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1、1第六章 广义逆矩阵当 A 是 n 阶方阵，且 detA0 时，A 的逆矩阵 才存在，此时线性方程组 Ax=b 的解1可以简洁地表示为 x= 近几十年来，由于解决各种问题的需要，人们把逆矩阵的概1b念推广到不可逆方阵或长方矩阵上，从而产生了所谓的广义逆矩阵这种广义逆矩阵具有通常逆矩阵的部分性质，并且在方阵可逆时，它与通常的逆矩阵相一致；而且这种广义逆矩阵可以给出线性方程组(包括相容的和矛盾的方程组 )各种 “解”的统一描述1920 年，E.H.Moore 首先以比较抽象的形式给出了广义逆矩阵的概念，由于不知道它的应用，所以一直未受到重视直到 1955 年 R.Penrose 利用四个矩阵方程给
2、出广义逆矩阵的更简便实用的定义后，它才引起普遍关注，并得到迅速发展目前，广义逆矩阵已形成了一套既系统又完整的理论，并在许多学科得到广泛的应用6.1 广义逆矩阵的概念定义 6.1 设 A ，如果 X 满足下列四个 Penrose 方程Cmnnm(1)AXA=A；(2)XAX=X；(3) ；()H(4)的某几个或全部，则称 X 为 A 的广义逆矩阵，满足全部四个方程的广义逆矩阵 X 称为 A的 Moore-Penrose 逆显然，如果 A 是可逆矩阵，则 满足四个 Penrose 方程1按照这一定义，可以分为满足一个、二个、三个或四个 Penrose 方程的广义逆矩阵，一共有 类12344C15以
3、下定理表明，Moore-Penrose 逆是存在并且惟一的，从而上述的 15 类广义逆矩阵都是存在的定理 6.1 设 ，则 A 的 Moore-Penrose 逆存在且惟一mn证 设 rankAr 若 r0，则 A 是 mn 零矩阵，可以验证 nm 零矩阵满足四个Penrose 方程若 r0，由定理 419 知，存在 m 阶酉矩阵 U 和 n 阶酉矩阵 V 使得HOV其中=diag ，而 是 A 的非零奇异值记12r ， ， ， 12ri ， ， ， HXUO则易验证 X 满足四个 Penrose 方程，故 A 的 Moore-Penrose 逆存在再证惟一性设 X，Y 都满足四个 Penro
4、se 方程，则(为了叙述简明，在等号上注明了推演时所依据的方程号)2HHH(2)(3)(1)2(4)()2XAXAYXAYY从而 A 的 Moore-Penrose 逆是惟一的证毕需要指出的是只要 A 不不可逆矩阵，则除 Moore-Penrose 逆以外的其他 14 类广义逆矩阵都不是惟一的定义 6.2 设 ，若 满足 Penrose 方程中的第 (i)，(j)，(l)等方程，CmnnmX则称 X 为 A 的 i，j，l-逆，记为 ，其全体记为 Ai，j，lA 的惟一的,ijlMeore-Penrose 逆记为 ，也称之为 A 的加号逆在上述 15 类广义逆矩阵中，应用较多的是以下 5 类：
5、A1， A1，2， A1，3， A1，4， 由于1-逆是最基本的，而 惟一且同时包含在 15 类广义逆矩阵集合中，所以 与 1在广义逆矩阵中占有十分重要的地位以下主要对这两类广义逆矩阵进行讨论6.2 1-逆及其应用一、1-逆的计算及有关性质利用定理 4.14 的结果可以方便地求出1-逆定理 6.2 设 (r0)，且有 和 n 阶置换矩阵 P 使得CmnACmSrrIKPO则对任意 矩阵nrmL， rIXSL是 A 的1-逆；当 L=O 时， X 是 A 的1 ，2-逆证 因为 11rIKSPO容易验证，由式(6.1)给出的矩阵 X 满足 AXA=A所以 XA1当 L=O 时，易知式(6.1)的
6、矩阵 X 还满足 XAX=A，故 XA1 ，2证毕需要指出的是，式(6.1)中矩阵 L 任意变化时，所得到的矩阵 X 并非是满足 AXA=A 的所有矩阵，即只是 A1的一个子集3例 61 已知矩阵 ，求 241A(1)(,2)A和解 48 已求得，10321S1324Pee， ， ，使得从而由式（61） ，得(1,2)030A利用等价标准形可以求出1-逆的全体定理 63 设 ，且 和 使得CmnrAmSCnTrIOA4则，121CrmrILATS（62）212CnrnrmL，证 可知 11rIOAST令 X=T S直接验证知 AXA=A，即 XA 1反之，若 XA1，12rIL可设 12LTS
7、由 AXA=A，得 12r rrIOIOIL当 ，而 ， 和 为适当阶的任意矩阵时，上式成立故式(62) 右边给出了1rLI122A 的所有1-逆证毕推论 设 ，则 A 有惟一1-逆的充分必要条件是 m=n，且 rankA=n，即 A 可Cmn逆这个惟一的1- 逆就是 1下面定理给出了1- 逆的一些性质定理 64 设 ， ，则mn(1)(1) ， ；H(1)AT()A(2) ，()其中 C，且（63）10， (3)当 ， 时，有 ；mSnT1()1TAST(4) ；(1)rankrA5(5) ；(1)(1)rankrankrankAA(6) 的充分必要条件是 rankA=m；()mI(7) 的
8、充分必要条件是 rankA=n(1)n证 (1)(3)由定义直接得到；(4)rankArank ；(1)(1)rak(5)与(4)的证明类似；(6)如果 ，则由(5) ，得(1)mI(1)rankrrankmIA反之，如果 rankA=m则由(5)知， =rankA=m又 是 m 阶方阵，从而它() (1)是可逆矩阵注意到 ，两边同乘 即得 ；2(1)(1) 1()()I同理可证(7)证毕二、1-逆的应用利用1-逆可以求解矩阵方程及线性方程组定理 6.5 设 ， ， 则矩阵方程 AXB=D 有解的充分必要CmnApqBCmqD条件是(6.4)(1)()AB其中 ， ，当矩阵方程有解时，其通解为
9、(1)(1)( 任意 ) (65)()()()(1)XADBYCnpY证 如果式(64)成立，则 是 AXB=D 的解反之，如果 AXB=D 有解，则(1)(1)(1)()AXBAB将式(65)代入矩阵方程 AXBD 的左边并利用式(6.4)及1-逆的定义，可推出等于D，这说明式(65)是矩阵方程 AXBD 的解反之，设 是 AXBD 的任一解，则有0X(1)()(1)()(1)()(1)(1)00 0XB它相当于在式(65)中取 故式(65) 给出了 AXBD 的通解Y证毕推论 1 设 ， ，则有CmnA(1)A6(1)(1)(1)CnmAZAZ任 意证 由定理 65 可知，AXAA 的通解
10、为( 任意)(1)(1)(1)XYnY令 ，代入上式得YZ(1)(1)(1)()(1)ZAAA证毕上述推论用某一个给定的 ，便给出了集合 A1的全部元素(1)推论 2 设 ， 则线性方程组 Axb 有解的充分必要条件是Cmnb(66)(1)其中 A(1)A 1 如果 Ax b 有解，其通解为(67)(1)(1)C)nxIAy任 意从式(67)可以看出：Ax b 的通解由两部分构成，其中 是 Axb 的一个特解，(1)A而( )y 为 Ax0 的通解(1IA例 62 用广义逆矩阵方法求解线性方程组 123451xx解 令 A= ，b=2412154例 61 已求得 A 的1-逆为 (取 = =0
11、)(1)0320A容易验证 (1)T5,4)Abb所以线性方程组有解，且通解为712(1)(1) 34201yxAbIy（ ）123,Cy任 意推论 2 表明，利用某个1-逆可以解决线性方程组的求解问题反之，利用线性方程组的解也可以给出1- 逆定理 66 设 ， ， 若对于使得线性方程组 Ax=b 有解的CmnAbCnmX所有 b，x=Xb 都是解，则 1证 记 为 A 的第 j 列，则线性方程组 Ax= 都有解(因为 就是解)由于jajajxe是线性方程组的解，即jxX(1,2)jj n从而 1212(,)(,)nnAXaaA故 XA1证毕三、由1- 逆构造其他的广义逆矩阵利用1-逆可以构造
12、出其他的广义逆矩阵定理 67 设 ，Y，ZA1记 XYAZ，则 XA1，2 Cmn证 由定义直接得到证毕因为在 Penrose 方程(1) 和(2) 中，A 与 X 的位置是对称的，所以 XA1 ，2与AX1，2是等价的，即 A 和 X 总是互为1 ，2-逆，这与通常逆矩阵所具有的性质=A 类似，因此也经常称之为自反广义逆矩阵1引理 61 设 ， ，且 rank(AB)rank A则存在矩阵 ，使CmnnpB CpnW得 AABW证 将 A 按列分块为 A( )，考虑线性方程组12,na(j=1,2,n) (68)()jBxa因为rank(AB) rank(AB， )=rank(AB， )j
13、je8=rankA(B， )rank A=rank(AB)je所以 rank(AB， )=rank(AB)，即式(6 8)的诸线性方程组都有解，设ja(AB) (j=1，2 ，n)， W=( )jjw12nw,则有A=( )=AB( )=ABW12,na12,nw证毕在式(61)中取 L=O，即有 XA1，2，此时 rankX=r=rankA这个结论具有一般性定理 68 设 ，则 的充分必要条件是 rankX=rankAC,1mnA1,2证 若 XA1 ，2，则有rankA=rank(AXA)rankX=rank(XAX) rankA即 rankX=rankA反之，若 XA1 ，且 rankX
14、=rankA由定理 6.4 知rankX=rankA=rank(XA)从而根据引理 6.1，存在矩阵 ，使得 X=XAW，故nmWCXAX=XA(XAW)=XAW=X即 XA 1，2证毕为了构造1，2，3- 逆和 1，2，4-逆，要用到 与 的1- 逆HA定理 69 设 ， ， ，则mnCH(1)A(1)HY= 1，2，3， Z= 1，2，4(1)HA(1)证 由定理 1.26 知rank( )= ， rank( )=rankAHrankH根据引理 61，存在 ，使得nmWC或HHW于是AYA=H(1)AA即 YA1由1-逆的性质知 rankYrankA，又有rankY=rank (1)HHrank()ra故由定理 68 得 YA1 ，2
