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1、1、考虑建模为M阶AR过程的广义平稳随机过程u(n)。由平均功率 和AR系数 0P组成的一组参数与自相关系列 一一对应，如下式a,.2 )(,.1)0(Mrr )(,)0(rrMaP,.210证明该命题正确。2、考虑由如下差分方程描述的二阶MA过程x(n)，)2(5.0)1(75.0)( nnnx其 中是方差为1的零均值白噪声过程。要求用一个M阶AR过程u(n)近似该过程。对于下列阶数(a)M=2 , (b)M=5 ,(c)M=10做上述逼近，并评价所得结果。如果AR过程u(n)要与MA过程x(n)精确等价，则M必须多大？3、横向滤波器的抽头权向量定义为: u(n)= (n)s(n)+v(n)
2、其中 s(w)=1,e ,e 和 v(n)=v(n),v(n-1),v(n-M+1)jw)1(MjT T正弦向量s(w)的复数幅度是零均值、方差为 =E 的随机变量。试完成22)(n如下工作：（a） 确定抽头输入向量u(n)的相关矩阵（b） 设期望响应 和u(n)不相关，对应的维纳滤波器的抽头权向量是什么？)(nd（c） 假设方差 ，目标响应d（n）的定义为02 )()knvd这里0 ，维纳滤波器的抽头权向量的新值是什么？1Mk（d） 确定期望响应的维纳滤波器抽头权向量这里 是延时jwen)(4、图a和图b分别表示期望响应为 的自回归模型和含有噪声的通信信道模)(nd型。在图a中， 是零均值、
3、方差为 的白噪声过程，在图b中)(1n27.01是零均值、方差为 的白噪声过程。两个声源 和 是统计)(2n.021 )(1n2独立的。（a）证明信道输出为 )()(2nxnu其中 )(2(8.0)1(.)( 1nxnx（b）假设使用长度为2的维纳滤波器，确定抽头输入向量的相关矩阵R和抽头输入向量与滤波器期望响应的互相关向量。（c）利用（a）和（b）的结果，确定维纳滤波器的最优权向量和维纳滤波器产生的最小均方误差。5、 （a）一个过程 由复包络为 、角频率为 的单一正弦函数过程和零均)(1nu值、方差 的加性噪声构成，即 ，其中 ,且2 )()(1nenujw2E)(vnE该过程 应用于一个M
4、阶线性预测器，并在均方误差意义上将其最优化。试1u解答如下问题计算M阶预测误差滤波器抽头权值以及最终预测误差功率 MP计算相应的格型预测的反射系数 。Mk,.21当方差 趋于0时，和的结果有何变动。2v6、在最速下降算法中，经过n+1次迭代后的抽头权向量的校正可以表达为，其中u(n)是抽头输入向量，e(n)是估计误差。在误差)()1(*neEnw性能曲面极小值处，这个调整会发生什么情况？根据正交性原理，讨论这个答案。7、考虑一阶自回归(AR)过程，其差分方程描述为 ，其中)(1()(nauna是过程的AR参数， 是零均值、方差为 的白噪声。)(n2（a）建立一个一阶线性预测器来计算参数a。特别
5、地，使用最速下降算法迭代求解参数a的维纳解。（b）画出这个习题的误差性能曲线，并根据已知参数表明曲线的极小点。（c）步长参数 满足什么条件才能保证收敛？并证明你的结论。8、某一未知实值系统的零均值输出 用多重线性回归模型表示为)(nd，)()(nuwndTo其中 是模型的（未知）参数向量， 是输入向量， 是零均值、方差为 )(u)(n的白噪声样值。图P5.1的框图给出未知系统的自适应模型，其中自适应横向2v滤波器由改进的LMS算法控制。特别地，横向滤波器的抽头权向量 的选择)(w使得如下性能指标 ，最小化，其中K=1,2,3,。)(),(2neEkwJK（a） 使用瞬态梯度向量，证明相应抽头权向量估计新的自适应原则为，其中 是步长参数，而)()(1( 12unK为估计误差。)dneT（b） 假设加权误差向量 为零， 与 独立。试证明)()(nwo)(nu其中R是输入向量u(n)的相关矩12()1( 2EKIEk阵（c） 证明如果步长参数 满足如下条件0 max)1(2(nEKK其中 是矩阵R的最大特征值，则（a）中描述的改进LMS算法在均值意义上收mx敛。（d） 对于K=1，证明(a),(b)和(c)的结果退化为相应的传统LMS算法的解。9、考虑均值为0、方差为 的白噪声序列作为LMS算法的输入。试给出2v(a)在均方意义上算法收敛的条件，并计算(b)额外均方误差
