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1、某学校四、五、六年级组织了一场文艺演出，共演 18 个节目，如果每个年级至少演出 4 个节目，那么，这三个年级演出节目数的所有不同情况共有多少种？ 【解析】、我们先把 18 个节目每个年级分配 3 个节目，这样三个班就都还差一个节目，总的还剩下 9 个节目，按照插板法来解答。9 个节目排成一排共计 8 个间隔。分别选取任意 2 个间隔就可以分成 3 份；故答案为 C8 取 2=28.插板法就是在 n 个元素间的（ n-1）个空中插入 若干个（b）个板，可以把 n 个元素分成（b+1）组的方法。 应用插板法必须满足三个条件： （1） 这 n 个元素必须互不相异 （2） 所分成的每一组至少分得一个
2、元素 (3) 分成的组别彼此相异 举个很普通的例子来说明 把 10 个相同的小球放入 3 个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？ 问题的题干满足 条件（1）（2 ），适用插板法， c9 2=36 下面通过几道题目介绍下插板法的应用 = a 凑元素插板法 （有些题目满足条件（ 1），不满足条件（2），此时可适用此方法） 例 1 ：把 10 个相同的小球放入 3 个不同的箱子，问有几种情况？3 个箱子都可能取到空球，条件（2 ）不满足，此时如果在 3 个箱子种各预先放入 1 个小球，则问题就等价于把 13 个相同小球放入 3 个不同箱子，每个箱子至少一个，有几种情况？ 显然就是 c12 2
3、=66 - 例 2： 把 10 个相同小球放入 3 个不同箱子，第一个箱子至少 1个，第二个箱子至少 3 个，第三个箱子可以放空球，有几种情况？ 我们可以在第二个箱子先放入 10 个小球中的 2 个，小球剩 8 个放3 个箱子，然后在第三个箱子放入 8 个小球之外的 1 个小球，则问题转化为 把 9 个相同小球放 3 不同箱子，每箱至少 1 个，几种方法？ c8 2=28 = b 添板插板法 例 3：把 10 个相同小球放入 3 个不同的箱子，问有几种情况？ -o - o - o - o - o - o - o - o - o - o - o 表示 10 个小球，-表示空位 11 个空位中取
4、2 个加入 2 块板，第一组和第三组可以取到空的情况，第 2 组始终不能取空 此时 若在 第 11 个空位后加入第 12 块板，设取到该板时，第二组取球为空 则每一组都可能取球为空 c12 2=66 - 例 4：有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如 257，1459 等等，这类数共有几个？ 因为前 2 位数字唯一对应了符合要求的一个数，只要求出前 2 位有几种情况即可，设前两位为 ab 显然 a+b=9 ,且 a 不为 0 1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 - - 1 代表 9 个 1，-代表 10 个空位 我们可以在这 9
5、 个空位中插入 2 个板，分成 3 组，第一组取到 a 个1，第二组取到 b 个 1，但此时第二组始终不能取空，若多添加第10 个空时，设取到该板时第二组取空，即 b=0，所以一共有 c10 2=45 - 例 5：有一类自然数，从第四个数字开始，每个数字都恰好是它前面三个数字之和，直至不能再写为止，如 2349，1427 等等，这类数共有几个？ 类似的，某数的前三位为 abc，a+b+c=9,a 不为 0 1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 - - - 在 9 个空位种插如 3 板，分成 4 组，第一组取 a 个 1，第二组取 b个 1，第三组取 c 个 1，由于第二，第三组都
6、不能取到空，所以添加2 块板 设取到第 10 个板时，第二组取空，即 b=0；取到第 11 个板时，第三组取空，即 c=0。所以一共有 c11 3=165 = c 选板法 例 6： 有 10 粒糖，如果每天至少吃一粒(多不限 )，吃完为止，求有多少种不同吃法？ o - o - o - o - o - o - o - o - o - o o 代表 10 个糖，-代表 9 块板 10 块糖，9 个空，插入 9 块板，每个板都可以选择放或是不放，相邻两个板间的糖一天吃掉 这样一共就是 29= 512 啦 = d 分类插板 例 7： 小梅有 15 块糖，如果每天至少吃 3 块，吃完为止，那么共有多少种
7、不同的吃法？ 此问题不能用插板法的原因在于没有规定一定要吃几天，因此我们需要对吃的天数进行分类讨论 最多吃 5 天，最少吃 1 天 1： 吃 1 天或是 5 天，各一种吃法 一共 2 种情况 2：吃 2 天，每天预先吃 2 块，即问 11 块糖，每天至少吃 1 块，吃2 天，几种情况？ c10 1=10 3：吃 3 天，每天预先吃 2 块，即问 9 块糖，每天至少 1 块，吃 3天? c8 2=28 4：吃 4 天，每天预先吃 2 块，即问 7 块糖，每天至少 1 块，吃 4天？c6 3=20 所以一共是 2+10+28+20=60 种 = e 二次插板法 例 8 ：在一张节目单中原有 6 个
8、节目，若保持这些节目相对次序不变，再添加 3 个节目，共有几种情况？ -o - o - o - o - o - o - 三个节目 abc 可以用一个节目去插 7 个空位，再用第二个节目去插 8 个空位，用最后个节目去插 9 个空位 所以一共是 c7 1c8 1c9 1=504 种追问那这个 2 是怎么算出来的呢？回答例 6： 有 10 粒糖，如果每天至少吃一粒(多不限 )，吃完为止，求有多少种不同吃法？ o - o - o - o - o - o - o - o - o - o o 代表 10 个糖，-代表 9块板 10 块糖，9 个空，插入 9 块板，每个板都可以选择放或是不放，相邻两个板间
9、的糖一天吃掉 这样一共就是 29= 512 啦 解析一：首先这道题可以用归纳法来做，10 颗糖算起来比较麻烦，所以可以从简单的试一试：1 颗糖： 1 1 种吃法2 颗糖： 1+1，2 2 种吃法3 颗糖： 1+1+1，1+2，2+1,34 种吃法所以猜测吃 n 颗糖的方式一共有 2(n-1)；那么吃 10 颗糖应该就是 29=512 种方式。这里的 2 是概率公式解析二：此题我们也可以转成成用插板法来做，10 颗糖可以1 天吃完，也可 2 天吃完， ，也可 10 天吃完，即变为 10颗糖中间有 9 个空，可以插一道板子，也可插 2 道板子，也可插 9 道板子，即共有C90+C91+C92+C99 注意这里的指的是上标=512=1+9+36+84+126+126+84+36+9+1=512
