《经典总结-函数的定义、定义域、解析式定稿》由会员分享，可在线阅读，更多相关《经典总结-函数的定义、定义域、解析式定稿（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1 / 8函数定义，定义域以及解析式问题基本概念1、函数定义：设 A、B 是非空的 ，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 Af中的 一个数 x，在集合 B 中都有 确定的数 和它对应，那么就称 ：AB 为)(xf从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 ，xA。其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集 | xA 叫做函数的值域。)(f2、函数三要素： 。两个函数只有这三要素完全相同，这两个函数才是同一函数。3、映射的概念：设 A、B 是两个非空的 ，如果按某一个确定的对应关系 ，使对于f集合 A 中的 一个元素 x，
2、在集合 B 中都有 确定的元素 y 与之对应，那么就称对应：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。f4、求函数 y= 的定义域，要注意以下几点：)(f（1）若 是整式，则函数的定义域是 R；x（2）若 是分式，则函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；)(f（3）若 是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于 0 的实数的集合。x5、函数解析式：自变量（x）与因变量(y)之间的关系。基本题型类型一：函数的定义问题典型例题1集合 A x|0x 4，By|0y2，下列不表示从 A 到 B 的函数是()Af(x)y xBf( x)y x Cf (x)y x Df(x) y 12 1
3、3 23 x注意：集合 A 中每一个元素 x 在集合 B 都有元素与之对应；集合 A 中的一个元素 x 在集合 B 只有唯一一个元素 y 与之对应，不能两个 y 值对应同一个 x 值；允许集合 B 中的元素y 在 A 中找不到元素 x 与之对应，例如本题的 B 选项当 y 取 2 的时候，我们在集合 A 中找不到元素 x 与之对应。2下列四个图象中，不是函数图象的是（ ）. 2 / 8注意：在函数图像中一个 x 值只能对应一个 y 值，但一个 y 值可以对应多个 x 值；本题 B选项一个 x 对应两个 y，所以不是函数图像。思考：圆的图像是函数图像吗？答案：否。3下列各组函数中，表示同一函数的
4、是（ ）.A. B. 1,yx 21,1yxyxgC. D. 3 |,()注意：两个函数只有定义域、对应关系（常见的是解析式） 、值域这三要素完全相同，这两个函数才是同一函数（相同的两个函数） 。两个函数只要定义域和对应关系相同，那么这两个函数的值域一定相同；所以只要两个函数的定义域和对应关系相同，那么这两个函数就是同一函数。在判断两个函数是不是同一函数的时候，我们首先去看它们的定义域是否相同，若定义域不同则不是同一函数；定义域相同的话再看对应关系是否形同。的定义域相同，对应关系也相同，所以它们是同一函数。若两个函数的1()()和fxgt值域不同则可以直接判断这两个函数不是同一函数。课堂训练1
5、. 已知函数 ，则对于直线 x=a（a 为常数） ，以下说法正确的是（ ）()yfxA 图像与直线 x=a 必有一个交点fB 图像与直线 x=a 没有交点()C 图像与直线 x=a 最少有一个交点yfxD 图像与直线 x=a 最多有一个交点()2.下列各组中两个函数是同一函数的是（ ）A B0()1,()fxgx 2(),()fxgxC D221 4t3.可表示函数 y= 的图象的只可能是（ ）)(xfA B C D0000y y y yx x x xOyxxy yyOOOA. B. C. D. 3 / 84、函数 定义在区间2 ，3上，则 y= 的图象与直线 x=2 的交点个数为（ ）)(x
6、f )(xfA0 B1 C2 D不确定5、判断下列对应哪些是由 A 到 B 的映射？（1）A=R， B=y|y0， ：xy=1+f1x（2）A=R， B=y|y0， ：xy=x 2（3）A=x|x3 ，B= y|y0， ：xy=f（4）A=Z，B=Q ， ：xy=f1类型二：函数的定义域问题典型例题例 1、求下列函数的定义域（1） 1()2fxx（2）0)|( 3 )34(1)fx(4) 2logx例 2、函数 f(x) 的定义域为 R，则实数 a 的取值范围是_1ax2 4ax 3例 3、函数 的定义域为 R，则实数 a 的取值范围是243()logaxfx_例 4、函数 的值域为 R，则实
7、数 a 的取值范围是243()logaxfx_ 4 / 8例 5、(1)若函数 yf(x )的定义域为2，2 ，则 f(x21)的定义域为_(2)若函数 yf(3x 1)的定义域是1，3 ，则 yf (x)的定义域是_(3)若函数 yf(3x 1)的定义域是1，3 ，则 f(x21)的定义域是_课堂训练1、求下列函数的定义域（1） 1()2+fxx（2）0)|( 3 )43(1)fx(4) 2logx2、函数 的定义域为 R，则实数 a 的取值范围是()45fa_3、函数 的定义域为 R，则实数 a 的取值范围是245()logaxfx_4、函数 的值域为 R，则实数 a 的取值范围是_245
8、()logaxfx5、(1)若函数 yf(x )的定义域为3，2 ，则 f(x21)的定义域为_(2)若函数 yf(3x 1)的定义域是1，5 ，则 yf (x)的定义域是_(3)若函数 yf(3x 1)的定义域是1，4 ，则 f(x21)的定义域是_类型三：函数的解析式问题典型例题 5 / 81、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。例 1 设 是一次函数，且 ，求)(xf 34)(xf)(xf2、配凑法：已知复合函数 的表达式，求 的解析式， 的表达式容易配()fgx()fx()fgx成 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数 的定义域不是原复合函数的定()gx义域，而
9、是 的值域。 例 2 已知 ，求 的解析式21)(xxf)0()fx解： ， 1Q2)(2xf)(3、换元法：已知复合函数 的表达式时，还可以用换元法求 的解析式。与配凑fgx ()fx法一样，要注意所换元的定义域的变化。例 3 已知 ，求xf2)1()1(f解：令 ，则 ， tt2txQxf)(,1)(212ttt)(xfx)22)0(4、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。例 4 已知：函数 的图象关于点 对称，求 的解析式)(2gyxy与 )3,2()(xg解：设 为 上任一点，且 为 关于点 的对称点),(xM)(,yxMx3,2则 ，解得： ，32yyx
10、64点 在 上 Q),(x2 6 / 8xy2把 代入得：64)()(2xy整理得 76)(2xxg5、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。例 5 设 求,)1(2)(xfxff 满 足 )(f解 Qx显然 将 换成 ，得：,0x fxf1)(21解 联立的方程组，得：f3)(例 6 设 为偶函数， 为奇函数，又 试求 的解析)(xf)(xg,1)(xgxf )(xgf和式解 为偶函数， 为奇函数，Q)(f)(,xgxf又 ，1)(gf用 替换 得： x1)(xxf即 )(f解 联立的方程组，得， 1)(2xf xg2)
11、(6、对称性法即根据所给函数图象的对称性及函数在某一区间上的解析式，求另一区间上的解析式.例 7 已知是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）=2xx 2，求 f（x）函数解析式.解：y=f（x）是定义在 R 上的奇函数， y=f（x）的图象关于原点对称.当 x0 时，f（x）=2x x 2 的顶点（1，1） ，它关于原点对称点（1，1） ， 7 / 8因此当 x0 时，y= 1= x2 +2x.故 f（x）=2)1(2， 0,x评注: 对于一些函数图象对称性问题 ,如果能结合图形来解,就会使问题简单化.7、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的
12、变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。例 8 已知： ，对于任意实数 x、y，等式 恒成立，1)0(f )12()(yxfyxf求 )(xf解 对于任意实数 x、y，等式 恒成立，Q)12()(yxfyxf不妨令 ，则有 0 1(0) 2y再令 得函数解析式为：xy)(2xf8、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。例 9 设 是定义在 上的函数，满足 ，对任意的自然数 都有)(xfN1)(f ba,，求abbfa)( )(xf解 ，Qf,)()，不妨令 ，得： ，1,x xfxf)1()又 1)()1(
13、ff故分别令式中的 得：,2xnL(2)3,()1),ffnnL将上述各式相加得： ， nfL32)1(32)(fLNxx,1课堂训练 8 / 81、已知 是二次函数，且 =2， =x1，求 ；)(xf )0(f)(xf(f)(xf2 、已知 ，求 的解析式21(-)3fxx)0()fx3 、已知 ，求(1)23fxx)1(xf4、已知：函数 的图象关于点 对称，求 的解析式)(2xgyxy与 (3,2)(xg5、设 求1()满 足 3()2()2,fxffx)(xf6、设 奇函数， 为偶函数，又 试求 的解析)(xf)(xg1()2(),fxgx)(xgf和式7、已知是定义在 R 上的偶函数，当 x0 时，f（x）=2xx 2，求 f（x）函数解析式.
