《必修四_任意角与弧度制__知识点汇总(教师版)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《必修四_任意角与弧度制__知识点汇总(教师版)（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1美博教育任意角与弧度制知识梳理:一、任意角和弧度制1、角的概念的推广定义：一条射线 OA 由原来的位置，绕着它的端点 O 按一定的方向旋转到另一位置 OB，就形成了角 ， 记作：角 或 可以简记成 。注意：（1） “旋转”形成角，突出“旋转” （2） “顶点” “始边” “终边” “始边”往往合于 x轴正半轴 （3） “正角”与“负角”这是由旋转的方向所决定的。例 1、若 ，求 和 的范围。 （0,45） （180,270）oo135902、角的分类： 由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。正角：按照逆时针方向转定的角。零角：没有发生任何旋转的角。负角
2、：按照顺时针方向旋转的角。例 2、 （1）时针走过 2 小时 40 分，则分针转过的角度是 （2）将分针拨快 10 分钟，则分针转过的弧度数是 3、 “象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于 x轴的正半轴。角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。例 1、30 ；390 ；330是第 象限角 300 ； 60是第 象限角585 ； 1180 是第 象限角 2000 是第 象限角。2例 2、 （1）A=小于 90的角，B=第一象限的角，则 AB= （填序号）.小于 90的角
3、090的角 第一象限的角 以上都不对（2）已知 A=第一象限角，B=锐角，C=小于 90的角，那么 A、B、C 关系是（ ）AB=AC BBC=C CA C DA=B=C例 3、写出各个象限角的集合：例 4、若 是第二象限的角，试分别确定 2, 的终边所在位置.解 是第二象限的角，k360+90 k360+180（kZ）.（1）2k360+1802 2k360+360（kZ） ，2 是第三或第四象限的角，或角的终边在 y 轴的非正半轴上.（2）k180+45 2 k180+90（kZ） ，当 k=2n（nZ）时，n360+45 n360+90；当 k=2n+1（nZ）时，n360+225 2n
4、360+270. 2是第一或第三象限的角.拓展：已知 是第三象限角，问 3是哪个象限的角？ 是第三象限角，180+k360 270+k360（kZ） ，60+k120 390+k120.当 k=3m(mZ)时，可得60+m360 90+m360（mZ）.故 3的终边在第一象限.当 k=3m+1 (mZ)时，可得180+m360 3210+m360（mZ).故 3的终边在第三象限.当 k=3m+2 （mZ）时，可得3300+m360 3330+m360（mZ）.故 3的终边在第四象限.综上可知， 是第一、第三或第四象限的角. 4、常用的角的集合表示方法1、终边相同的角：（1）终边相同的角都可以表
5、示成一个 0到 360的角与 )(Zk个周角的和。（2）所有与终边相同的角连同 在内可以构成一个集合ZkS,36|o即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和注意：1、 Zk2、 是任意角3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角有无数个，它们相差 360的整数倍。4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。例 1、 （1）若 角的终边与 角的终边相同，则在 上终边与 的角终边582,04相同的角为 。若 角的终边与 8/5 的终边相同则有：=2k+8/5 (k 为整数)所以有：/4=(2k+8/5)/4=k/2+2/5当：0k/2+2/52有：k=0
6、时，有 2/5 与 /4 角的终边相同的角k=1 时，有 9/10 与 /4 角的终边相同的角（2）若 是终边相同的角。那么 在 和 例 2、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角：（1） ； （2） o0 73148o4例 3、求 ，使 与 角的终边相同，且 o90o12608，2、终边在坐标轴上的点：终边在 x 轴上的角的集合： Zk,180|o终边在 y 轴上的角的集合： ,9|终边在坐标轴上的角的集合： Zk,0|o3、终边共线且反向的角：终边在 y=x 轴上的角的集合： kk,45180| o终边在 轴上的角的集合： Z,|4、终边互相对称的角：若角 与角
7、的终边关于 x 轴对称，则角 与角 的关系：ko360若角 与角 的终边关于 y 轴对称，则角 与角 的关系： 18若角 与角 的终边在一条直线上，则角 与角 的关系： ko0角 与角 的终边互相垂直，则角 与角 的关系：936例 1、若 ， 则角 与角 的中变得位置o360k ),(360Zmko关系是（ ） 。A.重合 B.关于原点对称 C.关于 x 轴对称 D.有关于 y 轴对称例 2、将下列各角化成 0 到 2的角加上 )(2Zk的形式（1） 39 （2） o315例 3、设集合 , kkxkxA,066| oo,求 , . ZkxB ,302106|o BAIU二、弧度与弧度制1、弧
8、度与弧度制：弧度制另一种度量角的单位制， 它的单位是 rad 读作弧度5定义：长度等于 的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角。如图：AOB=1rad ， AOC=2rad ， 周角 =2rad 注意：1、正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是 02、角的弧度数的绝对值 rl（ 为弧长， r为半径）3、用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是 0）用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。4、在同一个式子中角度、弧度不可以混用。2、角度制与弧度制的换算弧度定义：对应弧长等于半径所对应的圆心角大小叫一弧度角度与弧度的互换关系： 360= rad 180 =
9、 rad 1= radrad01745.883.oo注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.例 1、 把 3067o化成弧度 例 2、 把 rad5化成度例 3、将下列各角从弧度化成角度（1） rad （2）2.1 rad （3） rad56例 4、用弧度制表示：1 终边在 x轴上的角的集合 2终边在 y轴上的角orC2rad1rad rl=2ro AAB6的集合三、弧长公式和扇形面积公式rl ； 21rlRS例 1、已知扇形的周长是 6 cm，面积是 2 cm2，则扇形的中心角的弧度数是 1 或 4 .例 2、若两个角的差为 1 弧度，它们的和为 ，求这连个角的大小分
10、别为 o1。例 3、 直径为 20cm 的圆中，求下列各圆心所对的弧长 34 o165例 4、 （1）一个半径为 r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇 形的面积是多少？（2）一扇形的周长为 20 cm，当扇形的圆心角 等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？.例 5、 （1）已知扇形的周长为 10，面积为 4，求扇形中心角的弧度数；（2）已知扇形的周长为 40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？（七）任意角的三角函数（定义）1 设是一个任意角，在 的终边上任取（异于原点的）一点 P（x,y） ，则 P与原点的距离 02
11、2yxyxr 2比值 y叫做的正弦 记作： rsin；比值 x叫做的余弦 记作：rcos7比值 xy叫做的正切 记作： xytan；比值 叫做的余切 记作：ycot比值 xr叫做的正割 记作： xrsec；比值 y叫做的余割 记作：ycs注意突出几个问题：角是“任意角” ，当=2k+(kZ)时，与的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。三角函数是以“比值”为函数值的函数 0r，而 x,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定三角函数在各象限的符号： 定义域：tancosiy cseoty 4. 是第二象限角，P（x， 5）为其终边上一点，且 cos = x42,则 sin = 410. 已知角 的终边落在直线 y=-3x (x0)上，则 cossin 2 .例 8、 已知的终边经过点 P(2,3)，求 的六个三角函数值例 9、 求下列各角的六个三角函数值 0 23 8例 10、 已知角的终边经过 P(4,3),求 2sin+cos的值已知角的终边经过 P(4a,3a),(a0)求 2sin+
