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1、椭圆与双曲线的对偶性质-（会推导的经典结论）高三数学备课组双曲线1. 双曲线 （a 0,b0）的两个顶点为 , ，与 y 轴平行的直线交双曲线于21xyb1(0)Aa2(P1、 P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 .2xyb2. 过双曲线 （a 0,bo）上任一点 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B,Cxyb0(,)两点，则直线 BC 有定向且 （常数）.20BCxky3. 若 P 为双曲线 （a0,b0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1, F 2 是焦点, 21xyb, ，则 （或 ）.12F21tant2ccotant2co4. 设双曲线 （a0,b0）的两个焦
2、点为 F1、F 2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在2xybPF1F2 中，记 , , ，则有 .12P1212Psin()cea5. 若双曲线 （a0,b0）的左、右焦点分别为 F1、F 2，左准线为 L，则当 1e 时，2xyb 2可在双曲线上求一点 P，使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项 .6. P 为双曲线 （a0,b0）上任一点,F 1,F2 为二焦点，A 为双曲线内一定点，则2xyb,当且仅当 三点共线且 和 在 y 轴同侧时，等号成立.21|AFF2,P2,F7. 双曲线 （a 0,b0）与直线 有公共点的充要条件是2xyb0xByC.2aB
3、C8. 已知双曲线 （ba 0） ，O 为坐标原点，P、Q 为双曲线上两动点，且 .21 OPQ（1） ;（2）|OP| 2+|OQ|2 的最小值为 ;（3） 的最小值是 .22|OPQ24abS2ab9. 过双曲线 （a0,b0）的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点，弦 MN 的垂直平1xyb分线交 x 轴于 P，则 .|2FeMN10. 已知双曲线 （a0,b0）,A、B 是双曲线上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点21xyb, 则 或 .0()P202bxa11. 设 P 点是双曲线 （a0,b0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2 为其焦点记 ，21
4、xyb 12PF则(1) .(2) .12|cosF12cotPFSb12. 设 A、B 是双曲线 （a0,b0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点， , 2xyb AB, ，c、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1) .P 2|cos|abP(2) .(3) .2tan12cotPABbSa13. 已知双曲线 （a0,b0）的右准线 与 x 轴相交于点 ，过双曲线右焦点 的直线与双曲2xyblEF线相交于 A、B 两点,点 在右准线 上，且 轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点.ClC14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切
5、线垂直.15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e.18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.2. 点 P 处的切线 PT 平分PF 1F2 在点 P 处的外角.3. PT 平分PF 1F2 在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径
6、的圆，除去长轴的两个端点.4. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离.5. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.6. 若 在椭圆 上，则过 的椭圆的切线方程是 .0(,)xy21xyab0P021xyab7. 若 在椭圆 外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P 2，则切点弦 P1P2 的直线方程是,P2.021xyab8. 椭圆 (ab0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点 ，则椭圆的焦点角形2 12FP的面积为 .12tanFPS9. 椭圆 （ab0）的焦半径公式：xy, ( , ).1|Me20|ex1)Fc2(0)0,)Mxy1
7、0. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点，则 MFNF.11. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A 2 为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A2Q 交于点 M，A 2P 和 A1Q 交于点 N，则 MF NF.12. AB 是椭圆 的不平行于对称轴的弦，M 为 AB 的中点，则 ，21xyab),(0yx 2OABbka即 。02KAB13. 若 在椭圆 内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是 .0(,)Pxy21xyab 2002xyxyab14. 若 在椭
8、圆 内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 .0,2 02215. 点 P 处的切线 PT 平分PF 1F2 在点 P 处的内角.16. PT 平分PF 1F2 在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.17. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交.18. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）19. 若 在双曲线 （a0,b0）上，则过 的双曲线的切线方程是 .0(,)xy21xyb0021xyab20. 若 在双曲线 （a0,b0）外 ，则过 Po 作双曲线的两条切线切点
9、为 P1、P 2，则切点弦,2P1P2 的直线方程是 .0xya21. 双曲线 （a0,bo）的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为双曲线上任意一点 ，则双曲线21b 12F的焦点角形的面积为 .12tFPSbc22. 双曲线 （a0,bo）的焦半径公式：( , 2xy1(0)c2()当 在右支上时， , .0(,)M10|Mexa2|Fexa当 在左支上时， , 023. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于 M、N 两点，则 MFNF.24. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两
10、点 P、Q, A1、A 2 为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和 A2Q 交于点 M，A 2P 和A1Q 交于点 N，则 MFNF.25. AB 是双曲线 （a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M 为 AB 的中点，则21xyb),(0yx，即 。02KABOM 02yxbAB26. 若 在双曲线 （a0,b0）内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是0(,)Pxy1x.202ab若 在双曲线 （a0,b0）内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是0(,)xy21xyb 202xyab双曲线1. 双曲线 （a 0,b0）的两个顶点为 , ，与 y 轴平行的直线交双曲线于2xy1(0)Aa2(P1、 P2
11、 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 .2xyb2. 过双曲线 （a 0,bo）上任一点 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B,Cxyb0(,)两点，则直线 BC 有定向且 （常数）.20BCxky3. 若 P 为双曲线 （a0,b0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1, F 2 是焦点, 21xyb, ，则 （或 ）.12F21tant2ccotant2co4. 设双曲线 （a0,b0）的两个焦点为 F1、F 2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在2xybPF1F2 中，记 , , ，则有 .12P1212Psin()cea5. 若双曲线 （a0,b0）的左、右焦点分
12、别为 F1、F 2，左准线为 L，则当 1e 时，2xyb 2可在双曲线上求一点 P，使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项 .6. P 为双曲线 （a0,b0）上任一点,F 1,F2 为二焦点，A 为双曲线内一定点，则21xyb,当且仅当 三点共线且 和 在 y 轴同侧时，等号成立.21|AFPF2,P2,F7. 双曲线 （a 0,b0）与直线 有公共点的充要条件是2xyb0xByC.2aBC8. 已知双曲线 （ba 0） ，O 为坐标原点，P、Q 为双曲线上两动点，且 .21 OPQ（1） ;（2）|OP| 2+|OQ|2 的最小值为 ;（3） 的最小值是 .22|OPQ24abS2ab
