1虚位移原理

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1、2018/2/14,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,1,第二章变形体虚位移原理,弹性力学基本概念预备知识变形体虚位移原理和势能原理虚位移原理和势能原理的应用,2018/2/14,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,2,预 备 知 识(回顾), 线弹性平面问题的平衡方程, 小变形平面问题的几何方程,线应变:,角应变:,2018/2/14,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,3, 线弹性平面问题物理方程,平面应力:,平面应变:,预 备 知 识(回顾),2018/2/14,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,4, 平面问题应力边界条件,在应力边界上:, 平面问题物理量的矩阵表示,应力矩阵,应变矩阵,体积

2、力矩阵,表面力矩阵,位移矩阵,已知位移矩阵,弹性矩阵,预 备 知 识(回顾),2018/2/14,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,5, 平面问题物理量的矩阵表示,取决于材料性质各相同性、线性弹性时, 引入两个算子矩阵,微分算子矩阵,方向余弦矩阵,平面应变:,预 备 知 识(回顾),2018/2/14,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,6,基本方程矩阵表示, 平衡方程, 几何方程, 物理方程, 边界条件,杆系问题的基本方程(作业), 平衡方程如何建立?, 几何方程如何建立?, 内力和变形间关系如何?,由微段的平衡条件建立,由微段的变形条件建立,以上内容必须通过自己动手达到熟练掌握,2018/2

3、/14,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,7,变形体虚位移原理和势能原理,一、变形体虚位移时外力功计算二、变形体虚位移原理表述和证明三、一些名词含义的解释四、势能驻值原理和最小势能原理,2018/2/14,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,8,变形体虚位移原理和势能原理变形体虚位移时外力功计算,内部微元体的受力分析,10,其余类推,2018/2/14,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,9,变形体虚位移原理和势能原理变形体虚位移时外力功计算,内部微元体的位移分析,虚位移,算子符号,能写出各点的位移吗?,提示:连续函数台劳级数展开,2018/2/14,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,10,变形体

4、虚位移原理和势能原理变形体虚位移时外力功计算,内部微元体的外力功计算,8,y方向的力所做的功等于多少?,请大家自行写出内部微元体x向外力的总虚功,2018/2/14,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,11,变形体虚位移原理和势能原理变形体虚位移时外力功计算,内部微元体的外力功计算,2018/2/14,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,12,变形体虚位移原理和势能原理变形体虚位移时外力功计算,边界微元体的外力功计算,设A点虚位移为,2018/2/14,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,13,变形体虚位移原理和势能原理变形体虚位移时外力功计算,边界微元体的外力功计算,不管是否平衡均一样,2018/

5、2/14,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,14,变形体虚位移原理和势能原理变形体虚位移时外力功计算,变形体的外力总虚功计算,2018/2/14,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,15,变形体虚位移原理和势能原理变形体虚位移时外力功计算,矩阵表示变形体的外力总虚功,18,17,48,2018/2/14,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,16,变形体虚位移原理和势能原理虚位移原理的表述与证明,虚位移原理的表述,受给定外力作用,变形连续体处于平衡状态的充分必要条件为:对任意虚位移(具有任意、独立性),外力所做的总虚功恒等于变形体所接受的总虚变形功,也即恒满足如下虚功方程,26,能说出虚位移原理和虚

6、功原理的表述有何区别吗?,2018/2/14,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,17,变形体虚位移原理和势能原理虚位移原理的表述与证明,虚位移原理的必要性证明,必要性需证明变形体平衡,虚功方程成立。,15,2018/2/14,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,18,变形体虚位移原理和势能原理虚位移原理的表述与证明,虚位移原理的必要性证明,必要性需证明变形体平衡,虚功方程成立。,15,=0,2018/2/14,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,19,变形体虚位移原理和势能原理虚位移原理的表述与证明,虚位移原理的充分性证明,充分性需证明虚功方程恒成立,变形体必平衡。,设变形体不平衡,每瞬时均考虑惯

7、性力则动平衡。也即,此时,“体积力”为:,因为“平衡”,由必要性可得:,2018/2/14,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,20,变形体虚位移原理和势能原理虚位移原理的表述与证明,虚位移原理的充分性证明,充分性需证明虚功方程恒成立,变形体必平衡。,因为虚功方程恒成立,由此可得:,2018/2/14,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,21,变形体虚位移原理和势能原理虚位移原理的表述与证明,虚位移原理的几点说明,1)适用于一切可变形物体(可变性固体、流体 等)。,2)虚功原理和虚位移原理是不同的。前者只是 必要性命题,而后者则是充分必要的命题。,3)王光远院士与我曾经证明,当不是取微元体 进行研

8、究时,不能证明变形体平衡。,4)我们还曾经证明,当虚位移不具有完全任意 和独立性时,也不能证明变形体平衡。,2018/2/14,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,22,变形体虚位移原理和势能原理虚位移原理的表述与证明,虚位移原理的几点说明,5)只需将面积分改成体积分,线积分改成面积 分,即可得到三维问题的虚功方程。,6)利用虚位移原理做近似分析时,是应用原理 的充分性,认为是用必要性时错误的。,7)像虚功原理证明中一样,外力总虚功可分解 成荷载与切割面内力的总虚功的和。此时格 林公式实质是切割面内力总虚功为零。,8)格林公式也可理解成是变形体虚功原理的变 形。请大家自行考虑如何从虚功方程出发,

9、 用平衡和边界条件推得格林公式。作业,2018/2/14,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,23,变形体虚位移原理和势能原理一些名词含义的解释,1)任何满足几何方程和位移边界条件的位移, 称作可能位移,记作dk。,2)由可能位移通过几何方程求得的应变,称作 可能应变,记作k。,3)由可能应变通过物理方程求得的应力,称作 可能应力,记作k。,4)可能应力在可能应变时所作的功,也即所储 存的应变能,称作可能应变能,记作Uk。,2018/2/14,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,24,变形体虚位移原理和势能原理一些名词含义的解释,5)从可能位移退回到初始(也称自然)状态时, 外力所作的功,称作外力

10、势能,记作Pf。,6)可能应变能和外力势能的总和,称作对应可 能位移dk的总势能,简称总势能,记作 k。,7)可能位移和真实位移的偏差,称作位移的变 分,记作 d 。由此可得应变、应力的变分。,8)可能位移总势能和真实总势能的偏差,其中 与位移变分成线性关系的部分,称作势能的 一阶变分,记作 。位移变分二次式部分 称作势能的二阶变分,记作 2 。余类推。,2018/2/14,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,25,变形体虚位移原理和势能原理势能驻值原理和最小势能原理,势能驻值原理的表述:某一变形可能状态为真实位移状态的充分必要条件是,相应于此位移状态的变形体势能取驻值。也即势能对位移的一阶变分

11、恒等于零。,为了证明上述原理,先证明如下的格林公式:,式中 满足平衡条件, 和 间满足几何方程, 还满足位移边界条件。,2018/2/14,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,26,变形体虚位移原理和势能原理势能驻值原理和最小势能原理,格林公式的证明:,格林公式证毕,2018/2/14,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,27,变形体虚位移原理和势能原理势能驻值原理和最小势能原理,势能驻值原理的证明:,变形体的总势能可表为:,式中势能的一阶变分为:,将位移的一阶变分理解为虚位移,则由变形体虚位移原理的虚功方程可证势能一阶变分为零,能保证平衡。因此,势能原理结论正确。,16,2018/2/14,哈尔

12、滨工业大学 土木学院 王焕定,28,变形体虚位移原理和势能原理势能驻值原理和最小势能原理,最小势能原理:,线性、弹性变形体的总势能可表为:,由此可证明,对于一切位移变分,势能的二阶变分恒大于等于零(仅在位移变分为零时才等于零)。因此势能取最小值。,从势能原理证明可见,它和虚位移原理等价。都等价于平衡条件.,2018/2/14,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,29,虚位移原理和势能原理的应用,里兹法,里兹法基本思路: 选取满足位移边界条件的函数作为“基函数”,,将一个无限自由度的位移设为若干基函数的线性组合,,从而把无限自由度化为有限个自由度问题。,以所设位移作为可能位移,,令体系的总势能一阶

13、变分恒等于零使系统近似平衡,,从而求得组合系数。,代回所设位移场,可进一步确定任意点的位移,利用几何、物理方程,还可求得应变和应力等。,上述近似方法即为里兹法。,2018/2/14,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,30,虚位移原理和势能原理的应用,里兹法,里兹法的解题步骤:,1)选取满足位移边界条件的函数作为“基函数”,2)设近似位移场为基函数的线性组合,3)将所设位移场代入势能表达式,从而将势能表为组合系数的函数,4)令势能一阶变分(对组合系数偏导)为零,建立求组合系数的线性代数方程组,并求所需量,2018/2/14,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,31,虚位移原理和势能原理的应用,里兹

14、法例一:试求图示悬臂梁挠曲线并计算B点挠度,1)选取满足位移边界条件(A点挠度转角为零)的函数作为“基函数”,2)对于所选的挠曲线,其虚位移、虚曲率,可能位移对应的弯矩等如下所示:,2018/2/14,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,32,虚位移原理和势能原理的应用,里兹法例一:试求图示悬臂梁挠曲线并计算B点挠度,3)外力的总虚功为:,4)总虚变形功为:,2018/2/14,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,33,虚位移原理和势能原理的应用,里兹法例一:试求图示悬臂梁挠曲线并计算B点挠度,5)当v 仅取一项时,由虚功方程可得:,当v 仅取二项时,由虚功方程可得:,当v 取三项时,由虚功方程可

15、得:,2018/2/14,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,34,虚位移原理和势能原理的应用,里兹法例一:试求图示悬臂梁挠曲线并计算B点挠度,5)当v 仅取一项时,弯矩为:,当v 仅取二项时,弯矩为:,当v 取三项时,弯矩为:,里兹法位移精度高于内力精度当试函数组合包含真解时,结果为精确解,否则为近似解,2018/2/14,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,35,虚位移原理和势能原理的应用,设D点水平位移为u,竖向位移为v。在此位移下,体系的应变能U为:,体系的外力势能为:,体系的总势能为:,2018/2/14,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,36,虚位移原理和势能原理的应用,根据势能原理,真实位移应使总势能最小,因此由势能对位移的偏导数为零可得,由此可解得,2018/2/14,哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定,37,虚位移原理和势能原理的应用,由位移可求得各杆变形(伸长)如下:,由此可解得各杆的轴力为:,从这个例子你能得到什麽结论?(可参考龙书14章),

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