经 简 单 计 算 ， 得 最A大 值 为 tg603例 5. 已 知 ， 满 足 ， 求 的 最 大 值 与 最 小 值xyyx21653分析： 对 于 二 元 函 数 在 限 定 条 件 下 求 最 值 问 题 ， 常 采 用xy31625构造直线的截距的方法来求之。令 ， 则 ，yxbyb3原 问 题 转 化 为 ： 在 椭 圆 上 求 一 点 ， 使 过 该 点 的 直 线 斜 率 为 ，xy2165 3且 在 轴 上 的 截 距 最 大 或 最 小 ，由 图 形 知 ， 当 直 线 与 椭 圆 相 切 时 ， 有 最 大 截 距 与 最 小yxbxy321截距。yxbx31625
7、169164022由 ， 得 ， 故 的 最 大 值 为 ， 最 小 值 为 。 03313y例 6. 若 集 合 ， ， 集 合 ，Mx Nxyb()cosin()()|0且 ， 则 的 取 值 范 围 为 。NbI分析： xyyM()| ()， ， ， 显 然 ， 表 示 以 ， 为 圆 心 ，2910以 3 为半径的圆在 x 轴上方的部分， （如图） ，而 N 则表示一条直线，其斜率 k=1，纵截距 为 ， 由 图 形 易 知 ， 欲 使 ， 即 是 使 直 线 与 半 圆 有 公 共 点 ，b xbI显 然 的 最 小 逼 近 值 为 ， 最 大 值 为 ， 即33232例 7. 点
8、是 椭 圆 上 一 点 ， 它 到 其 中 一 个 焦 点 的 距 离 为 ， 为Mxy FN2 1516 2MF1 的中点， O 表示原点，则|ON|=（ ）ABCD.322484分析：设椭圆另一焦点为 F2， （如图） ， 则 ， 而|MFa125又注意到 N、O 各为 MF1、F 1F2 的中点，|MF128， ON 是MF 1F2 的中位线， |842若联想到第二定义，可以确定点 M 的坐标，进而求 MF1 中点的坐标，最后利用两点间的距离公式求出|ON|，但这样就增加了计算量，方法较之显得有些复杂。例 8. 已 知 复 数 满 足 ， 求 的 模 的 最 大 值 、 最 小 值 的
9、范 围 。ziz|2分析： 由 于 ， 有 明 显 的 几 何 意 义 ， 它 表 示 复 数 对 应 的|()i z点 到 复 数 对 应 的 点 之 间 的 距 离 ， 因 此 满 足 的 复 数 对 应 点2+i |()|i2Z z， 在 以 ， 为 圆 心 ， 半 径 为 的 圆 上 ， 如 下 图 ， 而 表 示 复 数 对 应 的()2点 到 原 点 的 距 离 ， 显 然 ， 当 点 、 圆 心 、 点 三 点 共 线 时 ， 取 得 最 值 ，OZCO|minmaxzz23， ， 的 取 值 范 围 为 ，| z23例 9. 求 函 数 的 值 域 。yxsinco解法一（代数
10、法）： ，则 得yxyxxsiccosin22sinsin()xy y21， ， 而()|s|x ， 解 不 等 式 得|14734732yy 函 数 的 值 域 为 ，解法二（几何法）： yxyxsinco221的 形 式 类 似 于 斜 率 公 式5yxPxsinco()(cosin)220表 示 过 两 点 ， ， ， 的 直 线 斜 率21Py由 于 点 在 单 位 圆 上 ， 如 图 ,显 然 ， kyPAPB00设 过 的 圆 的 切 线 方 程 为 k0()则 有 ， 解 得 |21473k即 ，PAPB0 0473473 473473y 函 数 值 域 为 ，例 10. 求 函
11、 数 的 最 值 。utt26分析： 由 于 等 号 右 端 根 号 内 同 为 的 一 次 式 ， 故 作 简 单 换 元 ， 无 法tm24转化出一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步换元。解： 设 ， ， 则xtytuxy246且 ，yx2102()所 给 函 数 化 为 以 为 参 数 的 直 线 方 程 ， 它 与 椭 圆 在u xy216第一象限的部分（包括端点）有公共点， （如图）umin2相切于第一象限时，u 取最大值yxxu2221634160解 ， 得 ， 取 umax三、总结提炼数形结合
12、思想是解答数学试题的的一种常用方法与技巧，特别是在解决选择、填空题是发挥着奇特功效，复习中要以熟练技能、方法为目标，加强这方面的训练，以提高解题能力和速度。四、强化训练见优化设计。6【模拟试题】一、选择题：1. 方程 的实根的个数为（ ）lgsinxA. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个2. 函数 的图象恰有两个公共点，则实数 a 的取值范围是（ ）yaxa|与A. B. ()， ()1，C. D. )， ，1U()， ，1U3. 设命题甲： ，命题乙： ，则甲是乙成立的（ ）03x|x4A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 不充分也不必要条件4. 适
13、合 且 的复数 z 的个数为（ ）|z1argz4A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 4 个5. 若不等式 的解集为 则 a 的值为（ x()0|xmn， 且 ，2）A. 1 B. 2 C. 3 D. 46. 已知复数 的最大值为（ ）zizz1 123， ， 则|A. B. C. D. 05027. 若 时，不等式 恒成立，则 a 的取值范围为（ ）x()， ()logxxaA. （0，1） B. （ 1，2） C. （1，2 D. 1，28. 定义在 R 上的函数 上为增函数，且函数 的图象的对称yf)在 ， 2yfx()2轴为 ，则（ ）A. B. ff()3ff(03C.
14、D. 1)二、填空题：9. 若复数 z 满足 ，则 的最大值为_。|2|zi110. 若 对任意实数 t，都有 ，则 、fxbc() ftft()()2f()13、 由小到大依次为_。f()411. 若关于 x 的方程 有四个不相等的实根，则实数 m 的取值范围为xm245|_。12. 函数 的最小值为_。y2261313. 若直线 与曲线 有两个不同的交点，则实数 m 的取值范围是xyx2_。7三、解答题：14. 若方程 上有唯一解，lg()lg()xmx2303在 ，求 m 的取值范围。15. 若不等式 的解集为 A，且 ，求 a 的取值范围。412ax|0216. 设 ，试求下述方程有解
15、时 k 的取值范围。a0且 log()log()axkx228【试题答案】一、选择题1. C提示：画出 在同一坐标系中的图象，即可。yxsinlg，2. D提示：画出 的图象yaxa|与情形 1： a01情形 2： a013. A4. C提示：|Z1|=1 表示以（ 1，0）为圆心，以 1 为半径的圆，显然点 Z 对应的复数满足条件，另外，点 O 对应的复数 O，因其辐角是多值，它也满足 ，故满足条件的 zargz4 argz4有两个。95. B提示：画出 的图象，依题意， 从而yxayman， ，。a02或6. C提示：由 可知，z 2 对应的点在以（0，0）为圆心，以 2 为半径的圆上，|2而 |()|()|zzi12123表
